Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Частичное совпадение ДЧ сигналов ! 3 М! См- См. м „ (7„,,= — ~1=+ — .. +( — П вЂ”" ° (5.27) и О'-,! ~ М М(М 1) При а=б правая часть формулы (5.27) совпадает с определением субфак. ториала (5.21). Для неполного субфакториала справедливо соотношение ~М. т, в ~М-в ~М вЂ” и. О. л» (5.28) где 11м- л, определяется согласно (5.27). Если сдвиг и небольшой (л~0,6М), то вероятность совпадений (5.26) См 1 См Р (и) вз Р (и), Ми Сз| и(е Си М М м (6.29) где Рм (и) определяется согласно (5.24). Более точное приближение для больших л обеспечивает следующая формула для вероятности совпадений: См-е Р „(и)м (1+ )Рм(и).
С М (5.30) Но формула (5.30) будет справедлива лишь прн и(М. 5.3. Алгоритвтвх поатроеииа оитимолъиык И ВВЗЗИОИтИМОЛЬИЫХ ОИотнвт Дчй ОИХттВЛОВ Алгоритмы построения оптимальных н квазиоптимальных систем ДЧ сигналов приведены в !6]. Они были получены на основе теорин чисел. В табл. 6В приведены алгоритмы построения последовательностей (аг(т)), удовлетворяющих сравнению (5.!7). В табл. 5.3 приведены правиаа образования последовательностей (а!(т)); ограничения, налагаемые на определенные коэффициенты; объем системы и оценка ВКФ. В первой строке табл. 5.3 число а — первообразный корень по модулю простого числа М+1.
Все остальные правила основаны на степенных сравнениях !36 Таблица 5.3. Алгоритмы построения оптимальных и квазиоптямальных систем ДЧ сигналов Объем састемм Максимум вКФ Прааала обрааозалза кослеаоаателькостев КотФФкакектм к се=1, М; 1, т-О, М вЂ” 1 1/М ат(т) ~юсеат+т(шод М) т, се=О, М вЂ” 1; /='1, М вЂ” 1 ПМ М 1 ат(т) ж/с+се(шоб М) (М вЂ” 1) М т, сь се=О, М вЂ” 1; ! '1, М вЂ” ! 2/М ат(т) /та+сто + +се(шоб М) (г, М вЂ” П=1; 1,1, м — 1 т,се О,М вЂ” ! М вЂ” 1 1/М ат(т) =/те+се(шоб М) гв 2; сг,=1, М вЂ” 1; се=О, М вЂ” '1; ! смчмб одновременно г/М Мт ~1 Г ат(т) В сз.те+ т=! +се(шоб М) гм)3 — нечетное; т,се О,М вЂ” 1; О, М вЂ” 1 при нечетных а; С!с= -( 0 при четных а М(с+сит — 1 г/М 137 по модулю простого числа М.
В четвертой строке числа г и М вЂ” 1 взаимно-простые, т. е. (г, М вЂ” 1) =1. Первая строка табл. 5.3 дает алгоритм построения оптимальной системы с максимальным объемом /., равным числу элементов в сигнале М, а вторая н четвертая строки дают алгоритмы, при которых Ь-М вЂ” т1. Остальные строки табл.
5.3 дают алгоритмы построения систем, близких к оптимальным, но большего объема. Обратимся к примерам, Сначала рассмотрим систему сигналов, построенную согласно правилу первой строки. Положим М+1=7, т. е. М=б, а со=1. Символы кодовых последовательностей определяются сравнением аг(т)=а!+с. В качестве первообразного корня по модулю 7 возьмем а=З. После вычислений получаем следующую систему последовательностей: 1 3 2 6 4 5 3 2 6 4 5 1 2 6 4 5 1 3 6 4 5 1 3 2 (5.31) 4 5 1 3 2 6 5 1 3 2 6 4.
В системе (5.31) кодовыми последовательностями являются строки, которые представляют циклические перестановхн. В соответствии со значениями Рассмотрим системы, построенные согласно правилу четвертой строки табл. 5.8. Положим М=7, со=О, г=5. После вычнсленнй имеем систему: 0 1 4 5 2 3 6 0 2 1 3 4 6 б 0 3 5 1 6 2 4 0 4 2 6 1 5 3 (5.35) 0 б 6 4 3 1 2 0 6 3 2 5 4 1.
Соответствующая система сигналов приведена на рнс. 5.5. При М 11, сз О, г=б, получим следующую систему кодовых последовательностей: 0 1 В 5 9 4 7 2 6 3 10 0 2 5 10 7 В 3 4 1 6 9 0 3 2 4 5 1 10 6 7 9 8 0 4 10 9 3 5 6 8 2 1 7 О 5 7 3 1 9 2 10 В 4 6 0 6 4 8 10 2 9 1 3 7 5 0 7 1 2 8 6 5 3 9 1О 4 089761015423 0 9 6 1 4 3 В 7 10 5 2 0 1О 3 6 2 7 4 9 б 8 1 ° Как видно нз табл. 5.3, объем оптнмальных снстем ДЧ сигналов (с одннм совпадением) удовлетворяет следующему соотношению ггМ прн четном М, !М вЂ” 1 прн нечетном М. Равенства (5.37) являются фундаментальнымп для систем ДЧ сигналов 147). Взаимное расположение элементов ДЧ снгнала определяется задержками (5,36) ! 2 Х Рнс. 5.5. Оптимальная ~ вз) Я ~" Дв ) вп~ система ДЧ сигналов их друг относительно друга, т, е. нетерваламн между ними. Число возможных различных интервалов (положительных н отрнцательных) между парой произвольных элементов равно 2(М вЂ” 1).
Возьмем два произвольных ДЧ сигнала. В каждом нз ннх выберем две произвольные пари элементов на совпадающих частотах (на одинаковых частотных строках). Если интервал между парой элементов у одного сигнала не равен интервалу между парой элементов второго сигнала, то прн взаимном сдвиге по времени этн пары дадут не более одного совпадения. Два совпадения возможны только тогда, когда интервал между выделенными элементами одного сигнала равен интервалу между элементамн второго сигнала. Таким образом, чтобы две частотные строки двух сигналов давали не более одного совпадения, интервалы между элементамн сигналов необходимо выбирать разлнчнымн. Так как число разлнчных интервалов между парой элементов равно 2(М вЂ” 1), то можно образовать 2(М вЂ !) пар частотных строк, дающих прн любом временном сдвиге не более одного совпадения.
Допустим, что ДЧ сигнал ммеет четное М. Такой сигнал состоит нз М/2 пар частотных строк. Рассмотрим сначала процесс образования пар для положительных интервалов, число котоРых равно М вЂ” 1. Поэтому первую пару частотных строк (пронзвольнык в об- 139 щем случае в сигнале) можно выбрать М вЂ” 1 способом. При этом будет использован и максимальный интервал, равный М вЂ” 1.
Так как в рассматриваемых ДЧ сигналах элементы не могут занимать одинаковые временные интервалы, то для последующих пар частотных строк нельзя использовать интервал, равный М вЂ” 1. Поэтому на вторую пару частотных строк црнходится М вЂ” 2 различных интервала, причем максимальный равен М вЂ” 2. Точно так же на третью пару частотных строк приходится М вЂ” 3 различных интервала, на й-ю пару — М вЂ” й интервалов. Так как в сигнале всего М/2 пар, то на последнюю пару приходится М вЂ” М/2 М/2 различных интервалов. Из М/2 интервалов можно образовать только М/2 частотных строк, которые дадут не более одного совпадения. Учитывая отрицательные интервалы, получаем, что максимальное чи.
ело оптимальных сигналов, которое можно обьединить в систему, при четном М равно М. При нечетном М таким же методом можно показать, что чясло оптимальных сигналов в системе будет равно М вЂ” 1. Таким образом, объ. ем оптимальной системы определяется соотношением (5.37). Из приведенного доказательства следует, что свойства оптимальной системы ДЧ сигналов зависят от интервалов между элементами сигналов. Если одновременно произвести перестановку частотных строк с одинаковыми Номера ми всех ЧВМ, то интервалы между элементами сигналов не изменятся.
Следовательно, такие перестановки частотных строк дают новые системы ДЧ сигналов. На рве. б.б,б приведены ЧВМ позой оптимальной системы ДЧ сигналов, ИЕПБЗЫ Рис. 6.6. Перестановка строк ЧВМ ДЧ сигналов полученной из системы с ЧВМ рис. 5.6,а путем перестановки первой строки (нижней) всех матриц на рис. 5.6,а на третье место, а шестой строки — на четвертое место. Кодовые последовательности новой системы имеют вид 3 2 1 5 6 4 2 6 3 1 4 5 6 4 2 3 5 1 4 5 6 2 1 3 (6.38) 5 1 4 б 3 2 1 3 5 4 2 6. Сравнивая (6.38) с (5.31), замечаем, что перестановка строк ЧВМ рис. 5.6,а (нли 5.3) соответствует перестановкам столбцов в (5.31): первый и шестой столбцы (5.31) перемещены на третье н четвертое места. С комбинаторной точки зрения образование новых оптимальных систем ДЧ сигналов сводится к перестановкам нз М элементов, поскольку осуществляются перестановки М частотных строк.
Поэтому с учетом всех перестановок число Я различных оптимальных систем ДЧ сигналов будет не меньше, чем ()ш!в ™1 (5.39) 140 Обратимся теперь к квазиоптимальным системам, которые имеют больший уровень ВКФ, но обладают и большим объемом. Сначала рассмотрим систему, правило построения которой приведено в третьей строке табл. 5.3. Положим, что М-7, се=0, а с, и 1 меняются в пределах: с~ 1, М вЂ” 1, /=1, М вЂ” 1. Число сигналов в системе равно (М вЂ” 1)М=42. Эти сигналы имеют частотные элементы, совпадающие по времени, что в свою очередь приводит к появлению пробелов в сигнале по времени и к ухудшению его пик-фактора.
Максимум ВКФ таких сигналов равен 2/7. Рассмотрим систему сигналов, построенную согласно правилу шестой строки табл. 5.3. Положим, что М=7, г 3, се=0, сзз=сз~1, а сп с~ изменяется от 0 до 6. Число таких сигналов равно (М вЂ” ~1)М"-'=42, а махсшаум ВКФ равен 3!7. Сигналы втой системы имеют еще большее число совпадений элементов по времени, чем предыдущие сигналы, и еще большее число пробелов по времени. Поэтому система сигналов, полученная с помощью етого правила, уступает по своим свойствам системе сигналов, построенной но .правилу третьей строки.
Исследования [48) показали, что объединением всех возможных оятнмальных систем, построенных цо любому из приведенных алгоритмов ври различных значениях одного из параметров (а, г или сз), в одну общую систему можно получить систему ДЧ сигналов существенна большего обтема с ограниченным уровнем пиков ВКФ. Максимальное значение пиков ВКФ и объем полученной системы зависят от выбора алгоритма и изменяемого параметра.
Таяне системы называются композиционными (48). Очевидно, максимальный объем композиционной системы определяется числом всех различных оптимальных систем, которые можно построить по данному алгоритму путем изменения выбранного параметра. Взяв в качестве исходного алгоритм первой строки табл. 5.3, изменению может быть подвержен только параметр а, так как изменение сз ведет лишь к перенумерации сигналов в системе.
Число оптимальных систем, которые можно построить по данному алгоритму, сравнительно невелико (а следовательно, и объем композиционной системы) и равно числу первообразных корней по простому модулю М+ 1, не превосходящих по величине М, так как при а>М полученные оптимальные системы повторяют уже найденные. Так, при М 6 таких систем две, при М= 10 — четыре и т. д. Аналогично, при использовании второго алгоритма (четвертой строки табл. 5.3) и изменении параметра г различные оптимальные системы получаются пря г(М вЂ” 1, а следовательно, максимальный объем композиционной системы также относительно невелик и равен (М вЂ” 1) Х~р(М вЂ” 1), где ф(М вЂ” 1) — функция Эйлера. В обоих случаях уровни ВКФ для сигналов больших баз (В) 13з=169), образующих систему максимального объема, могут оказаться хотя и ограниченными, но недопустимо большими (порядка 50% от главного пика АКФ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
