Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4.1. Например, для системы У вЂ” 16 л7 16. и т. д. Производная система для определенного У была получена из системы Уолша путем посимвольного перемножения каждой последовательности на производящую нелинейную последовательность с тем же )т'. Во втором столбце табл. 4.1 приведено предельное среднеквадратическое значение о= 1/$' 2У, а в третьем — среднеквадратическое значение реальных систем. Сравнивая результаты второго и третьего столбцов, видим, что они близки. Если ввести переменную х=1062!Ч, т. е. тч1=2к, то 22 — к+ 21 — 2к (4.26) Зависимость (4.26) приведена на рис. 4.2. Точками снизу вверх отмечены значения у для та!=2, 3, 4, рассчитанные непосредственно. Звездочками слева направо отмечены значения у для производных систем П-16, П-32, П-64, приведенные в четвертом столб- це табл.
4.1. Как видно из рис. 4.2, коэффициент эксцесса произ- водных систем близок к 7 (4.25), но все меньше, что является, не- сомненно, достоинством таких систем сигналов по сравнению с си- стемами Уолша, у которых 7~1. 4.8. Системы Уолптв Среди систем ФМ сигналов многие образованы на базе систем Уолша. Системам Уолша и их применению посвящено большое число работ (см., например, !5]).
Существуют различные и адекватные определения систем Уолша. Для исследования систем Уолша с точки зрения нх корреляционных свойств целесообразно использовать матрицы Адамара, которые определяются следующим символическим равенством: (4.27! где Нн — матрица Адамара порядка Н (число строк равно числу столбцов Н), а Ннг — матрица Адамара порядка 2Н.
Полагая Н~=1, из (4.27) получаем следующие матрицы порядка 2, 4, 8: ! 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 1 Нх -'- Нх = (4.28), (4.29) (4.30) Используя (4.27), можно найти матрицы Адамара для любого А!=2, где и — ' целое число. Матрицы Адамара известны не только порядка )Ч=2 , но и других значений Н. В основном известны матрицы Адамара порядкакратного 4. В табл.4.2 !14] приведены матрицы Адамара для Н(10э и кратных 4. Матрицы Адамара удовлетворяют уравнению Н Н„г— И1, (4.31) где Нтн — транспонированная матрица Адамара; 1 — единичная матрица. В (4.31) используется обычное произведение матриц.
Матрица порядка 2Н может быть получена путем применения прямого (или внешнего) произведения матриц. Если Нн и Нм— 'матрицы Адамара порядков Н и М, то прямое произведение !о! 1 1 1 — 1 ! — 1 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 1 1 1 1 — 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 — 1 1 1 1 1 — ! — 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 — 1 1 1 1 1 — 1 Табллца 4.2. Параметре матрац Адамара л Нм й Нм,. А Н )а!Ни й аНм ". ЬппНм (4.32) Аю Нм йлп Нм " ЬплНм где Ь;и — элементы матрицы Нл.
В (4.32)' каждый элемент умножается на все элементы матрицы Нм по правилу умножения матрицы на скаляр. Порядок матрицы НлЮНм равен произведению НМ. Из (4.32) следует, что матрица Н, =Н,ЕН„. (4.33) Формула (4.33) соответствует символическому равенству (4.27)'. В качестве кодовых последовательностей системы Уолша можно брать строки или столбцы матрицы Адамара. Число кодовых последовательностей равно порядку матрицы Н. Следовательно, объем системы Уолша равен М.
Обозначать системы Уолша будем следующим образом: например, У-8, где цифра равна объему. Обозначим )ью кодовую последовательность Уолша как (Щ', а ее а-й символ через ((7!(и). Уравнение (4.31) определяет ортогональность кодовых последовательностей Уолша, т. е. выполняется равенство (О р )~й. (4.34) Для символов последовательностей Уолша используется следующее мультипликативно-двоичное представление: 102 в=4=24 и=8=24 в = 12 = 11 + 1 в= 16= 2п в = 20 = 19+ 1 т = 24 = 2 (11 + 1) е = 28 = Зп+ 1 32 2п т = 36 = 2 (17 + 1) е = 40 = 2 (19+ 1) и = 44 = 43+ 1 в = 48 = 2а;(11 + 1) е = 52 = 2 (За + 1) и = 56 = 2 (За + 1) в = 60=59+ 1 и,= 64 = 2п т ~= 68 = 67 + 1 т = 72 = 2а (17+ 1) е = 76 = 2 (37+ 1) и = 80 = Р (19 + 1) т = 84 = 83 -(- 1 и= 88= 2 (43+1) и=92 т = 96 = 2а (11 + 1) е = 100 = 2 (7а+ 1) т = 104 = 2п(5а+ 1) е = 108 = 107+ 1 и = 112 = 2п(34 + 1) и=!16 т = 120 = 2 (59 + 1) т = 124 = 2 (61 + 1) и=128=2~ в = 132 = 131 + 1 и = 136 = 24 (33 + 1) т = 140 = 139 + 1 т= 144= 2а(17+1) т=!48=2 (73+1) и = 152 = 2а (37 + 1) и =156 и = 160 = 2а (19+1) и = 164 = 163 + 1 и=168 — 2 (83+1) т= 172 т = 176 = 2а;(43+ И и = 180 = 2 (89+ 1) и =184 и=188 и=192=2 (11 (.И и = 196 = 2 (97 + 1) т = 200 = 2а (7а + 1) !О!121!!!а!2!3!41$!6!а о о о о о а~а~аа~аФ~п~а~ — а~а~ — а~а аа ~ а ~ аэ ~ !л7л! ~ а ~ а ~ — а ~ — а ~ а ~ а ~ — а ~ — а е~ аэ~ ВФ~ а~ !лая! а~ а~ а~ а~ — а~ — а~ — 1~ — а ь~ а~ ВФ~ а~ л-1-!луч! ~ аа — а~ а — а~ — а~ а~ — а~ о~ аэ~ а~ а~ алал1-1-!я!л! а~ а~ — а — а~ — а — а~ а~ 7) 1) !~ 1~ я+!и/2!+!л/4! ! !! — 1~ — 1) !! — 1~ 1~ 1! — ! !В ° В 1 11 ° 1 1ФФ ° ° ° ° В ° 1 ' ° 1 ' 1 .
1 ! ° 11'! 1 ' ° ° '1 ° 1 ',1 ° ° ' 1 ' ! 11 ° 1 В Э '11 ° ° ° : ° ' ° ° 1'1 '; ° 1 ° 1 ° ° 1 ° ! ' ! 1 ° ° ° ' 1 ° . ° 1 ° Э 1 1 1. °,.1. ° .1 ° В ° ' ! ° 1 Ф ° Э. 11 ° \ ° ° 1 ° ° ° 1 ° 1'! ° ° 1 ° 1 ° ° ° ' ° ° ° 1, 1 1 ' ° а ~ ВФ ~ л ! !л)л! ~ а ~ — а ~ — а ~ а ~ а ~ — а числу единиц в двоичном представлении числа /. Для / 0 вся сумма равна О, для /=1 сумма равна первому слагаемому [л/2о) = = [и] =л, для /=2 сумма равна второму слагаемому [а/2') = [л/2) и т. д. Вычисляя показатель степени для каждого п и возводя — 1 В ПОЛУЧаЕМУЮ СТЕПЕНЬ, ПОЛУЧаЕМ ВСЕ СИМВОЛЫ Ятт(а), КОТОРЫЕ ПРИ- ведены в последующих столбцах табл.
4.3. Сравнивая полученные кодовые последовательности (строки табл. 4.3, состоящие из 1 и — 1) с кодовыми последовательностями матрицы (4.30), замечаем, что они идентичны. Система Уолша является группой. Доказательство следует из представления (4.36). Произведение 5 ~ 1~1 о"от~в ~ 1 [ тм ~ ит ( ) (У ( ) (4.37) Сумма а;(лт)+ав(пт) =а,(т), где (а~(лт)) — некоторая последовательность, принадлежащая тому же полному коду с л/=сопз1, что и последовательности (аз(т)) и (ав(пт)). Следовательно, произведение 1р';(а) %'4(л) = йУ~(л) является последовательностью Уолша. Для примера в табл. 4.4 при- /с ./ ведена таблица умножения для системы Уолша У-8.
В табл. 4.4 / и А — номера последовательностей Уолша, упорядоченных в соответствии с табл. 4.3. Произведение двух последовательностей Уолша дает новую последовательность Уолша. Например, если /=6, 4=6, то в результате умножения получается последовательность с номером 3. Из табл. 4.4 следует, что нейтральным элементом является последовательность с номером /=О, Та блица 4.4.
Групповые свойства системы Уолшв Послеиоаательпость Уалша прп 4 о 1 Ю 7 Рис. 4,3. Система Уолшв 104 состоящая из одних единиц, а обратными элементами являются сами элементы. Так как система Уолша является подклассом полного двоичного кода объемом 1=2» и в то же время она является группой, то она есть подгруппа полного кода.
В результате полный двоичный код может быть разложен по системе Уолша. Например, пусть У=4. Полный код имеет объем 2'=16. Пронумеруем все последовательности полного кода номерами от О до 15. Последовательности Уолша имеют номера О, 3, 5, 6. Одно из возможных разложений полного кода имеет следующий вид: О 3 5 6 !5 12 10 9 (4.38) 14 13 11 8. В (4.38) верхняя строка представляет собой систему Уолша, а остальные строки — смежные классы. В соответствии с классификацией систем сигналов каждая строка — подкласс полного кода. Выбор образующих определяет свойства подкласса. Число смежных классов, включая систему Уолша, равно 2»/У.
Так как У=2, где а — целое число, то число смежных классов равно 2"-". На рис. 4.3 приведены кодовые последовательности У-8, упорядоченные по числу блоков р, а 9=1,1т'. На рис. 4.3 справа указаны число блоков р и номер последовательности 1 в соответствии с табл. 4.3. Для системы Уолша характерно то, что число блоков в иоследовательностях изменяется от 1 до Ж. Поэтому система Уолша должна обладать плохими корреляционными свойствами, так как у большинства последовательностей число блоков далеко от оптимального. Это подтверждается тем, что большинство АКФ и ВКФ последовательностей Уолша имеют большие боковые пики (см., например, табл. 4.1). Йзвестно, что спектры сигналов Уолша сдвинуты относительно друг друга по частоте. Сдвиг можно характеризовать как положением максимума спектральной плотности мощности, так и эффективной шириной спектра. Чем больше число блоков р, тем больше сдвиг спектра.
Если обратиться к спектру кодовой последовательности (3.9), то можно показать, что спектр кодовой последовательности с и= ! имеет максимум при в=О, а спектр кодовой последовательности с п=Ф имеет максимум при в=я/ть Оба максимума равны )т'. Соответственно 'максимум спектральной плотности мощности равен )У'. У остальных последовательностей максимумы спектров лежат между значениями в=О н в=пй0. При исследовании спектральных свойств системы Уолша целесообразно использовать двоичное (нли диадное) упорядочение кодовых последовательностей. Это показано в табл. 4.5.
В первом столбце табл. 4.5 дан номер последовательности в десятичной системе счисления, а в трех последующих в в двоичной системе. Кодовые последовательности (Ьь(п)) содержат младший РазРЯд спРава, а число символов в них Равно !ойтуз. В патом !ез Т а б л и и а 4.5. Диадиое представление системм Уолша аь (л) ьь (л) столбце указано число блоков )(, а в шестом — номер 1 — строки матрицы Адамара, приведенной в табл. 4.3.
Используя последовательности (Ьа(л)), можно представить спектр кодовой последовательности Нь(х) в следующем виде: На(х)= Ц [1+( — 1) ь'л'ехр( — 12лх)), (4.39) л=е где 5 определено (4.36). Подставляя (Ьь(п)) в (4.39), можно найти спектры кодовых последовательностей Уолша. Сигналы Уолша рис. 4.3 имеют много общего с тригонометрическими функциями. Особенно это видно при сравнении положений нулей спектров сигналов Уолша и нулей спектров тригонометрических функций. Общность между ними подчеркивалась неоднократно. В отличие от тригонометрических функций, сигналы Уолша позволяют широко и просто использовать цифровую технику при формировании и обработке, что делает их перспентивными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
