Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Последовательности Якоби с периодом А!=с(!+2) называются также дважды простыми последовательностями. Как видно из табл. 3.14, различным й! могут соответствовать различные последовательности. В табл. 3.15 указаны виды по- следовательностей для й(, изменяющегося от 3 до 200. Через обозначены последовательности Лежандра, через У вЂ” п~оследова- тельности Якоби, М соответствует М-последовательности. Последовательности Лежандра. Если ! — ) есть символ Ле(ге' / жандра (символ п по отношению к й!), то символы последова- тельности Лежандра определяются как 1 при п=О (пюс(й7), (3.52) — при пчьО (пюс1 У). )и' / Отметим, что в теории чисел символы Лежандра вводятся при рассмотрении уравнений второй степени: да†= и (пюс( й!), (3.53) 66 а получаемая в регистре последовательность символов описывается нелинейным рвкуррентиым уравнением.
Подобные последо. вательности называются нелинейными. Рассмотрим пример. На рнс. 3.24 аредставлена схема регистра (р=2)', отличающаяся от схемы, приведенной на рис. 3.14, следующим. Во первых, каждый триггер на рис. 3.24 схематично разделен вертикальной линией на две половины. С выхода одной половины снимается прямой символ х, с выхода другого — его пиверсия х. Прямой и инверсный символы удовлетворяют условию х+ х 1 (пюб 2). (3.58) Если инверсный символ х=1, то это означает, что прямой символ х=О. Во-вторых, на схему совпадения И поступают ~инверсные символы со всех триггеров (Т1, Т2), кроме последнего. Нв выходе схемы И символ 1 появится только тогда, когда инверсные символы триггеров т~ „тг тз Т1, Т2 принимают значение 1.
При любых других комбинациях инверсных символов х, триггеров Т1, Т2 на выходе схемы И будет О+ О+ символ О. В-третьих, в схеме включен до- и полнительный сумматор по гпод 2, на входы которого поступают символы со схемы И и Р 324 Рис. 3.24. Регистр с ие- сумма символов цепи обратной связи реги лииеаиса саретиса свистра. Так как цепь обратной связи замкну. зью та, то в схеме возможны колебания. Можно показать, что в триггере будут иметь место все кодовые комбинации длиною й символов, в том числе и комбинация 000.
Введение в схему регистра нелинейного элвмента в,виде схемы И приводит только к появлению одной дополнительной комбинации символов 000. Нелинейная последовательность символов может быть получена при считывании символов со входа или выхода любого триггера регистра. Например, считывая символы со входа триггера Т1, получим периодическую последовательность ... 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 ...
(3.59) Необходимо отметить, что ~в нелинейных последовательностях вида (3.59) число сны~волов 1 и 0 за период;равно друг другу. В отлвчие от М.последовательностей сумма двух сдвинутых нелинейных последовательностей не является циклически сдвинутой относительно исходно нелинейной последовательностью. Действительно, если просуммировать последовательность (3.59) с последовательностью, сдвинутой относительно нее, например,,на трн такта, то получим 01110001011100010111 00101110001011100010 01011111010111110101 ве Малый уровень боковых пиков ( — 1/Л!) периодической АКФ М-последовательностей является следствием того, что сумма двух М-последовательностей также М-последовательность.
Так как нелинейные последовательности этим овойством,не обладают, то можно и!редположить, что уровень боковых .пиков их АКФ будет больше уровня боковых пиков АКФ М последовательностей. Нелинейное ренуррентное уравнение. Когда число различных иопользуемых символов р является простым, то одной из возможных схем регистр,а формирования нелинейной последовательности будет схема, приведенная на рис. 3.25. Она построена на т» т х».!т т» х»» л»7 т!,л,. те з:,у тт Рис. 3.25. Автомат формирования нелинейных последовательностей том же принципе, что и схемы на рис. 3.17, 3.24.
Схема И является схемой совпадения й — 1 единиц; т. е. на выходе схемы И символ 1 проявляется тогда, когда на всех ее .входах единицы. При этом х!,т =х!,т+! (шод р). (3.60) Схема И на работу регистра яе влияет, за тем л!ишь исключением, что между кодовыми, комбина!ц!иями 000... 01 и 100...00 она создает иамбина!цию символов из й нулей (000 ...
00). Поэтому выбор характеристического многочлена (определение;коэффициентов сь ..., са) для определения структуры регистра, приведен- ното на рис. 3.25, следует делать так же, как и для М-последовательности. Прямой оимвол на выходе 1-го триатера на 1+1 такте х!,!.е!=х! !,ь так как с !каждым тактом символ оо входа переходит на выход. Сим!вол,на входе первого триггера в 1-м таите х„! — — ~', с, хьт+ Ц х,,т, (3.61) !га ! !=! где а — 1 ~! при х, ! — — 1„ П Х!,7=-' !0 при х!,7~ 1 — операция символического умножения, выполняемая схемой И. 70 Используя (3.60), нелинейное рекуррентное уравнение (3.61) можно записать как ь ь †! х,~= х~З с,х!л+ П (х, ~+1).
(3.62) Нелинейность у~равнений (3.61), (3.62) приводит к тому, что непосредственный анализ состояний регистра сопряжен с большими математическими трудностями. Иногда анализ состояний регистра не требуется, поакольку выбор структуры регистра (рвс, 3.25) можно производить на основе теории М.последовательностейй.
Известна формула для числа нелинейных последовательностей, возможных лри данном Й: 1=2'" (3.63) Нацример, если 1=13, то число возможных нелннеюных последовательностей равно 24"', в то время как число М.последовательностей — 630. Такое большое, различие по числу последовательностей объясняется тем, что введение нелинейных логнчесюих операций значительно расширяет возможности при проектировании формирующих схем.
АКФ. На рис. 3.26,а изображена АКФ нелинейной последовательности для 1Ч=32. На этом рисунке для области т(0 изображена периодическая АКФ, для области т)0 — непериодическая. На рис. 3.26,б изображены АКФ периодической нелинейной последовательности с периодом А!=32:11111010001001 010110000011100110. Как видно из рисунков, боковые пики периодических АКФ нелинейных последовательностей значительно отличаются от — 1/1Ч. Для сравнения на рис. р 3 А ф следовательности, период которой У=31 имеет внд 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 О.
Несмотря на разницу в периоде !в один символ О, автокорреляционные свойства .нелинейных периодических последовательностей, с точки зреюия уровня боковых пиков значительно хуже, чем Мчпоследовательностей. Это является следствием того, что сумма двух нелинейных последовательностей не является циклически сдвинутой нелинейной последовательностью. Вместе с тем, необходимо отметить, что до настоящего вре- 7$ 3.6. Допошпгтелыпле последовательности Последовательносаи (а ) и (а ) называются дополнительными [191, если 2 при р=О, (3.64) О при р = ~ 1, ..., ~ (1т' — 1), =("" где !т я„= — ~х~ ~а„ав и, 'Р„=— й1„„+! "" М Например, последовательности 1 1 1 — 1 1 1 — 1 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 являются дополнителннымя.
Значения функций приведены в табл. 3.16. (3.65) а„а„п. л=п+ ! (3.66) их автокорреляц~ионных Т а 6 л н н а 3.16. АКФ дополнительных последовательностей ° / 4 6 6 З ! О 1 О а ( 1 О О ) О О (" +~~и) О О 16 Отиевим, что в дальнейшем, рассматриваются последовательносси, у которых а =1; 1. При заданном 61 можно построить несколько различных пар дополнительных последовательностей, комбинируя положения символов. У дополнительных последовательностей число символов должно быть одинаковым и равно 7т'. При атом число !т' является четным и,равно сумме квадратов двух целых чисел (л! — Р— !7)'+ (Р— т)' (3.67) где р, !7 — целые числа, равные числу — 1 в первой и второй до- 72 пени не опубликованы регулярные алгоритмы формирования нелинейных последовательностей с числом последовательностей, определяемых формулой (3.63).
Известны, лишь частные алгоритмы, которые с помощью схем на сдвигающих регистрах (рис. 3.25) позволяют формировать нелинейные последовательности !т'=2а — 4, объемом С=2ва [181. полнительных последовательностях. Формула (3.67) означает, что число символов М может быть только суммой квадратов двух целых чисел, включая нуль. Например, при Ф(100 имеется ряд чисел 2, 4, 8, 10, 16, 18, 20, 26, 32, 36, 40, 50, 52, 58, 64, 68, 72, 74, 80, 82, 90, 98, 100, из которых можно ~найти У для дополнительных тюследовательностей. Необходимо отметить, что условие (3.67) явлются необходимым, ио не достаточным.
Например, доказано, что ие существует дополнительных последовательностей с й1= 18. Композиции дополнительных последовательностей. Если имеется пара дополнительных последовательностей (а ) и (а ) длины У, то их композициями будем называть дополнительные последовательности длины 2й7, образованные по определенным правилам из исходных последовательностей. Известны два правила образования комаозиций: ~правила чередования,и присоединения. Правило чередования означает следующее.
Если заданы две последовательности: (а„) =аь ..., а„, ..., ан и (а„) аь ..., а1, ..., ан, то последовательность (а:а )=аь аь пь,а„, а„,...,ан, ан, в которой символы одной исходной последовательности чередуются с символами другой, называется составленной по правилу чередования.
Можно доказать, что последовательности а„: а„~ =а„а,, ..., а„, а„, -, аю ан, (3.68) являются дополнительнымн. Истюльзуя правило чередования й рав, получим пару дополнительных последовательностей длины аз = 2ь У. (3.69) Правило присоединения означает следующее. Если заданы две последовательности (аь)=аь ..., а„, ..., ан и (а„) =аь ..., а, ..., а„, то последовательность (а„~а„) =аь ..., а, ..., ан, а1, ..., а„, ..., ан, в которой за символами одной исходной последовательности следуют символы другой, 'называется составленной по правилу присоединения. Можно доказать, что последовательности а„! а„~ =а,, ..., а„, ...,ан,а„, а„, ..., ан, (.. (. а„! — а„~ =а„... а„, ..:, ан, — а, —,— а„, ...,— ач (3.70) являются дополнительными. Повторяя последовательно й раз правило присоединения (3.70), получаем,последовательность длины 2ьУ (3.69).
Частным случаем (3.69) является число 2". В качестве исходной последовательности при й=О берется один символ 1, при атом (а ) = (а ) =1. При й=1 согласно (3.70) имеем тз (а„) =1, 1, '1а„~ =1, — 1. При й=2 (а„)=1,1,1, — 1, (а„~ =1, 1,— 1, 1 и т. д. Корреляционные свойства дополнительных последовательно- стей при )))'=2«. Рассмотрим два сигнала с комплексными огиба- ющими Щ() и Уз(1) длительностью Т и энергией Е. Образуем ком)позиции, аналогичные (3.70): У,(1) =У, (1)+У, (Г), У, (1) = У, (1) — У, (1) (3.71) Функции неопределенности (ФН) сигналов (3.71) )в соответствии с (2.21) )тт (т, Й) = Р, (т, Й)+ )с, (т, Й) ехр (1 Й Т) ~ Р„(т+ Т, Й) ~ ~Ям (т — Т,й) ехр(1 11 Т), (3.72)' где 1=3 или 4, знапс «+» соответствует 1=3, знак « — » соответст- вует 1=4; ФН й)(т, 11), %(т, 12) определяются согласно (221), а ВФН Я)»(т, 11), Я»)(т, 11) — согласно (2.18); Йь(т, й)+Р«(т, Й)= 2 Я, (т, 11)+й,(т, й) ехр(111 ТЦ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
