Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 13
Текст из файла (страница 13)
10. Число М-последовательностей опани Чарна 2640 1 1 2 2 6 6 18 16 48 1 2 4 8 22 48 150 320 1008 2 4 20 48 304 720 4 !6 176 960 2 8 48 !60 !! 20 10 !1 12 13 14 15 16 !7 18 19 60 176 !44 630 156 1800 2048 7710 7776 27594 Таблица 3.11. Рааложенне й1=2в — 1 на простые множители 2'в — 1 =7 Х 31 Х! 51 2вв — 1 =3 Х 5 Х 17 Х 257 2м — 1=131071 2'в — 1=3ХЗХЗХ7Х19Х73 2вв — 2=7Х73Х262657 2вв — 1=3 Х5Х29Х43Х 113 Х 127 2вв — 1 =233 Х!! 03 Х 2089 2вв — 1 =3 Х 3 Х 7 Х 11 Х 31 Х Х 151 Х 331 2вв 1 2147483647 2вв — 1 =3 Х 5 Х 17 Х 257 Х 65537 2вв — 1 =7 Х 23 Х 89 Х 599479 2ы — 1=3Х4369! Х131071 2в — 1=.7 2в — 1=3Х5 2в — 1=3! 2 — 1=Зхвхт 2в — 1=127 2в — 1=Зх5х17 2в 1 7Х73 2вв — 1=3 Х11 Х 31 2ы — 1 =23 Х89 2вв — 1=3ХЗХ5Х хтх!З 2в~ — ! =8191 2в' — 1=3 Х43 Х! 27 2'в — 1=524287 2в — 1=ЗХ5ХЗХ11ХЗ! Х41 2вв — 1= 7 Х 7 Х 127 Х 337 2вв — 1=3 х23 х89 х 683 2вв — 1 =47 Х 178481 2м — !=ЗХЗХ5Х7Х13Х Х17Х24! 2вв — 1=3! Х601Х!801 2вв — 1 =3 Х 2731 Х 81 91 61 матор по и!од 2 поступают символы с выходов 7-го н 1О-го триггеров.
Число М-последовательностей Я определяется следующим выражением: Я = вр (Л~)/К, (3.44) где !р(й!) — функция Эйлера (число чисел в ряду 1, 2, ... 57 — 1 взаимно простых с числом У), У=рь — 1, й — число разрядов в сдвигающем регистре. Если У вЂ” простое число, то <р(У) =У вЂ” 1. Значения Я для различных р,и й приведены в табл. 3.10 !4, 151. В табл. 3.11 приведены все периоды Метоследовательностей для й=3...34 в виде, разложения на простые множители [14], из которой следует, что не все периоды М-последовательностей являются простыми числааси.
Это и объясняет нелинейный характер числа Я от й. длительность М-последовательности Т=ртте, где У=рь — 1 согласно (3.32), то — длительность одиновного импульса (символа). Для двоичных М-последовательностей У=2ь — 1. Если тактовая Т а 6 л и ц а 3.12.
Периоды М-иоследовательиостей равличиой длили с тактовой частотой следовании 1 Мгц Регистр длины В Длительность периода последовательности Длина последовательности частота в сдвигающем регистре /т = 1/те, то Т = (2в — 1) //т. В табл. 3.12 приведены длительности периода М-последовательности для А=7 ... 89 с тактовой частотой /и=1 /т1ГД [71.
Характеристики апериодических корреляционных функций. Периодическая АКФ М.последовательностей имеет характерный вид, представленный на рис. 3.18. Боковые пики ПАКФ равны — 1/А/. Посколыку М-последовательности достаточно просто формируются и обладают такими малыми боковымн пиками в периодическом режиме, то они с самого открытия до настоящего времени находятся под пристальным вниманием разработчиков радвотехнгеческих систем. Одним из главных направлений исследований является изучение свойств М-последовательностей в апериодичеоком режиме, что характерно для передачи информации в системах связи.
К настоящему времени .накоплены сведения по корреляционным свойствам М-последовательностей в апериодическом режиме — как по АКФ, так и по ВКФ. Имеются многочисленные данные по конкретным АКФ и ВКФ М-последователь- лгс1У Рис. 3.! 9. АКФ М-иоследовательиости 62 7 8 9 !О 11 12 13 17 19 23 27 31 43 61 89 127 255 511 ! 023 2 047 4 095 8 191 !31 071 524 287 8 388 607 134 2!7 727 2 147 483 647 879 609 302 207 2 305 843 009 213 693 951 618 970 019 642 690 137 449 562 111 1„27 10 — а с 2 55 10 — а с 5,1! 10 а с 1,023 10 а с 2,047 10 — а с 4 095.10-а с 8.!91 10 а с 1,31 10 — ь с 5,24 !О-а с 8,388 с 13,421 с 35,8 иии !01,7 див 7,3 1Оа лет 1,95 10' лет ностей различной длины, а также обобщенные характеристигои корреляционных функций.
На рис. 3.19 изображен пример АКФ М-последовательности с У=127 1161. Из рлс. 3.19 видно, что боковые пиши АКФ в апериодическом режиме сущесгвенно больше боковых пиков ПАКФ. Приведем лишь основные характеристики КФ М-последовательностей. Т а б л н ц а 3.13. Характернстнкн коррелнцнонных Функцнй М-последовательностей н случайных последовательностей о„'рУУ ~ гп1„1 )/У г п1а1 )/У 77~,„1угУ Корреннционные функции 0,4 0,32 0,26 0,7...1,25 АКФ М-последовательностей 0,73 ! 0,54 1,4...5 0,48 ВКФ М-последовательносгей КФ случайных последователь- ностей 2,1...3,5 0,7 0,56 0,43 13.46) В табл. 3.13 1161 приведены основные характеристики корре- ляционных функций 1АКФ и ВКФ) М-последовательностей и слу- чайных последовательностей.
Последние приведены для сравне- ния их свойств оо свойствами Мепоследовательностей. В качестве характеристик взяты следующие: среднеквадратнческое значение боковых пиков Лг, определяемое через дисперсию (3.46) г= — (Рà — 11 среднее значение модулей боковых пиков Вà — 1 п11л1 = — ~" ! Уг!, 2 1'у' 1= — (1Ч вЂ” 1) среднеквадратичное значение модулей боковых пиков, определяе- мое через дисперсию о' =о' — шт 13.47) 01л1 а 1а1, а также значение максимального бокового пика Р „.
В табл. 3.13 все характеристики приведены в ненормированном виде, т. е. ум- ножены на )' А1. В результате цифры, приведенные в табл. 3.13, хара1ктер1изуют превышение о„, пт1а1,01а1, Л „уровня )у А1. От- метим, что среднее значение боковых пиков пса=О. Во второй строке табл. 3.13 приведены характеристики АКФ, а в туетьей строке — характеристики ВКФ М-последовательностей 1161. Из сравнения цифровых данных второй и третьей строк следует, что ВКФ М-последовательиостей имеет большие боковые пики по 63 сравнению с боковыми пикам~и АКФ. В четвертой строке приведены хараастеристики КФ (АКФ и ВКФ) случайных последовательностей, относительно которых было предположено, что их КФ распределены по нормальному закону ц,я) — ф/ Ф е — на* (3.48) с дисперсией о'и — — 1/2Л/.
Соответственно т ~ я~ = 0,56/)' ЛГ, а а|а~ —— = ~' (1 — 2п)/2Л/=0,43/)~ Лг, Как видно из сравнения третьей и четвертой строк табл. 3.13, характеристики ВКФ М-последовательностей близки к статистическим характеристикам случанных последовательностей, что и является обоснованием названия спсевдослучайные последовательности» для М-последовательностей и им подобных.
На рис. 3.20,а 1161 приведен пример ВКФ двух М-последовательностей длиной У=127. Вместе с тем, некоторые пары М-последовательностей имеют периодические ВКФ, отличающиеся от случайных, так как такие ВКФ имеют всего три уровня (рис. 3.20,б): /ст = — 1/Л' с числом (У вЂ” 1)/2 /св =)/2!У вЂ” 1/ЛГ с числом (М+ 1+)' 2 Лг)/4, (3. 49) 1, = — Р'2/Лг — 1/Лгс числом (Лг+ 1 — )/2 Лг)/4 ус'г/ дт Рис. 320. ВКФ и ПВКФ М-последовательностей 64 М-последовательности, имеющие трехуровневые ПВКФ, называются также последовательностями Голда 15, 16, 171. Более подробно они будут рассмотрены в парапрафе, поовященном системам сигналов. Отметим, что последовательности Голда имеют ПВКФ, максимальные значения которых близки к )х 2/Ж. Вместе с тем, надо подчеркнуть, что последовательности Голда составляют только часть М-последовательностей, т.
е. нх число мало. Функция неопределенности. Можно показать, что исходя из ограниченности объема тела неопределенности произвольного сигнала (2.34), среднеквадратичное значение ФН равно 1/У. На рис. 3.21 приведена ФН М-последовательностн с У= 15. Макси- Рис. 3.21. Фуииция иеопределенности М-послс- довательиости мальный боковой пии равен 0,33. При л/=15 статистическая оценка 1/)/7/=0,26, т. е.
реальные боковые пики превышают в 1,38 раза статистическую оценку. Как показывают многочисленные расчеты, для различных М-последовательностей уровень максимальных пиков может превы|шать значение 1/~ У .в 5 ...6 раз. 0 для д/= — 0 (пюд4), 1 для А/— = 1 (пюд 4), 2 для й/=— 2 (шод 4), — 1 длл Ж— = 3 (той 4). 66 (3.51) у(р)тая») 3 — 111 3.4. Последовательности Лежандра и Якоби. Минимакенме последовательности Периодические АКФ ряда кодовых последовательностей обладают интересными свойствами, что проиллюстрируем на примере ненормированной ПАКФ, которую определим согласно (3.25) в виде: 'ьх(р)=/с(р) л/= ч~~ а„а„„. (3.50) и=1 Если обозначить максимальное 'значение ПАКФ (3.50) через 'т'(1ь)~хх, то известны возможные оценки максимального значе иия: В (3.51) сравнения осуществляются по модулю 4 (тот(4).
Кодовые последовательности, у которых ПАКФ имеет точное значение ь ()ь)ыаи= — 1, часто назы~ваются миннмакснымн. К миннмаксным последовательностям относятся и Мчпоследовательности. В табл. 3.14 приведены известные минимаксные последовательности. Т а б л и ц а 3.14. Минимаксные последовательности Периел ~ Примечаиии ! Вил иеелепевательиести )и'= 2а — 1 Таблица 3.15. Виды последовательностей М-последователь- ности л — целое число У вЂ” простое число ! -целое число Л' — простое число ! — целое число Вид Вид Последовательно- сти Лежандра 3 7 11 15 19 23 31 35 7 43 1.
47 Ь 59 63 М 67 71 79 83 103 107 127 13! ! 39ь 143 151 1 63 167 179 191 199 7 Ь Ь Ь Е 7. 5 Последовательно- сти Холла 7е'= ! 1! 4-2) Последовательно- сти Якоби й т+2— простые числа Следует отметить, что если данному периоду У,соответствуют различные по виду последовательности, то эти последовагельно- сти могут совпадать. Последовательности Холла с Ас=4Р+27= =4(!а+6)+3 совпадают с последовательностями Лежандра при 1=Р+6. Последовательности Якоби в общем случае характери- зуются периодом 7(!+1), где значение 1 может быть ра~вно 2; 4; 6, но только при 1=2 эти последовательноспи минимаксные ($',„= — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
