Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Смещение соседних элементов по частоте равно Аа, а по времени — А1. Как видно из (5.1), изменение аргумента у элемента Ф(1) происходит линейно в соответствии с изменением т, а смез* 131 щение по частоте —,в соответствии с изменением 7~(т). Например, для ДЧ сигнала, показанною штриховкой на частотно-временной плоскости (ом. рис. 5.1), ЧКП (т;(т)) =085210741963. Известна [51 частотно-временная дуальность ДЧ сигналов. Ис- пользование ее позволяет,расширять применение тех или нных по- лученных результатов.
Чтобы воспользоваться этим, преобразуем комплексную огибающую ДЧ сигнала, используя временную ко- довую последовательность (ВКП) (т;(т)), к следующему виду: м — о У~(1) = ~ а~(7) Ф[1 — т~(7) Ы] ехр(1 уйоо Г). (5.3) т=о В формуле (5.3) линейно меняется смещение по частоте в со- ответствии с изменением 7=0, У вЂ” 1, а изменение аргумента у эле- мента Ф (1) происходит в соответствии с изменением ВКП (т;(у)), символы .которой .изменяются в тех же пределах от 0 до М вЂ” 1, но в определенном порядке. Например, для ДЧ сигнала, изображенного на,рис.
5.1, ВКП (т;(у)) =073106295184. Формулы (6.1), (5.3) и определяют частотно-.временную дуаль- ность ДЧ сигналов: в (5.1) отсчет производится по времени (по номерам дискретов т), а в (5.3) — по частоте (по сдвигу часто- ты, пропорциональному т). Используя определение ФН ]7ф (т, д)) элемента Ф(1) и условие '(5.2), можно получить ВФН сигналов (5.1), (5.3). Полагая д)=0 и учитывая предположения, сделанные при определении комплек- сных огибающих (5.1), (5.3), находим, что ВКФ ДЧ сигнала с ЧКП (5.1) м — ~м — ~ ][уд (т) = — ~ч~ ~~~ ~а~ (т) ад Од) 17ф ((т+ (]д — т) Л 1, М ч=о о=о [77(т) — уд (Р)] й ы), (5.4) я ВКФ ДЧ сигнала с ВКП (5.3) 1 м-1м — 1 отто (т) = — ~~ Е а~ (7) ад ($) мФ (т+ [ъ (с) — т (У)] о г, (т — $) ддоо). м (5.5)' Расомотрим ВКФ (5.4), '(5.5) в дискретных точках, полагая т=Лод1.
(5.6) Подставляя (5.6) в (5.4)', (5.5), получаем: м-1 м — 1 Р~д(Л) = — ч~~ ",~~~'а~ (т) ад()д) йф((Л+ р — т) М, [7~ (т) — уд (р)] Ь а); Му'О„=, (5.7) ~ м ~м — 1 Йв(Л)= — Х 7, а~(7) ад(ь) Йв ИЛ+то(я) — тз(7)] й[ (7 — $) 6 до). т 01=:0 (5.8) два Аналив ВКФ (5.7), (5.8) существенно упрощается, если использовать условия ортогональности элементов, которые сводятся к тому, что различные элементы не перекрываютоя во времени, а .их спеквры не перекрываются по частоте.
Отметим, что такие условия не могут выполняться одновременно, так как спектр функции, ограниченной по длительности, имеет неограниченную ширину. Но для простоты анализа, будем считать, что условия ортогональности имеют место. Поэтому положим, что в дискретлых точках частотно-временной плоскости для ФН элемента Ф(1) выполняются условия ортогональности, а именно: )~ф(Р.А(~ ДЬЕМ)= =(' "" ''=' (5.9) 0 при остальных значениях Р и д.
Используя условия ортогональиостн (5.9)',и полагая ~а~(т)) = ~ац,(р) ) =1, из (5.7), (5.8) получаем оценку модуля ВКФ в дискретных точках Яп (Л)1 (т!М, '(5.10) где ш — число, решений следующих систем уравнений: Л+ р — ~ =О 1 Л+а($) — тт(у) = 0 (5 11) (5 12) у~(т) — уа (р)= 0 ) у †1 Система (5.11) соответствует ВКФ (5.7), а система (5.12)— ВКФ (5.8).
В этих системах Л изменяется от — М до М, а т, р, у, 3=0, М вЂ” 1. Используя одно из уравнений систем '(5.11), (5.12)' можно свести эти системы к уравнениям: ую (т) — уа (т — Л) = 0' т~ (у) — та (у) — Л = 0 (5 13) (5.14) Число решений целочисленных уравнений (5.13), (5;14) меньше числа ~решений соответствующих сравнений по модулю М: у~(т) — уд(т — Л) аие 0 (пюб М); тт(у) — та (у) — Л 0 (пюй М).
(5.15), (5.16) Сравнения (5.15), (5.16) являются частными случаями сравнения а~ (т) — аа (т — р) — Л ы* .0 (пюд М), (5.17) где т=О, М вЂ” 1, Л=О, М вЂ” 1, р= — М, М. Если сравнение (5.17),имеет гй решений, то оценка (5.10) преобразуется к следующей М „'(Л)~ <гл~М, (5.18) причем Ж)гп. Если кЬ=О, то формально ~Я;Л(Л) ~ =О, но это будет в том случае, если всюду выполняется условие ортогоиальности (5.9). Но так как строгой ортогональности во всех дискретных точках добиваться нельзя, то при я=О ~Яга(Х) ~ <<1/М. Поскольку последовательности (а;) и (аа) состоят пз символов, принадлежащих к одному алфавиту (О, 1, ..., М вЂ” 1), то при изменении номеров т, р, Л ~рано,или поздно возможно совпадение 1зз 5.2.
Рашзределеиие числа совпадений в иорреляциоииьхк фуиицилх ДЧ сигналов Число совпадений элементов и в ДЧ сигналах согласно (5.10) определяет ВКФ таках сигналов в дискретных точках. Сначала рассмотрим случай, когда два ДЧ сигнала (полезный и мешающий) полностью перекрываются по времени. При этом число совпадений ш может изменяться от 0 до М. Полное перекрытие двух сигналов возможно, когда между полезным и мешающим сигналом нет временного сдвига или когда каждый иэ сигналов излучается непрерывно (периодическн), При этом на выходе согласованного фяльтра будем иметь периодическую ВКФ. Перейдем к распределению числа соввадеиий. Число ДЧ сигналов без совпадений элементов ио частоте (5.19) Соответственно число пар сигналов равно (М!)э Из них М! пар сигналов состоят из тождественно одинаковых сигналов и имеют М совпадений, а из оставшихся (М!)з — М! пар сигналов половина не различима, так как каждой паре с номерами ! и / соответствует пара с номерами ! и 1, т, е.
из (М!)з можно исследовать ие более ((М!)' — М!)/2 пар сигналов. Доказано (5], что относительное число пар перестановок с гн совпадениями или вероятность ш совпадений р (и) М! П 7(М!) П ~М! (5.20) Число 1!м,~ называется субфакториалом, тан иак доказано, что оно имеет много свойств, аналогичных свойствам факториалов. Субфакториал В М1[1 + +( Ц м 1! 2! М! )' (5.21] Т а блина 5.1. Субфакториал 10 6 7 1334961 14333 133496 265 1854 9 44 134 кодовых последовательностей, т.
е. возможно решение совпадения (5.17). Если при данных т, р, А, 1, й имеет место одно решение (одно совпадение), т. е. гй=1, то )ттул()ь) (=1/гг1. Улеличешге числа решений, во-первых, увеличивает максимальный уровень ВКФ согласно (5.18), во вторых, ухудшает использование отведенной полосы часгот для сигнала (5.1) с ЧКП, так как спектры некото,рых элементов будут совпадать (ухудшает использование отведенного времени и пик.фактор сигнала (5.3) с ВКП, так как будут совпадать некоторые элементы);,в-претьнх, увеличивает число снгиалал в системе. Именно третье следствие позволяет строить большие системы сигналов, но при условии гп)1.
Назовем ДЧ сигналы, обеспечивающие одно совпадение т=1, оптимальными. Рм (т) -1/ет!. (5.24) Из (5.24) следует, что при МЪ! вероятность от М. Наиболее вероятны случаи, когда т=О совпадение). Их вероятностя примерно равны дены значения вероятностей Р„(т) для М=5 формуле (5.20). Рм(т) практически не зависит (совпадений нет) я т 1 (одно е-'т0,368. В табл. 5.2 приве- и М=9, рассчитанные по точной Т а б л и ц а 5.2. Распределение числа совпадений 7 8 9 0 ( о,ои( 0,0083 0,366 0,375 0,167 Рз(т) 0,003 5 10 е 10 е 0 310-е 0,368 0,0!5 0,368 О, 184 О, 061 Рз (т) Сравнение данных табл.
5.2 с законом (5.24) позволяет использовать этот закон для приближенных расчетов. Распределение Рз(т) при М 5 (табл. 5.21 незначительно отличается от распределения (5.24), а распределение Рэ(т) прн М 9 практически не отличается от (5.24). Поскольку наиболее вероятными согласно (5.24) являются или т=О, или т=1, то модуль ВКФ (5.10) наиболее вероятно будет равен или 0 или 1/М. Среднее значение числа совпадений, распределенного по закону Пуассона (5:24), равно 1.
Поэтому среднее значение модуля ВКФ (5.10) /1 = шт (!)7/ь (2)! ) = 1/М. (6.25) Вероятность появления т=О илн т= 1 равна 0,736, вероятность появления т<2 равна 0,92, а вероятность появления т<4 равна 0,981. Отметим, что эти вероятности согласно (5.24) не зависят от М. И поэтому при МЪ! уровни ВКФ (5.10) должны быть малыми. Если полезный и мешающий сигналы перекрывюотся частично, то в этом случае на выходе согласованного фильтра будет иметь место апериодическая ВКФ. На рис. 5.2 изображено совместное расположение двух частично перекрывающихся ДЧ сигналов первого порядка: сигнал А (левая штриховка) опережает сигнал В (правая штриховка) на два элемента.
Перекрытие сигиалоз возможно только в прямоугольнике АВ, выделенном толстой линией. При перекрытии сигналов А и В, изображенном на рис. 5.2, имеет место одно совпаде- 136 Его значения приведены в табл. 5Л. Для субфакториала известны рекуррентные соотношения: )ум, См!!м-, Пм=М!)м-!+( — 1) (5.22), (5.23) которые позволяют найти любое Рм и Рм, . Формулы (6.20) — (6.23) позволяют найти вероятность т совиаденнй. Прн больших М выражение в квадратных скобках (5.21) стремится к е-', что позволяет аппроксимировать распределение вероятностей (5.20) законом Пуассона со средним значением, равным единице Щ: няе (квадрат с совпадающими штриховками), Допустим, что временной сдвиг, кратен длительности злемента Ы, т.
е. т=лЫ, где л — целое число, удовлетворяющее условию )л! О, М, где М вЂ” число элементов в ДЧ сигнале. При л 0 имеем случай периодической ВКФ, при )и! =М сигналы не перекрываются. Так как л полностью характеризует временной сдвиг, то в дальнейшем будем оперировать только с л. Доказано Щ, что вероятность и совпадений при временном сдвиге л Рм „(и) = л1 Рм,„а/М1, (5.26) О где иеиолный субфакториал Щ Рис. 5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
