Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для двоичных М последовательностей (я=2) известен метод Голда [17, 40], позволяющий выбирать пары образующих М-последовательностей. Зтот метод основан на выборе последовательностей в соответствии со свойствами многочленов. Каждой М-последовательности длины ЬГ=2" — 1, где л — некоторое целое число, соответствует свой неприводимый многочлен степени л. Неприводвмым называется такой многочлен, который ие может быть представлен в виде произведения многочлеиов с меньшнмн степенями. Каждому корню 1!9 ч=0, К вЂ” !.
Каждая последовательность циклической системы равна разности между последовательностью (а(ч)) и циклической перестановкой (Ь(ч+])) т. е. (су(т)) = (а(ч)) — (Ь(т+]П. (4.92 у Можно доказать, что последовательности системы (4.92) являются сима.. лексными. Отметим, что циклические системы являются производными, так как система последовательностей (Ь(ч+/)) является исходной, а последователь- ность (а(ч) ) — производящей. !(орреляционлые функции циклических систем. Поскольку символы с! по.
следовзтельностей (с!(ч)) относятся к мультипликативной группе, то взанмо- корреляционная функция (ВКФ) определяется следующим образом: 1~а12п Ягь (Ц = — ~ ехр (1 — [су (ч+ Л) — сь (ч)]) . (4.93) — о Используя свойства образующих последовательностей (а(ч)), (Ь(ч)) (4.85), (4.86) и определение (4.91), запишем су (ч + Л) — сь (т) = а (ч + Л) — Ь (я + 1 + Л) — а (т) + Ь (ч + Ь) вм — = а(ч, Л) — Ь, (ч, Л, /, й)тобр, (4.94г где а(ч, Л), Ь(ч, Л, 1, Ь) — некоторые циклические перестановки образующих по- следовательностей. Обозначим периодическую ВКФ образующих последовательностей (4.94) 1 ~! г 2л гг (Л) = — ~~ ехр ~! — [а (ч+ Л) — Ь (ч)]~, (4.95) Л т=з а периодическую ВФН /(шах()г) ( [/2/М +1/У+О 945/з'М (4.!02) Пример расчета.
Для трех значений У=31, 127, 511 найдены оценки максимальных боковых пиков ВКФ циклических систем. Результаты расчета приведены в табл. 4.! 1. Т а б л и ц а 421. Характеристики циклических систем з/ згхм 0 <Л! тзх Я 1А, р! Пямх !Х! 31 127 511 0,29 0,134 0,059 0,39 0,28 0,20 0,935 0,74 0,61 0,37 0,18 0,09 128 многочлена степени л может быть поставлен в соответствие элемент поля Галуа бР(2") (кодовая последовательность полного кода длинм л, за исключением элемента, состоящего из одних нулей).
Всего ненулевых элементов име. ется 2" — 1. Корень а, все степени которого аз, а', а', ..., аз"-'=аз дают различные элементы поля, называется первообразами или примитивным. Неприводимый многочлен, одним из корней которого является примитивный элемент поля, называется примитивным. В соответствии с методом Голда образующим М-последовательностям должны соответствовать примитивные многочлены, корнями которых являются а-ч для первой и (ам+') — т для второй последовательностей, где ! — любое целое число, взаимно-простое с л. Выбираются такие последовательности достаточно просто с помощью таблиц неприводимых многочленов [14). Если М-последовательности выбраны по методу Голда, то их периодические ВКФ являются трехуровневыми, т. е, принимают только три значения [17, 40): Е,= — 1/М, а(й) = 1),=У2/М вЂ” 1/М, (4.99) ().
= — У2/М вЂ” 1/№ Вероятности появления этих значений следующие: Рз = 1/2 — 1/2 У, Рз = 1/4+ 1/4 М вЂ” 1/ ~ 8М, Рз —— 1/4+ 1/4М+ 1/'[Г8№ (4.100) Периодические ВКФ циклической системы могут принимать только значения (4.99), причем вероятности (4.100) соответствуют случаю усреднения по всем ВКФ всех циклических перестановок. Дисперсия периодических ВКФ по определению (1+4/У)/Уяз1/У. Отметим, что максимальные боковые пики для полного кода можно оценить по формуле 3/)г М, в то время как (4.99) дает значения 2/[ГУ-!,41/[гМ, в два раза меньше. Таким образом, оценка первого слагаемого в (4.97) дается максимальным значением (4.99), равным р 2/М+1/М.
Максимум модуля периодической ВФН шах (Я()г р)((2з/хи — ! М вЂ” ье+М вЂ” !)!/з 0 94М вЂ” !/4 (4.101) Л Р Подставляя в (4.97) оценки (4.99), (4.101), находим оценку максимальных пиков ВКФ циклической системы; Как видно из табл. 4.11, оценки /гмьь(Х) достигают больших значений в существенно превышают утроенное среднеквадратяческое значение 3/»/ЗУ. Это 4 объясняется тем, что данные оденки пропорциональны 1/1/У. На самом деле максимальные пики будут меньше. Были рассчитаны все АКФ и ВКФ циклической системы для У=31.
Образующие М-последовательности строились на основе примитивных многочленов (,(х) =х'+х'+! и (ь(х) =х'+х'+кь+х+1. Многочлену /,(х) соответствует последовательность (а(ч)) с начальными условиями — 1 1 — 1 1 1, многочлену /ь(я) — последовательность (Ь(ч)». Нормированное значение максимальных боковых пиков удовлетворяет неравенству /( ьь(Х)(0,42, что близко к значению 3/)/2У=О,З7 табл. 4.11.
Последовательности Казали. Образованна циклических последовательностей при аддитнвных символах согласно (4.91) можно записать символически, вводя задержку РЕ. При этом правило образования циклической системы (4.91) можно представить следующим образом: (С/(.)) =(А(ч))Э(Р(/) В(ч)). (4,103) где символ Э означает посимвольное умножение последовательностей (А(ч)) и (Р(/) В(ч)), а произведение Р(/)В(ч) является символом В(ч), сдвинутым на ) тактов, /=О, У вЂ” 1.
Число всех последовательностей равно У+2, так как имеется всего У сдвигов плюс две исходные последовательности. Касами (4!» предложена система ФМ сигналов, которая получается посимвольным перемножением М.последовательности (А(ч)) с периодом У 2" — 1 и М-последовательности (В(ч)» с периодом У~=йь/2 — 1, причем используются циклические сдвиги (Р(/)В(ч)). Поэтому система Касами получается аналогично (4.!03), но /=О 2"/2. В результате число последовательностей (4.!04) Поэтому систему Касами с объемом (4.104) называют малой.
Максимальные пики ВКФ малой системы Касами удовлетворяют соотношению у ~ (2н/2 » 1)/(2н !) 1/.(/у (4.105) Большая система Касамн (41» получается при посимвольном перемножении двух М.последовательностей с периодами У=2" — 1, образующих циклическую систему (4ЛОЗ), на М-последовательность с периодом У,=йь/2 — 1, причем н — четио. Таким образом, символически алгоритм формирования большой системы Касамц записывается следующим образом: (КП (ч)) = (А (ч)) /З(Р (/) В (т)) ®(Р (!) С (и)), (4.106) где (А (ч)), (В(ч)) — М-последовательности периода У; (С(ч)» — М-последовательность периода Уп Р(/), Р(!) — символы сдвига, ( О, У вЂ” 1, !=О, У вЂ” 1.
При н~йшод4 объем системы равен 2"/2(2ь+1), а при л=Ошо64 он равен 2"/2(2" +!) — 1. При больших и объем большой системы Касами ! Ззл/2 Уз/2 (4.107) т. е. в (/У раз больше объема нормальной системы. Корреляционные свойства большой системы Касами удовлетворяют оценке (4.105). Б табл. 4Л2 приведе- 121 Т а б л и ц а 4.12. Циклические системы последовательностей :йй Значении, принимаемые коррелвцнониымв фтвкцнамп Примечание 3551 33 23 73 33 14561 65 14343 66 12471 64 1527 а 133 606 $20 Последовательности Голда Вваимио-обратные М-посаедавательноств Последовательности Голда Баавмно-обратные М-последовательности Последовательности, двоЯственные кодам БЧХ Малое множество после- довательностей Касеми Большое множество по.
следовательностей Каса. ми Последовательности Голда М-последовательности Взаимно-обратные М-последовательности Последовательности тапа Голда Последовательности, двойственные кодам БЧХ Малое множество после. доввтельнастеЯ Касамн Большое множество последовательностей Касам» П 7 3 — 1 — 5 — 9 — 17 65 16 11 7 3 — 1 — $ — 9 13 — 17 16 7 15 7 !$ П 7 3 — 1 — 6 — 9 — 13 6$ !27 63 129 10762 41567 — 17 — 17 — 17,...,— 29 265 31 15 — 1 31,, 15П 7 3 — 1-5 — 9 — 13 231441 2$7 264466 2 $7 326161 256 267643 2 6 $ П3$7 16 ан! 6034111 17 — 33 31 16 31 16 — 17 16 — 17 — 33 31 15 4.8.
Сменены многофаанык енгналов Положим, что в дискретном многофазном сигнале число различных фаз равно р, а фазы принимают значения 07(т) =(2пг/р) ау(т). (4.109) Числа г и р — взаимно-простые; т — номер элемента, т О, тт' — 1; а!(т)-й символ /-й кодовой последовательности (а!(9)). ВКФ сигналов 1 и й по определению записывается следующим образом: !т — $-1 )суй ()ь) = — ~ ехр (1[07 (т+ й) — йа (т))) . (4.109) е=й ны данные [41) по системам ФМ сигналов, являющихся последовательностями Голда, Касами и родственных им. В первом столбце указана длина последовательностей, во втором — образующий полипом, представленный в восьмиричной записи, в третьем — число последовательностей, в четвертом — значения периодических ВКФ, в пятом — названия систем и последовательностей.
Таким образом, циклические системы Голда и Касами позволяют строить нормальные и большие системы ФМ сигналов. Подставляя (4.108) в определение (4.109), находим 1~а ! 1.2мг /с/ь (Ц = — ~ ехр ~ ! — (а/(т+ ь) — аа (т)]). А! о ~ и Модуль максимального пика /гюзх = (1/г/) /юзх (4.110) (4.111] где /мах= вах (//а(")! ° /. а.а (4.! 12) У вЂ” Л-1 //а Щ = 'Я ехр (! (9/(т+ й) — Оа (Х)]) ° (4.113) т — а Максимальный боковой пик будет минимальным, если максимальное значение /мгз минимально, т. е. шах (/!а (Х)! = в1п. Исследования показали (5], что для уменьшения /м~ необходимо иметь исходные сигналы, у которых периодические АКФ имеют положительные боковые пики. Оценка ВКФ при У.м! /7шза ( (1/УА! ) (1 + 6), (4.115) где б определяется соотношением (4.98). Пример системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
