Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Вместе с тем, при увеличении У уменьшается и дис- персия КФ. Поэтому возникает вопрос, как правильно задавать совместно допустимый уровень 1то и длину последовательности У. Исследование этого вопроса, приведенное в [451, показало, что КФ обладают «пороговым свойством»: при Л»(Я р КФ произ- вольного сигнала превышает порог с вероятностью, близкой к 1, при )го)Я„р это событие происходит с малой вероятностью.
По- роговое значение Я„~~~ !п(аУ)/У, где аж1,6. Если положить, что допустимый уровень УО )~ опор' (4.135) то среднее значение объема большой системы [451 Уа — ~ ь) с(а) (4.136) [!и [ам)!3/2 где с(а) =Зпп'а-«2 'а'~'. Из (4.136) следует, что среднее значение объема больших систем с допустимыми корреляционными свойст- вами растет по степенному закону, который существенно отлича- ется от экспоненциального закона.
Введение «относительной еди- ницы» измерения уровня КФ в виде Я„р (4.134) позволило кор- ректно определить объем большой системы сигналов. Например, если необходимо построить систему сигналов с объемом, равным базе, т. е. длине последовательности У, то надо положить а 2. При этом допустимый уровень КФ должен в 2)/ [п(пУ) превы- шать среднеквадратическое значение, равное 1/ р~2У. Если необ- ходимо построить системы с Еж№, то множитель а=З и т. д.
127 Таким образом, более реальная задача, которую возможно решить,— построение системы сигналов с объемом, который определяется степенным законом А=АУ" ', (4.137) где А — некоторая постоянная, зависящая от У и а. 4.12. Оценки аиериодических В1ьФ Оценки ВКФ необходимы как для определения взаимного влияния абонентов в системах связи, так и для оценки объема больших систем. Кроме того, оценки ВКФ служат для определения полезности тех или иных алгоритмов построения систем сигналов. Исторически первой оценкой КФ была оценка, полученная из условия ограниченности объема тела неопределенности. Поскольку в дальнейшем была доказана ограниченность объема взаимной функции неопределенности (ВФН) (см., например, 15]), то из условия ограниченности объема получается следующая оценка среднеквадратического значения ВФН при усреднении по времени и по частоте Щ: овен,-а1/2Р'У.
(4.138) Эта оценка в )/ 2 раз меньше, чем оценка ВКФ ов для случайных последовательностей. При выводе (4.138) было положено, что база ФМ сигнала равна У. Среднеквадратическая оценка апериодических ВКФ для случайных последовательностей паке=1/7 2У— одна из наиболее характерных для ФМ сигналов, поскольку многие иные оценки пропорциональны ей. Оценка (4.138) по сути является интегральной, поскольку производится усреднение по времени и по частоте. Можно найти несколько оценок КФ на основе других интегральных равенств, справедливых для корреляционных функций. Одним из наиболее распространственных является интегральное равенство Сталдера — Ка. на [51: и — 1 М вЂ” ! У Р2 (и) = Х Лг(п) Ль(п).
(4.139) и — !я-!! и= — (и — !! Левая часть равенства равна сумме произведений квадратов значений ВКФ, а правая †сум произведений значений АКФ. Обозначим среднеквадратическое значение ВКФ через озке. Из (4.139) получаем Г и — ! озвке —— ~ 1+ 2 ~ч~ У; (п) У„(п) (4.140) вке Равенство (4.140) соответствует тому, что АКФ вЂ” симметричная функция и Р;(О) =Яь(0) =1. Из этого равенства можно получить шв ряд оценок. Сначала допустим для простоты, что 111(п)-Л))(л) 0 при пФО. В этом случае о кф = 1/ / 2У вЂ” 1 ж 1ф'2У, (4.141) что совпадает с оценкой среднеквадратического значения ВКФ случайных последовательностей.
Преобразуем равенство (4.140), используя неравенство Коши — Буняковского, ~ йг(п1йь(п) ~ (с~ Я1~(а) ~~" Я(и) . (4.142) Пр!именяя неравенство (4.142)' к '(4.!40), получаем две оценки: сверху «[)4[в ))1( )] [Х Я ()] )! (4)43) снизу Ч„ » [ !†[ Х 444( )] [ Г Я ( )] ). (4 )44) (4.146) Найдем статистические характеристики величины о'вкф (4.140). Поскольку можно полагать, что АКФ в правой части (4.140) распределены по бнномнальному закону с нулевым средним значением и дисперсией 0,5У, то среднее значение о»в =1/2У вЂ” 1 т 1/2У, (4.145) а дисперсия М, [ озкф) = 2 (У вЂ” 1)/3 (2У вЂ” 1) У' ж 1/3№.
Отноп1енне М [ овкф]/овкф ~ 2/3У (4.147)', убывает с ростом У. Поэтому при У.л 1 среднее значение (4.145) достаточно точно характеризует величину о«акф. Оценка (4.145) совпадает с дисперсией КФ случайных последовательностей. Поскольку отклонение озвкф от среднего значения (4Л45) с ростом У уменьшается, то в неравенствах (4.143), (4.144) приближенно квадраты значений АКФ можно заменить,их дисперсиями 1/2У.
В результате из неравенства (4.143) получаем, что нзкф ша« ' 1/УУ (4.148) а .из (4.144) авкф ым = 1/ 2У. (4.149)' Следует отметить, что минимально возможное значение модуля пика КФ раино или 1/У или О. Наличие в знаменателе правой части (4.149) величины )/ 2 свидетельствует об «усреднении» пиков с амплитудами, равными 1/У н О.
Минимально возможное значе- З вЂ” 111 129 ние ВКФ (4.149) может иметь место только для дополнительных последовательностей, у которых Л;(и) = — Яь(п) для пчь0. Необходимо подчеркнуть, что .интегральные оценки дают представление только о среднеквадратическом уровне ВКФ и не позволяют судить о максимальных пиках. Проблеме минимизации максимальных пиков КФ, в том числе и синтезу ФМ сигналов с минимальными пиками, посвящено большое число работ. Многочисленные .исследования лучших из известных систем ФМ сигналов показали, что верхняя и нижняя экспериментальные оценки распределены в интервале от /~вкФшахвы /) 2У до /1вкФшатшах 5~1Л™ Для оценки максимальных пиков можно использовать вероятность превышения пиком ВКФ допустимого уровня.
Если положить вероятность превышения Р=1/4У, то приближенно можно получить следующую вероятностную оценку максимальных пиков КФ: Я ж)/21п(аУ)/У, (4. 160) где ат1,6. Как видио нз (4.150), максимальные пики растут относительно среднеквадратического значения 1/)' 2У как 2)Г 1п (аУ)' с ростом У. Оценки максимальных пиков можно получить с помощью метода моментов, развитого в работе [431. Он заключается в следующем.
Допустим, ВКФ имеет Я пиков со значением К„,,н 2У вЂ” 1 — Я пиков со значением Я, причем Я «/г „. Момент КФ р-го порядка, ло определению, гп„= ф~" „+ ч~' ,К . (4.151)' С ростом р второе слагаемое в правой части (4.151) становится Существенно меньше, чем первое. Поэтому при У ь1 из (4.151) я „1Ь 2~у/ (4.152) Если можно найти значение момента тр каким-либо косвенным образом, то в соответствии с (4.152) можно найти и оценку максимальных пиков. В работе [431 показано, что оценки КФ определяются следующими выражениями: сверху /эшах шах $ [1+ )/ 5У)/2У~ снизу )эшапе шш У2/У. (4.154) Следует отметить, что оценки (4.153), (4.154) получены на основе второго и четвертого момента. Если будут найдены моменты более высокого порядка, то они позволят получить более точные оценки.
Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что в настоя1за шее время не,решена основная задача в теории оценок КФ: не создан метод нахождения оценок максимальных пиков для конкретной системы сигналов по структурным свойствам сигналов. б. СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ ЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ 5.1. Корреллционнаге функции ДЧ сигналов и число совпадений Нанболыпее распространение на практике получили дискретные частотные (ДЧ) сигналы, обладающие толысо одним частотным элементом во временной полосе.
Примеры таких сигналов приведены на рис. 2.15,6 и 5.1. Подобные ДЧ сигналы называют- У Р' и Э з 7 ся сигналами первого порядка 151. Поскольку только такие сигналы и будут рассматриваться,то в дальнейшем их порядок указываться не будет. Обзор работ по ДЧ сигналам до 1978 г. и их свойства можно найти в (4, 51. Поэтому в данном параграфе будут приведены только основные свойства ДЧ сигналов 151 и алгоритмы построения систем таких сигналов.
Положим, что ДЧ сигнал состоит из М элементов, а все д г 1 в 4У зс гс а1гзсзятззм элементы имеют одинаковую форму Ф(1). Пусть номера элемен- Рвс. 5.1. Частотно. временная матраца тов т изменяются от О до М вЂ” 1, а;(т) — комплексная .амплитуда т-го элемента, а положение т го элемента по частоте определяется сдвигом, равным у1(т)6е, где у1(т) — символ частотной кодовой последовательности (ЧКП) (у;(т)), ~причем у1(т) при изменении т=О, М вЂ” 1 меняется в таких же пределах от О до М вЂ” 1, но в определенном порядке. С учетом сделанных предположений,комплексная огибающая ДЧ сигнала и — ! 01Я= ~ ав(т)Ф(1 — тА1)ехр(1у1(т)Авг) (5.1) ~0 причем здесь .и в дальнейшем используется условие АвА1~0(шоб2н), (5.2) где Ае=2ясА1 — ширина спектра элемента, А1 †е длительность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
