Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если число сигналов в системе равно 1., то 1, называется объемом системы сигналов. Принято сравнивать объем системы сигналов Ь с базой ШПС В. Различают малые системы сигналов с Ь=)~ В<<В, нормальные (ортогональные или квазиортогональные) системы сигналов с Е-В, большие системы сигналов с Ь)) В. Большинство известных систем сигналов являются малыми или нормальными. Для современных систем связи необходимо 94 иметь системы ШПС, объем которых экспоненциально зависит от базы, т. е. Л=сехруВ, (4.1) где с, у — некоторые постоянные. Если такой закон реализовать нельзя (таких систем в настоящее время нет), то необходимо реализовать большие системы, объем которых растет по степенному закону, т.
е. 1. = с В", (4.2) где с, и — постоянные, причем п)1. Сигналы, входящие в систему, должны обеспечивать минимально возможный уровень взаимных помех, который в основном определяется допустимым уровнем максимальных пиков взаимокорреляционных функций Я „=аД~ В, (4.3) где а — пик-фактор ВКФ, в общем случае зависящий от В. Чем меньше а, тем лучше корреляционные свойства. В настоящее время еще не существует алгоритмов построения больших систем ФМ сигналов, у которых пик-фактор КФ достигал бы значений нескольких единиц. Например, если В=10', то может оказаться необходимой система с Е.=10' ...
10" н аж2, ...,5. Но такие системы пока что неизвестны, хотя факт их существования не отрицается. Именно поэтому в настоящее время существует следующая нерешенная проблема — разработка алгоритмов построения больших систем ФМ ШПС с хорошими корреляционными свойствами. Алгоритмы построения систем ФМ сигналов должны быть детерминированными, поскольку сигналы должны быть известными в точке приема. 4.2. Полный код Известны пределы любой большой системы ШПС вЂ” так называемые полные коды. Полный код — это система сигналов, состоящая из всех сигналов данного класса при заданном алфавите символов и числе символов в сигнале.
Алфавит символов — число различных символов, из которых состоит сигнал. Полный код нельзя увеличить, он включает в себя все возможные сигналы. Поскольку любая система ШПС является подмножеством своего полного кода, то она должна обладать некоторыми общими свойствами полного кода. Причем чем больше система, тем ближе она по своим свойствам к полному коду.
Именно поэтому исследование свойств полных кодов имеет принципиальное значение для изучения корреляционных свойств больших систем ШПС. Полный код ФМ сигналов содержит 1.=р (4. 4) 95 кодовых последовательностей, !о' — длина кодовой последовательности, р — объем алфавита символов. Полный код является группой (в алгебраическом смысле) и обладает свойством ортогональности. Упорядочим последовательности полного кода. Подставим в соответствие каждой кодовой последовательности А!= (а;!,..., апо) число 1, записанное в р-ичном счислении, причем 1=0, Š— 1, а объем полного кода Е=.
ри. Представим полный код в виде матрицы ион! а„а„... ад ...а!.— !, ! аоо аоо ' . а!о а! — 1 ° 2 (4.5) аоо аго ... а,„ . .. а, , „ ао!о а!ч... а!!о ... ас — !,о Каждая кодовая последовательность является столбцом матрицы ио!о. Всего столбцов Е, а строк У. Каждый столбец получается нз предыдущего вписыванием снизу 1, а первый столбец (аоь аоо .. ао!о) =0 0 ... 0 — состоит из Ф нулей. Например, при р=8 0=1, 2, 3 имеем следующие матрицы: ' "=~О'12012012! о з !0001112221 (4.6) 00000 0000111111111222222222 из 00011 1222000111222000111222 01201 2012012012012012012012 В соответствии с правилом построения и примерами (4.6) матрицу пои+! можно представить в'символическом виде следующим образом: (4.7) Здесь верхняя строка содержит столько символов 0,1 и р — 1, сколько содержится столбцов в матрице пг!о. Из приведенных при- меров (4.6) и символической записи (4.7) видно, что каждая стро- ка матрицы ион содержит целое число периодов.
Число периодов л-й строки равно р" ', в=1, !о'. Длина периода равна Я =рн-"+'. Рассмотрим суммы вида !.— 1 5 (а, й) = С' а!„ Ща!„, (4.8) /=О где Š†зн операции в группе. Ортогональность полного кода заключается в том, что имеет место равенство: (О при и чь й, (4.9) (Е при а=й. (4.12) Из периодичности строк матрицы пан (4.5) следует, что Š— ! 5(п) = ~„'а~„— — О. ! 4! Среднее значение произведения любого числа несовпадаюшнх строк матрицы (4.5) ь — ! о(л, й, ..., и)= ч~; а~„®а~д(0...9а!„=О. !=о 'ВКФ ФМ сигналов с номерами / и й согласно (3.22) определяется следующим образом: )~м()") (1/Л') ~~~~ ~и!и !!й, и — и (4.10) «=!3+1 В полном коде групповыми свойствами обладают и ВКФ (4.10)' прн /, я=О, /.— 1, поскольку а!„а*к „=а является элементом алфавита, где т является одним из значений О, р — 1 и некоторой функцией от /, й, п, 1!, т.
е. !и=!р(/, й, и, р). Подставляя а, в (4.10) и отбрасывая индексы 1, й, л, 1!, получаем й=(1//У) Х .. (4.11)' В (4.11) суммирование производится по всем гп, число слага- емых равно п, причем 0(п<14. Последовательность А =(а ), состоящая из и символов, является одной из последовательностей полного кода объема рн. Поэтому сумма йг= „", является одной из возможных сумм полного кода. Сумма Я7 (4.12) называется весом кодовой последовательности. Число всех весов иг равно р", но число разных весов будет гораздо меньше. По- скольку вес (4.12) и значение КФ (4.11) связаны соотношением Р= й!'/У (4.13) то знание распределения весов полного кода позволяет опреде- лить статистические характеристики КФ.Максимальное число раз- личных весов равно Сиз+э !, где С'"„ — бнномиальный коэффи- циент.
Определим и-й начальный момент периодической КФ (ПКФ) /1!ь.. ь — ! !.— ! з.+э — ! т„—,~~ ~! ~ Рм(р), !=а ь=о н=ш где Ь=рн — объем полного кода; суммы 1/Е. означают усреднение периодических тельностям полного кода, а сумма по 1! с ет усреднение по сдвигам. 4 — 111 97 (4.14) по 1 и Й с множителями КФ по всем последовамножителем 1/У означа- Заменяя в (4.14) КФ на вес согласно формуле (4.13), получаем ъ — ~ ь — ~и,+ч — ~ ш„=",„~', ~ Ф'/ь (р). (4.15) У"+'/э /-э Ь:-'э э=я, Доказано, что среднее значение ПКФ ш~=О, а дисперсия а~= 1/У. (4.16) Для апериодических КФ среднее значение т~-О, а дисперсия оэ = 1/2У.
(4.17) Полный код с основанием манипуляции р=2 называется пол- ным двоичным кодом. Хотя он является частным случаем полного произвольного кода с р)2, полный двоичный код имеет большое значение по следующим причинам. Во-первых, многие применя- емые системы сигналов являются двоичными — они позволяют ши- роко использовать цифровую технику для формирования и обра- ботки. Во-вторых, для полного двоичного кода получены некото- рые дополнительные результаты, которые для р)2 в настоящее время не известны. Положим, что двоичный алфавит является мультипликативной двоичной группой, т. е.
состоит из символов 1 и — 1. Поэтому сим- волы а,„кодовых последовательностей равны 1 или — 1. Периоди- ческая КФ содержит постоянное число слагаемых в своей сумме. Пусть оио равно У. Произведение а; аь„при любых /, А, и, в равно или 1, илн — 1. Вес кодовой последовательности (4.12) в та- ком случае равен разности между суммой 1 и суммой — 1.
Пусть число 1 в сумме (4.12) равно Я, а число — 1 равно У вЂ” Я, так как всего слагаемых в (4.12) У. В результате вес Я7= 2Я вЂ” У, (4.18) причем Я=О,У. Если Я=О, то Яу= — У, если Я=У, то 97=У. Шаг изменения веса равен 2. В соответствии с (4.13) КФ, если она содержит У слагаемых, выражается следующим образом: /т= Я7/У=(2Я вЂ” У)/У. (4.19/ Число кодовых последовательностей, имеющих данный вес, т. е. заданное число 1, находится как число сочетаний из У элементов по Я и равно Соя. Из (4.18) СЗ Са5 < э+97! Общее число кодовых последовательностей равно 2". Вероятность появления кодовой последовательности с данным весом, т. е. с заданным значением КФ, р(Щ С5~~о"+ ~ 2 (4.20) Распределение (4.20) является биномиальным.
Следует учиты- вать только, что вес изменяется с шагом, равным 2. Так как КФ и вес связаны соотношением (4.19), то распределение '(4.20) одно- значно определяет распределение КФ. 98 Так как дисперсия ПКФ равна 1/й/, то биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным иг (/с) = )/ д//2н ехр ( — )Ч/са/2). (4.21) Соответственно для апериодических КФ приближенно можно пользоваться нормальным распределением с дисперсией (4.17). На рис. 4.1,а вертикальными линиями показано распределение вероятностей р(йг) для апериодических КФ.
На рис. 4.1,б вертикальными линиями представлено распределение весов в более крупном масштабе. Кривые рис. 4.1,а и б изображают нормальный закон распределения ги (Ру) = = е =-„Гй (4.22) с дисперсией оачг=У/2. Такая дисперсия веса кодовой последовательности соответствует дисперсии апернодической р (иг) рм КФ (4.17). Из рнс.
4.1 хв видно, что наибольшие от- цвя клонения распределения ве- 4вп роятностей р (йу) от нор- фвв мального закона имеют место в центре и на краях. Хотя такими отклонениями У в некоторых случаях пре- а) вч Рнс. 4.1. Распределение апериодическнк шинстве случаев можно счи- цф полного даоичного кода тать распределение весов нормальным с плотностью вероятности (4.22). Переходя от весов к значениям КФ, получаем ги ф) =)ГМр~ ехр ( — у /са). (4.23) Точное выражение распределения апериодических ВКФ полного кода приведено в работе 1341: гэ (/ч) = — ~(0,5/Уел/ ехр ( — Яа/У) + У и — 1 +У (1/ зпиехр( — /1а/а) . (4.24) а=1 Так как среднее значение ш1 О, то четвертый начальный момент полного кода М, = (2д1а — 2й/а+ й/)/2/и'а.
Поскольку дисперсия равна 1/2й/, то коэффициент эксцесса р = Ма/оа — 3 = 1 — 4/У+ 2/Уа. (4.25) Предельное значение 7=1 при й/-а ос. Таким образом, предельное значение коэффициента эксцесса полного кода больше нуля. 4а 99 Т а 6 л и ц а 4.1. Характеристики систем ФМ сигналов г' йз дэ а и * Он ио о и ,Е ч и оь мен Среднеквадратическое значение системы сигналов Предельное средиеквадратическое анч- чеиие 15 9 31 17 63 25 6,33 0,35 4,5 0,64 20 0,64 0,173 О,!7! 0,128 0,123 0,0885 0,088 У-16 П 16 У-32 П-32 У-64 П-64 0,177 0,177 О,!25 0,125 0,0885 0,0885 йг йа -~а Р ! 2 7 + Д К 7к Рис.
4.2. Коэффициент эксцесса 100 Положительное значение коэффициента эксцесса свидетельствует о том, что функция распределения должна быть «обострена» в области малых значений Я относительно нормального закона (должна быть больше при малых )с) и иметь большие значения на краях (при Я-»~1). Из рнс. 4.1 видно, что характер распределения вероятностей р(й7) соответствует положительному значению коэффициента эксцесса у.
Таким образом, можно считать, что характер распределения вероятностей при различных л7 будет близок к представленному на рис. 4.1. Среднее значение КФ полного кода равно нулю, а дисперсия 02= 1/2!т'. Расчеты, проведенные для различных систем сигналов, показали, что их дисперсии близки к дисперсии полного кода. В табл. 4.1 приведены данные для систем ФМ сигналов двух подклассов, которые будут более подробно рассмотрены в дальнейшем: системы Уолша (У) и производной системы (П). Число последовательностей равно числу символов гч7 и указано в первом столбце табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
