Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Существует множество способов построения ортогонзльных (удовлетворяющих (2.46)) широкополосных ансамблей различной длины (коэффициента расширения) М. Одним из примеров являются функции Уолша или, в общем случае, матрицы Адамара, рассмотренные в подпараграфе 2.7.3 и порождающие ортогональные бинарные коды. Альтернативным выбором являются циклически сдвинутые копии любой последовательности с идеальной периодической АКФ., например, троичной, многофазной и др. (см. 3 6.11). Любой ансамбль из К' ортогональных сигнатур тривиальным образом трансформируется во множество 2Х' слабо ортогональных сигнатур за счет добавления квадратурных копий каждого из сигналов — факт, неоднократно упоминавшийся ранее (см.
3 2.5 и 4.1). При любом конкретном выборе ортогональных сигнатур размерность сигнального пространства жестко лимитирует их число (а, значит, и чис- ~~~282 Глава 7. Ансамоли широкополосных сигнапьур ло пользователей К) (см. з 4.4). Согласно (7.12), при заданном чипе Я-мерный вектор аь = (ало, аьд,...,аь и ~) к-й кодовой последовательности исчерпывающе определяет Й-ю сигнатуру, и ортогональность Й-й и 1-й сигнатур эквивалентна ортогональности векторов аь, аь Действительно, повторение вывода (2.52) для комплексных огибающих (либо использование (5.7)) позволяет записать скалярное произведение Ял(Ф) и Я~(~) как М вЂ” 1 (Бь,8~) = 2Ео ~ аь,а~', — — 2Ео(аь,а~), (7.19) и=в подтверждая тем самым, что ортогональность векторов аь, а~ необходима и достаточна для ортогонзльности ЯЬ(с) и Я(с).
Размерность М пространства векторов аь кодовых последовательностей, как видно, является и максимальным числом К' ортогональных сигнатур Ьу,(с). Подчеркнем еще раз, что при возможности квадратурного расщепления каждой сигнатуры максимальное число пользователей, допускаемое рамками сигнатурного ансамбля, К = 2К' =- 2Ж. Если, однако, по каким-либо причинам поддержание точного фазового сдвига хя~2 между квадратурными копиями одной и той же сигнатуры невозможно, слабая ортогональность не достаточна, и максимальное число пользователей становится вдвое меньше: Х = К' = Лс. Отметим, что слабая ортогональность является лишь достаточным, но не необходимым условием равенства в (7.17), и, в частности, особенно интересен вопрос о воэможности достижения верхней границы (7.17) при числе сигнатур, превышающем размерность сигнального пространства и,.
Из предшествующей дискуссии ясно, что значение и, равняется либо 2Х, либо Л в зависимости от приемлемости квадратурного расщепления сигнатур. Синхронные СОМА системы, в которых К ) п„ называются перенасьиаеннылли (перегррлсенными), чем подчеркивается избыточность количества сигнатурных векторов, исключающая шанс их ортогонзльности. Возможность доведения минимального расстояния в перенасыщенных ансамблях до границы (7.17) была доказана в (56], где описан и первый алгоритм построения таких ансамблей. Для большей прозрачности обсуждения и упрощения обозначений не будем учитывать тривиальной возможности удвоения размерности сигнального пространства за счет квадратурного расщепления, положив пв = Дс.
Возьмем М ортонормированных Ф-мерных векторов аь, к' = 1,2,...,М, (аюа~) = 6ы, и добавим к ним еще один вектор, построеннь1й как М ач+1 = — ~ ~аь. Ж„, (7.20) Используя полученные таким образом %+1 векторов аю к = 1, 2,..., Х + 1, 7.д. С д .д дд д д СОМА .. 213)) для формирования согласно (7.12) К = И+ 1 сигнатур, имеем (Я+ 1)-ю сигнатуру Ж оа'+1(1) = = ~А(1) и, модулируя все сигнатуры битами данных Ьй = ~1, — групповой сигнал М-~-1 а 1 ду Ы(1;Ь) = ~ ,'Ьйзй(1) = ~ ЬйЯ,У)+ Ь~~,~Яй(1) = й=1 й=1 1/У й=1 Ж (Ьй + — био+1)ой(д). (7.21) Рис.
7.14. Конструирование о ао множества перенасьнненных сигнатур ао1 ао ао ао о о о ао 6 о а7 1 ао и-д Ж Я(Ф;Ь) — 5(1;Ь') = Е(ей+ — е1от1)АИ), ей =Ьй — Ьй = О,+2 /У Действуя так же, как при выводе (7.15), с учетом ортогональности первых М сигнатур получим д1~(Ь,Ь') = — )(Я(1;Ь) — Я(1;Ь')~~~ = Яй ~ ~~ ей+ — ем 1) .
(7.22) Из-за различия битовых профилей, по крайней мере, одна из величиней, й = 1,2,...,ддг+1 отличнаот нуля, т.е. равна ж2. Если сад+1 — — О, то Разность между двумя реализациями группового сигнала, отвечающими двум битовым профилям Ь = (о1д Ьзд ° д Ьмт1)д Ь = (о1 д озд ° ° ° > ддд1.1 1)д есть (284 Глава 7.
Ансамбли широкополосными сивнаоЕр такое вь присутствует среди вь, вз,..., в ь, и тогда сР(Ь, Ь') > 4Еь. Если же вь ь1 = х2, то слагаемые в (7.22) с вь = 0 равны 4/Х, тогда как все остальные равны 4(ъ~Х ~ 1)л/7й, приводя к ср(Ь, Ь') > 4Еь ппп(1, (ъ~М вЂ” 1)~1. Учитывая зто, приходим к нижней оценке минимума квадрата расстояния 4 -/Х вЂ” 1 лЕ > п11п(4Еь 4(ъ/У 1)~Еь) (и ) ь > 4Еь, Сравнение полученного результата с (7.17) обнаруживает возможность добавления еще одной сигнатуры к Ф ортогональным без изменения минимального расстояния при М > 4.
Обобщение этой идеи лежит в основе следующего построения оптимального перенасьпценного ансамбля сигнатур (56, 57). Пусть векторы аод, а1 ..., авж, образуют ортонормированный базис Х-мерного пространства, где Л = 4', 1 — натуральное число. Используем их в качестве кодов Л первичных сигнатур. Организуем перенасьпцение дополнительными сигнатурами с помощью рекуррентной 1-слойной процедуры, в которой кодовые последовательности дополнительных сигнатур в-го слоя находятся как з у ьо аьа (7.23) Иными словами, первый слой дополнительных сигнатур формируется расщеплением базового множества (а~о,а~м...,ав~, ) на 4~ 1 групп, каждая из которых содержит четыре исходные сигнатуры.
Линейная комбинация (7.20) (при Ф = 4) этих четырех базисных сигнатур добавляется к своей группе, доводя общее число сигнатур до У + Дс/4. Для получения второго слоя все дополнительные сигнатуры первого слоя опять разбиваются на группы по четыре и к каждой группе вновь добавляется линейная комбинация (7.20) и т. д. Дерево на рис. 7.14 поясняет эти шаги. В итоге формируется 4~ 1 дополнительных сигнатур первого, 4~ ~ — второго, 4~ ' — в-го слоя, и 4 в+4 +...+4+1= 4 — 1 Х вЂ” 1 3 3 дополнительных сигнатур всего, так что с учетом первичных, отождествляемых с нулевым слоем, общее число сигнатур составит 4Л вЂ” 1 4М Поскольку нормы всех векторов (7.23) остаются равными единице, энергия дополнительных сигнатур на бит — та же, что у первичных.
Пусть Я(1) и Ьь — соответственно комплексная огибающая а-й сигнатуры в- го слоя и значение бита пользователя, которому присвоена эта 7Й. Ш б г ~рд р СВМА .. 2ВБ) сигнатура. Тогда, составляя групповой сигнал аналогично (7.21),придем к выражению =о ь=а которое после подстановки (7.23) обращается в (~/4')-1 4' — 1 Я(1' Ь) = ~ ~— ~~' ~~' Ь|Я4ч-~ (й). .=о и=а =о Двойная сумма по к, т в последнем выражении независимо от значения л содержит Х слагаемых.
Ее можно переупорядочить в одиночную сумму изменением индекса суммирования 4" к + т = п =~ к = (4— ,), приводящим (после переобозначения п — ~ Й) к равенству Теперь квадрат расстояния между групповыми сигналами, отвечающими различным битовым профилям, обобщает (7.22) как чв Н (ЬЬ) =Еь ~ ~ее+ — е а +. + — е е + ес~ (724) 2 ! 0 1 1 1 1 — 1 1 2 (4) 2~ ~ ~-„т=т~ 2~ где, как и раньше, с" = 0; ~2 — разность значений битов, передаваемых сигнатурой Я,($), в Л-пользовательских битовых профилях Ь, Ь'.
Если все е~, в > 0 равны нулю (биты профилей Ь, Ь' для всех дополнительных сигнатур одинаковы), по меньшей мере, одно из еь~ равно ~2 и д~(Ь, Ь') > > 4Ем Если и — максимальный номер слоя, для которого е" = ~2, и > О, слагаемые в (7.24), содержащие е"„о могут быть представлены в виде 1 1 2 „д !(2"ха~2 ~лт ~-..
~2т — ~) +1! где т,„= е„'/2 = О,х1, л = 0,1,...,и — 1. Число, содержащееся в круглых скобках под знаком модуля, всегда четно,так что квадрат модуля никогда не меньше единицы. Поскольку в (7.24) входит ровно 4" членов, содержащих е" при любом фиксированном ти, приходим к оценке ~Р(Ь, Ь') > 4"Еь|4" ' = 4Яь, доказывающей, что перенасьпцение сигна- турного ансамбля рассмотренным способом не уменьшает минимального расстояния первичного ортогонального множества. В своей общей форме описанная процедура не гарантирует, что дополнительные кодовые последовательности (7.23), получаемые из первичных бинарных последовательностей, сами окажутся бинарными. Указанное требование соблюдается для версии алгоритма, предложенной в [57), использующей в качестве первичных сигнатур строки 1-й кронекеровской степени матрицы Адамара 4-го порядка, содержащей нечетное число элементов +1 в любом столбце.
Пример 7.3. Построим перенасыщенный ансамбль бинарных сигнатур длины Х = 16 = 42. Согласно рассмотренной схеме, к 7У = 16 первичным ортогональным сигиатурам можно добавить пять дополнительных (четыре из первого слоя в = 1 и одну иэ второго слоя в = 2), доведя общее число пользователей до К = 21. Для построения только бинарных сигнатур воспользуемся матрицей Адамара вида Н4 = содержащей один либо трн элемента +1 в своих столбцах, и образуем ее кроне- керовский квадрат Н4 Н4 — Н вЂ” Н Н вЂ” Н Н4 — Нл Н4 Н4 Н4 Н4 Н4 — Н4 — Н4 Н4 Н1в = Н4 З Н4 = Первичные сигнатуры представляют собой строки этой матрицы, т.е. в норми- рованной форме: о о о о о о о о о о о (ао а1 а2 ав а4 ав ав а7 ав ао а10 о ,а,1 + + + о о о о1т а12 а13 а14 а15) + + + — + + — + — — + 1 4 + + — + + + — + — + — + + — — + + ~~~286 Глава 7.
Ансалсбли и4ироноиолосньп сигнатур + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + — + + + + + + + 7.Я. С б ю д ю СЭМА 287)) Применение (7.23) к строкам данной матрицы дает пять дополнительных бинарных сигнатур: М + а 1 1 1 а2 = — + аз 4 + + + — + + + + + + + + — + + — + + Предлагаем терпеливому читателю самостоятельно проверить оптимальность этого перенасьнценного ансамбля по критерию минимального расстояния.
Напомним, что критерий минимума расстояния адекватен (по крайней мере, асимптотически) в ситуациях, когда возможно применение многопользовательского приемника. До настоящего момента вопрос о сложности последнего не затрагивался. Для случая системы без перенасьпцения (Х < М) он не относится к категории критических, поскольку — в силу оптимальности ортогональных сигнатур — оптимальный многопользовательский алгоритм вырождается в однопользовательский (см. 2 4.1).
С другой стороны, в перенасыщенной системе чрезвычайно важно утилизировать любые возможности упрощения многопользовательского алгоритма за счет рационального построения сигнатур. Одна из подобных возможностей вновь состоит в расщеплении общего М-мерного сигнального пространства на ортогонзльные подпространства меньшей размерности п. Однако, в противовес предыдущему, далее каждое из подпространств автономно перенасьпцается п е дополнительными сигнатурами (доводя до п + по,, общее число сигнатур на подпространство), так что все сигнатуры из различных подпространств остаются ортогонэльными. Смысл подобного построения состоит в расщеплении общего многопользовательского алгоритма на М/и параллельных, оперирующих каждый в своем и-мерном подпространстве независимо от других.
При умеренном значении п упомянутые парциальные многопользовательские алгоритмы достаточно просты, гарантируя приемлемую технологическую сложность всего приемника. Общее число пользователей в подобной системе составляет (Х/п)(п + и ) = Х(1+ п /и). Оптимизация подобных ансамблей достаточно нетривиальна и не сводится к простому добавлению иа„ дополнительных сигнатур к п исходным ортогональным. За деталями заинтересованный читатель может обратиться к [58, 59].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
