Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 17
Текст из файла (страница 17)
печного числа импульсов. Отсчет номеров импульсов будем вести от середины сигнала, где н О. Реальный сигнал всегда состокт из конечного числа импульсов У, которое для простоты расчетов будем счятать нечетным. Обозначим У,=ОЗ(У вЂ” 1). Тогда величины ~У~ представляют номера крайних импульсов в сигнале. Известно, что при отбрасывании краевых импульсов с )н()У, в АФМ сигнале максимальные боковые пики АКФ удовлетворяют следующей оценке: (3.115) Ушах < к сс/1 где к=ам«»/а — пик-фактор АФМ сигнала, ан, — значение модуля максималь- ного по величине символа, 3 в среднее значение модулей символов снгяала, а= )ан +1)/а — отношение модуля первого отброшенного символа с номером » У+1 к среднему значению а, 1 — номер производной функции ехр1(ф(х)), тер- пшцей разрыв непрерывности.
Согласно выражению (3.115) для уменьшения боковых пиков следует, во- первых, уменьшать пнк-фактор сигнала к, т. е. делать сигнал бояее постояннмм по амплитуде (равномерным). Отметим, что минимальное значение отношения к равно единице. Во-вторых, уменьшать а — относительную амплитуду первого отброшенного импульса на краях сигнала, т. е. использовать более мелкую структуру на краях сигнала. Прн такой структуре сигнала увеличивается его длительность (соответственно н сложность согласованного фильтра) беэ суще- ственного увеличения его энергии, что является недостатком.
В-третьих, следу- ет увеличивать номер 1 производной функции ехр((ф(х)), терпящей разрыв. АФМ сигнал с квадратичным фановым спектром. Исследования показали, что указанным условиям наилучшим образом удовлетворяет сигнал с квадра- тичным фазовым спектром ф (х) = -( — (Ре/2н) (ха — м х) 0 ~ х ~ н, (Пз/2к) (ха + и х) — н < х ~ О, (ЗЛ 16) где ()а — постоянная. Во-первых, яри таком выборе устраняются разрывы функций ф(к) н ф'(к). Так как устранить разрыв ф"(к) нельзя, то значения [по[ на краях сигнале уменьшаются не быстрее, чем 1/л'.
Во-вторых, фазовый спектр', соответствующий (3.116), обладает симметрией относительно точек к=щм/2. При этом а „=( — 1)"а„, т, е. вычисление сигнала упропдается. Огибающая такого сигнала изменяется по косинусоидальному закону, т. е. пик-фактор равен, примерно, зг2. Символы такого АФМ сигнала определяются следующим выражением; ч/' П~ ( [ од (л+0,6Р,)31 а„ = )( р ( [С (ко) — С (кд) ) соз д! 2 Р ] + Ро о +[8(зз) — 8(зд)[з(п ~ — ' ]), Г до (л+О,бро)з ! (3.117) где ко (л — О,бро)/ [~Ро, вд=(и+Обре)ЯРо, С(к), 8(к) — интегралы Френеля.
Асимптотически можно показать, что основная часть сигнала изменяется следующим образом: в„= [/2/о'/Ро соз ![ Г я(л+О,бро)з и 1 (3.118): 2ро Уровень АКФ такого сигнала определяется оценкой )7вшх — — а/ У 2 = а () ло!/ )гРо)/[(2 где а зависит от амплитуды первого отброшенного символа, я ло (!у — Ро+ +1)/2 — число импульсов, оставшихся на краях сигнала. Функция а-'= =(ло[/'н'Ро — обратная функция к а. Параметры, входящие в (3.117) — (3.119), связаны уравнением Ро=*й(+1+2[а д ()г2)7 ох))~— (У2/ошах) А(+ ! + [ а (У2/ошах)) Рассмотрим пример расчета сигнала.
Пусть г(=21, (7моо=б 10-о. Для [г2(джоо=0086 имеем а — ' (по~Яро 06. Подставляя А( 21 и а-'=08 в- (3.120), получаем Ро=!6,68. Округляем полученный результат до ближайшего. л(г/ (л Рис. 3.29. АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром н его АКФ четного числа: Ро=16. Для такого Р, по формуле (3.117) был рассчитан сиг-- нал, который изображен на рис, 3.29,а. На рис. 3.29,б представлена АКФ рассчитанного сигнала. Максимальный боковой пик автокорреляционной функцнн равен 3 1О-о, т. е.
меньше заданного. Непосредственный расчет показывает, что* 86 по сравнению с энергией сигнала, имеющего равномерную огибающую при ограниченной пиковой мощности и л(=21, энергия сигнала с квадратичным фазовым спектром в 2,3 раза меньше, т. е. пик-фактор сигнала равен 1,52, что несколько превышает пик-фактор косннусоиды, равный '[/2. Недостатком таких сигналов является неравномерность их огибающей. АФМ сигвиы с грелимлульсной АКФ [23). Если сигнал состоит из конечного числа импульсов, то его АКФ имеет по крайней мере два боковых пика, расположенных на ее краях, поскольку эти пики определяются произведением первого н последнего импульсов и ничем не компенсируются. Известно решение задачи синтеза АФМ сигнала, АКФ которого имеет только яти два неизбежных боковых пика.
Решение этой задачи основано на использовании оператора задержки и свойств многочленов. Пусть сигнал состоит из АГ+ 1 импульсов и определяется кодовой последо- вательностью (3.121) (ал) = ае. аю..., а„,..., ам. Формально можно ввести оператор задержки Р, который задерживает импульс на время т,, равное задержке между соседними импульсами. Например, если взять импульс ио(!), то Р[иэ(!)]=из(! — тэ). В таком случае, кодовую последовательность (3.121) можно записать в виде многочлена А (Р) — аз+ аз Р + ...
+ а„Р" +... + ам Р ~, (3.122) каждое слагаемое которого действует на своем временном интервале. Представление последовательностя (3.121) в виде многочлена (3.!22) позволяет рассматривать Р как независимую переменную и использовать для решения задач синтеза сигналов свойства многочленов. Импульсная характеристика согласованного фильтра описывается много- членом А ' (Р)=а, +ам 1Р+ ..
+алР'г "+ .+аеР~ (3.123) Для того, чтобы определить АКФ, необходимо ввести многочлен В (Р) = А ! (Р) Рэг. (3.! 24) Можно показать, что имеет место соотношение А (Р) В (Р) = (г)+» ~„В (р) Рп, и= — 'м где АКФ (3.125) 1 В(р) = Ч~~ а„а„„прн Р=О, !т', й!+1 ~ л и Е= ~ (ал!з* (3.1 26) 86 а )!( — р) =Я(р).
Идеальной является такая автокорреляционная функция, для которой Й(р) =О при всех р, кроме О=О (основной пик) и ршАГ (два крайних боковых ника). Обозначая получаем произведение многочленов А(Р) В(Р) =аоамР ~+Е+амаоР~ (3.127) соответствующее идеальной АКФ. Известно интересное представление (3.127) в виде произведения двух многочленов, которые в принятых обозначениях записываются как А(Р) В(Р) = — (Р~ — р )(1 — Р р ~) (3.128) или А(Р) В(Р) =(Ры+ р )(1 -(-Р—" р — и). Перемножая правые части (ЗА28) или (ЗЛ29), можно убедиться в их совпадении с правой частью (3.127), если положить, что )иоан(=1, а Е=рн+р-л.
Синтез сигнала сводится к определению корней А многочленов Р" — рн и 1 — Р "р и или Ря+р» и !+Р «р (3.129) А=р ехр(12п(/81) и А=р-' ехр( — (2п(/л1), 1=1, л(. Рнс. 3.30. Корни миогочленов задержки, Ж = 3 Рис. 3.31. Случайное распределение корней В свою очередь корин А расположены на окружности радиуса р †'. Из всех 2ДГ корней половина принадлежит многочлену А(Р) (черные точки на рис. 3.30).
Часть из них расположена на внешней окружности, часть — на внутренней. Каждый сопряженный корень расположен на другой окружности и принадлежит многочлену В(Р) (светлые точки на рис. 3.30). Синтез сигнала сводится к нахождению радиуса р и распределению всех 231 корней между многочленамн А(Р) и В(Р). Как р, так и 231 определяют временную структуру сигнала.
Например, если р= 1, то корни полиномов А(Р) и В(Р) совпадают, так как располагаются на одной окружности. Поэтому А(Р) =Р" — 1, т. е. сигнал будет состоять из двух импульсов, расположенных на его краях. При очень большом р вся энергия сигнала сосредоточивается в одном импульсе. В настоящее время аналитический метод определения р и распределения корней еше не найден. С помощью ЭВМ было промоделировано случайное раснределение корней на окружности.
На рис. 3.3! приведено распределение кор- 87 Корни А и А являются комплексно-сопряженными. Графически их можно отобразить на комплексной плоскости (рис. 3.30, а!=13). Корни А расположены на окружности радиуса р, а номер 1 определяет угловое положение корня, поскольку окружность делится на У одинаковых секторов. мей одного из многочленов прн У 100.
На рис. 3.32,а представлен сигнал, ко.торому соответствует полученное распределение корней (рнс. 3.31), а на рис. 3.32,б — его АКФ. Подавление боковых пиков на краях АКФ равно 25,б4. Переход от АФМ к ФМ сигналам. Если пронзвеств двоичное квантование по уровню АФМ сигнала (3.117), т. е. получить а» +! или — 1, то АКФ полученного ФМ сигнала будет обладать большими, но все же достаточно малыми боковыми пиками. Рис. 3.32 АФМ сигнал с трехимпуль- Рис. 3.33. АФМ сигнал (а), ФМ спой АКФ сигнал (б), АКФ ФМ сигвиш (в) На рис.
3.33,а изображен АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром прн У=37, рассчитанный по формулам (3.117). Максимальный боновой пнк его АКФ равен 1,5тг. На рис. 3.33 представлен соответствующий ему ФМ сигнал, полученный согласно двоичному квантованию, АКФ которого приведена на рнс. 3.33,е. Максимальный боковой пик такой АКФ равен 5/37=0,135, что несколько меньше ~!/')/У=1/~/37. Таким образом, при переходе от АФМ сигнала к ФМ боковые пики АКФ увеличились примерно на порядок, но все же остались малыми. Можно показать, что среднеквадратическое значение боковых пиков АКФ таких ФМ сигналов при оптимальном выборе их параметров о =1' 8(1 — 2')/2/и)/У =0,913/''1/У 1/"р'У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
