Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(3.73)' Как видно, ВФН )т)з и 1Ь) ие вошли в (3.73). Это приводит к следующему. Поскольку длительности сигналов У)(1) )и Уа(1) равны Т, то нх ФН 1«т) (т, 11) и Дз(т, 11)1 отличны от нуля только и пределах полосы ( — Т<т<Т, — со<Я<со). В то же время сигналы (3.71) имеют длительность 2Т, и нх ФН (3.73) отличны от нуля в пределах полосы ( — 2Т<т<2Т, — со <)14<))о).
Следова- тельно, суммирование корреляционных функций йз(т, 11) и Я) (т, Й) приводит кполномуподавлению боковых пиковв полосах ( — 2Т =. =.т< — Т, — со<Я<со) и (Т<т<2Т, — оо<й<))о). Это свойство сигналов (3.71) имеет общий характер. Действительно, используя последовательно пра)вило присоед)и- пения (3.71), получим сигналы длительностью 2"»')Т вида У»ь+» (1) = У»»+1 (1)+ У»ь», (à — 2» Т), У„+,(1) =У +, Я вЂ” У„»»(1 — 2» Т).
(3.74) Прн й=О получаем исходные сигналы (3.71). Можно показать, что модуль суммы ФН сигналов (3.74) ь )))„), )) ).)) е, ), )))) 2+' / я, ), «) П )) т 2'-' /. «=о (3.75) Следовательно, при произвольном й тело неопределенности (3.75) суммы двух ФН совпадает в основном с корреляционной 74 функцией Я(т, 11) исходного сигнала, но с изменением масштаба оси частот 41 в соответствии с длительностью сигналов (3.74). Если тело неопределенности исходного сигнала имеет центральный пик и малые боковые пики, то и тело неопределенности (3.75) будет иметь центральный пнк не шире исходного и малые боковые пики.
Спектральные свойства дополнительных последовательностей при !!!'=2а. Если спектр комплексной огибающей У! (1) т 6, (от) = ] Ут (1) е — '"" Ж, (3.76) о то спектры комплексных огибающих (3.71) при условии У!(1) = =Па(1) равны, т, е. ба(го)= 6,(со) [1+ехр( — ]го Т)] =26,(от)соз~ — ехр[ — 1отТ/2], 2 (3.77) 64 (го) =б, (со) [1 — ехр ( — 1 го Т)] = 2 6, (го) з!п — ехр [1 (со Т]2+ п12)].
2 (3.78) Модули выражений (3.77) и (3.78) отличаются гармоническими множителями. Следовательно, нули этих спектров будут чередоваться. При этом, конечно, не учитываются нули исходного спектра 6! (го). Причем имеет место соотношение 16» (от)1»+ 16« (го)1» = 4 ]бт (го) !а, (3.79) т. е. спектры как бы дополняют друг друга. С увеличением номеров сигналов характер спектров становится более сложным, но и свойство «дополнительности» (3.79) сохраняется. Если Оса+!(от) и Оса+а(го) — спектры комплексных огибающих Уса+!(1) и Она+а(1) аналогично (3.76), то 16»а+а(го)1 +]бы! «(го)1 = 2[!Она ь! (ы)! + 16»а+а(го)1'].
(3 80) Соотношение (3.80) аналогично (3.79). 8.7. Последовательности максимальной вероятности ' ПМВ обладают статистическими характеристиками корреляционных функций, близкими к характеристикам М-последовательностей, число их может быть большим и для них можно предложить регулярное правило формирования. Сначала обратимся к свойствам случайных последовательностей. Статистические свойства случайных последовательностей, Известно, что с ростом числа символов А! в последовательности дисперсия боковых пиков АКФ уменьшается как 1/2У, а максимальр д й р у ~ !г(му!!ж.
' Данный параграф написан по материалам совместной работы с Г. Г. МоВеееаой [Щ. 75 В результате с ростом У АКФ случайной последовательности стремится к идеальной в виде дельта-функции. Известно также, что сигналы, у которых АКФ обладают малыми боковыми пиками, содержат оптимальное число блоков Мо =(л!+ 1)/2. (3.81) Блок — последовательность символов одного знака. Формула (3.81) справедлива для нечетных У, Для четных л!' Мо=!1!'/2 илн МО=У/2+1.
Доказано, что (3.81) является средним значением числа блоков в последовательности нз М символов. Так как распределение числа блоков описывается биномиальным законом, то (3.81) является также н наиболее вероятным значением числа блоков. Блоки могут быть единичными (состоят из одного символа), двойными (состоят из двух символов) н т. д. Обозначим число блоков одинаковой длины й через Лм причем длина блока равна числу символов в нем. Например, Л! — число единичных блоков. Для последовательности длины У, состоящей из М блоков, имеют место два равенства: ~так ушат и= у йл„м= ~ л. (3.82), (3.83) х=! ~1 где Й „— длина максимального блока.
Считая я „постоянной величиной, усредняя обе части равенства (3.83), обозначая среднее значение Л» через Лм получаем м,=~ л„. (3.84) ь=! Среднее значение числа блоков длиной я может быть найдено следующим образом. Положим, что положительные н отрицательные символы последовательности равновероятны. Прн этом вероятность появления блока длиной й (т. е. состоящего из я символов) равна рь=1/2 .
(3.85) Если последовательность имеет Мо блоков, то Ль — — М,р,=м.2 ". (3.88) К этому же результату можно прийти, учитывая взаимосвязь между числом символов в последовательности н числом блоков. Прн налнчин Мо блоков в последовательности имеется Ма — 1 перемена знака. Вероятность перемены знака равна отношению (Мо — 1) к (М вЂ” 1). Вероятность сохранения знака равна (1!' — Мо)/(У вЂ” 1). Вероятность получения блока длиной й будет равна вероятности сохранения знака на (Й вЂ” 1) позиции, а затем перемены знака, т.
е. р, =(м — м,)"-'(м,— 1Им — 1)". (3.87) Подставляя (3.81) в (3.87), получаем (3.85). Здесь следует отметить одну математическую особенность полученных результатов. Если подставить (3.86) в (3.87), точное равенство имеет место 7В лишь при йы„-ыоо, т. е. необходимо учитывать блоки любой длины, хотя вероятность появления больших блоков уменьшается с их величиной согласно (3.85). Выбор значения й,х для последовательностей конечной длины будет рассмотрен в дальнейшем. В табл.
3.17 приведены значения вероятностей появления блоков различной длины в случайных двоичных последовательностях, полученных из десятичных случайных последовательностей. Были взяты выборки из 800 символов. Ти блица 3.17. Вероятности появления блоыов длины и Вероятяости для случайиыг последова. тельностей (и группа) Вероятности для случайных последовательностей (! группа) Вероятности для случайных последовательностей (и трупа) Вероятно. стн для случайных последовательностей (! группа) Вероятности, рассчитанные по формуле (3.7б) Вероятности,'рассчитанные па форму ле (3.7й) Длина блока и Длина блока и 0,487 0,268 0,133 0,0525 0,0276 0,0!5 О, 504 0,237 0,121 0,0705 0,0352 0,0176 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,0312 0,0156 7 8 9 10 11 0,010 0,000 0,0005 0,000 0,0025 0,0078 0,0039 0,002 О, 001 0,0005 О, 0076 О, 0076 О, 000 О, 000 О, 000 с(м,.
л)=м.! ( й л.с (3.88)' где аргумент характеризует блоковую структуру последовательности. Например, при У=16, Ма=8, Л(=4, Лг=2, Л4=0 и Лг=Лб=1 имеем Е(Мр, Л) =840. При этом число последовательностей, удовлетворяющих (3.85), составляет, примерно, 1/80 часть от общего числа последовательностей длины У= 16(2" ян 6,4. 10") .
Для типичной последовательности, удовлетворяющей равенствам (3.81) — (3.83), можно постулировать следующее утверждение: статистические характеристики их АКФ и ВКФ будут лучше, чем статистические характеристики полного кода, поскольку типичные последовательности являются наиболее вероятным представителем случайной последовательности с хорошими корреляционными свойствами.
Именно на этом постулате и основаны последовательности максимальной вероятности. 77 Как следует из данных табл. 3.17, эмпирические значения вероятностей, полученные для последовательностей конечной длины, близки к теоретическим значениям (3.85). Таким образом, в типичной или «средней» случайной последовательности число символов должно удовлетворять равенству (3.82), общее число блоков — равенству (3.81), а число блоков длины й — равенству (3,86). Число таких последовательностей определяется полиномиальным законом Свойства последовательностей максимальной вероятности. ПМВ формируются из блоков, длины которых й, и число Ль выбираются из условия ье 5= ~~ й !Ль — Ло1= пни, (3.89) ь=! где яо — длина блока, для которого Ля=1 и из (3.86) йо=!ойоМо.
Минимальные значения Ь для М=М, равны 0 и 1. Таким образом, единичные блоки должны составлять примерно половину от общего числа блоков, двойные — четвертую часть, тройные — восьмую часть и т. д. При этом блоки чередуются в порядке уменьшения их вероятностей.
На первом шаге из Мо блоков выбирается один из наиболее вероятных блоков, т. е. единичный блок, начальная вероятность которого согласно ~(3.85) равна 0,5. После этого остается (Мо — 1) блоков и вероятности появления оставшихся блоков изменяются. Для единичных блоков она станет меньше и будет (3.90) а для других блоков возрастет и станет (3.91)' В (3.90), (3.91) второй индекс означает номер шага формирования последовательности. На втором шаге выбирается единичный блок, если рн)рть илн двойной блок, если рм)рп. Эта процедура повторяется на каждом шаге, при котором выбирается блок с максимальной вероятностью из оставшихся. Таким образом, на 1+1 шаге выбирается блок длиной й, для которого вероятность рь! максимальна.
Если блоки различной длины обладают одинаковыми вероятностями, то порядок выбора этих блоков не имеет значения. Следует отметить, что при формировании последовательности символы каждого последующего блока имеют противоположную полярность по сравнению с символами предыдущего блока. Для полного определения ПМВ необходимо найти значение й ., Поскольку ПМВ, кроме равенств (3.81), (3.89), должны удовлетворять равенству (3.82), то длина максимального блока должна дополнять сумму Х йЛь до значения М. Например, если о=1 У=16, Мо=8, то Л|=4, Лг=2, Ло=1, прн этом блока длиной я=4 быть не может, а должен быть блок длиною й=5, т.
е. Ло=О, Ло= = 1. Следовательно, й„„,=й! — УйЛ,. (3,92) о=1 7з Т а б л н ц а 3.18. Последовательности максимальной веронтностн с еч=18, й!з=з, 5=0 11211235 !1211253 !!211325 1!21!352 1121!532 1!2!1523 11212135 !1212153 11213512 11213521 11215123 11215132 !1215213 11215231 11215312 11215321 11122315 11122351 11122513 !!122531 11123125 1!123152 1!123215 11123251 11212315 ~1212351 11212513 11212531 11213125 11213152 !!2!3215 !12!3251 !!121235 11121253 11121325 !1121352 !1121523 1!121532 11122!35 11!22153 11123512 11123521 11125!23 !1!25132 !1125213 11!2523! 11!253!2 11125321 Для ПМВ табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
