Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Неравенству (4.115) удовлетворяет система кодовых по. следовательностей (аг(т)), символы которой определяются яз сравнения второй степени: а/ (т) ж / та+ сз т+ сз (вой У), (4.116) где / 1, Л~ — 1 — номер последовательности; сь се — целые числа т О, К-11 /т'— простое число. Например, прн г/ 11, с~ се 0 0 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1 0 2 8 7 10 6 6 10 7 8 2 03154994513 0 4 5 3 9 1 1 9 3 5 4 0 5 9 1 3 4 4 3 1 9 5 О 6 210 8 7 7 810 2 6 (4.117) 0 7 6 8 21010 2 8 6 7 0 810 6 7 2 2 7 610 8 0 9 3 4 1 5 5 1 4 3 9 010 7 2 6 8 8 6 2 710 2пг 8/(т) = — а/ (т), л/ (4.118) !23 Каждая строка (4.117) является кодовой последовательностью (аг(т)). Для систем (4316) при р А/ периодическая АКФ каждой последовательности имеет нулевые боковые пики.
Следовательно, для систем (4.116), (4.117] справедлива оценка (4.115). Бохьигиг системы лногофазных сиглалоз. Приведем методы построения систем многофззных сигналов, объем которых /..з /т'(5]. Положим в (4.108) р=У, т. е. где г и !т' — взаимно-простые числа.
Определим символы ат(т) кодовых последо- вательностей через сравнение и-й степени: ау (г) — ~ сн т'+ сх я+ се (шоб 1т), (4А19) где со=00, Дà — 1 не равны нулю одновременно; сь се — произвольные целые чис. ла: т=О, ~1~ — 1; и(!т'; йг — простое число; 1 — номер сигнала. Символы аг(ч) лежат в классе наименьших неотрицательных вычетов по модулю числа г(. Любые две последовательности, определяемые уравнением (4.1'19), отличаются друг от друга хотя бы одним из коэффициентов свъ причем все сы не равны нулю одновременно. Поэтому максимальный объем системы (4.120) е.=!т'е-' — 1.
Т а б л и и а 4.13. Системы многофазных сигналов Объем сестемы Кеебмьецееет Оценки икф п=2; с,к=11, !'т' — 1 (и — 1)— 1+б ~/У п~3; с,„1, т'т' — 1; сь е т= О остальные с,. = О, й! — 1 (!т' — 1) тт'е пъ4 — четное: !+6 (и — 1) -), У хГе/и О, М вЂ” 1 прн четных з ст = -( 0 при нечетных э 4.9. Болыпне пронзводно-х(нвлкчоонно онетомы Они основаны иа посимвольном перемножении производящей последовательности (У) на последовательность Уолша (Ф'е) и на циклическую последовательность Голда (бе), т.
е. 1-я последовательность определяется следушщнм образом: (А/) = (У) Э (йгь) Э(бп) ° (4.121) Поскольку 4=1, )т', п=!, (т', то 1=1, тте, т. е. объем такой системы (4.122) Свойства систем сигналов зависят от тех ограничений, которые могут быть предъявлены к коэффициентам сы. Окончательные результаты приведены в табл. 4.13. На первой строке табл. 4.!3 приведены данные системы (4.116) объема )т' — 1, а во второй и третьей строках приведены данные систем большого объема или больших систем.
Как следует из оценок ВКФ табл. 4,13, увеличение объема системы приводит к ухудшению корреляционных свойств. Если вместо системы Голда использовать большую систему Касами (4.106), то (Ау) = (У) Э(йта) чэ(Кв) ° (4.123) Так как п=1, Ныз, то объем системы (4.!23) 5 = 5!э!г. (4.124) Однако характеристики ВКФ систем (4.121), (4.123) пока что не известны. 4.10. Линейно-нроиаводиые енотами ФМ сигналов ' Максимальный объем циклических систем ФМ сигналов равен Нз!э для больших систем Касами.
В работе 142) предложен новый класс больших систем ФМ сигналов — линейно-производных систем. Рассмотрим линейную систему ФМ сигналов, которая согласно 142] может иметь объем Ь вЂ” 2, й=О,Н, (4.125) где й — выбирается согласно требованиям конкретно решаемой задачи, Н вЂ” база ФМ сигнала (длииа последователъностн).
Линейная система Н формируется путем перебора всех 5 разлвчных сочетаний произведений Д базисных кодовых последовательностей (Н,), г=1, й, элементы которых принимают значения 1 и — 1. В случае представления базисных кодовых последовательностей элементами двоичного поля они должны быть линейно-независимымн, а линейная система будет содержать все 5 их линейных комбинаций. Например, при необходимости построить систему объемом вяз!0' ее можно задать 5=20 базисными кодовыми последовательностями. Введем теперь понятие линейно-производной системы на основе рассмотренной линейной системы Н.
С этой целью выберем из полного кода ФМ сигналов с базой Н произвольную кодовую последовательность (А), удовлетворяющую условию (а)шН, которую назовем производящей кодовой последовательностью. Далее умножим посимвольно каждый сигнал линейной системы Н на производящий сигнал (А), тем самым получив новую совокупность ФМ сигналов, которую назовем линейно-производной системой ФМ сигналов.
Операцию формвроваиия линейно производной системы А с производящим сигналом (а) из линейной системы Н будем условно записывать в виде символического произведения (А)ии(о) (НП ° (4.126) Установим некоторые свойства введенных систем ФМ сигналов. Прежде всего из определения Н и А следует что А является смежным классом разложения,мультипликативиой группы полного кода по подгруппе Н.
Кроме того, объем системы А ранен объеыу системы Н. Из теории групп известно, что число различных смежных классов, н следовательно, линейно-производных систем для заданной линейной системы Н объемом, определяемым формулой (4525), составляет (4.127) ' Параграф 4.!О написан на основе совместной работы с Ю. К. Сальниковым (42). 125 причем в зто число входит также и система Н, которую можно рассматривать как линейно-производную систему с производящей кодовой последовательностью из всех единиц.
Задание всех М систем сигналов можно осуществить, используя выбор производящих сигналов таким образом, чтобы онн составляли подгруппу полного кода. Пусть Π— такая подгруппа. Тогда ее можно задать матрицей 6= Юы ° 81м (4.!28) йм — а,, ° ° з"и — а,м являющейся порождающей матрицей подгруппы производящих сигналов. Аналогично тому, как зто имеет место для порождающей матрицы линейной системы Н, в (4.128) строки матрицы — базисные кодовые последовательности подгруппы 6. Поскольку линейная система Н также задается базисными кодовыми последовательностями, для определения всех М линейно-производных систем ФМ сигналов объемом Е 2ь достаточно задать Н базисных кодовых последовательностей.
Причем й из них определяют линейную систему, Н вЂ” й— подгруппу производящих сигналов. Корреляционные свойства линейно-производной системы А лучше исходной линейной системы, что доказано путем определения р-го момента КФ, усредненного по всей системе [42). Если шр(А) — р-й момент КФ системы А, тр(Н)— то же для системы Н, то имеет место неравенство (4.1291 гп р (А) ~ гпр (Н) . Неравенство (4.129) является доказательством того, что при построении производных систем ФМ сигналов возможно улучшение корреляционных свойств, причем не только в статистическом смысле, но и по максимальным пикам, как зто следует из результатов, полученных в [43[. Экспериментальное доказательство неравенства (4.129) получено путем машинного расчета КФ линейно-производных систем на основе подгруппы Уолша.
4.11. Объем бользннх сметем ФМ сигналов Первой работой, в которой было приведено доказательство существования больших систем ФМ сигналов, является работа 144]. В ней приведена нижняя граница объема больших систем, удовлетворяющих условию, при котором КФ сигналов, образующих систему, не превышают заданного уровня. С помощью границы Чернова в 1441 найдено, что среднее значение объема большой системы удовлетворяет неравенству [(1+)з )!+а,(1 Я )1 — В,[и/2 где Ро — допустимый уровень (максимум модуля) КФ.
При )то к.1 неравенство (4.130) преобразуется в следующее: Г- — е маз~/з 8Н (4.131) которое свидетельствует об зкспоненциальном росте объема боль- 126 шой системы ФМ сигналов. Работа [441 имеет принципиальное значцние для теории ФМ сигналов. Вместе с тем, необходимо отметить, что оценка биномиального распределения КФ с помощью границы Чернова дает хорошие результаты только при больших значениях КФ.
В случае малых допустимых значений КФ корректнее использовать аппроксимацию биномиального закона рядом Эджворта: г«*~1+2 Н (Я)~ (4.132) (4.134) где дисперсия а'=1/2У, коэффициент эксцесса у=1 при У~[; Н,— полипом Эрмнта. При этом среднее значение объема боль- шой системы [45, 46] ар л (4.133) о~ Из формулы (4.129) также следует экспоненциальный рост объ- ема большой системы с ростом длины последовательностей У, что совпадает с результатом работы [441 в соответствии с форму- лой (4.131).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
