Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Однако за счет сокращения числа объединяемых оптимальных систем, т. е. за счет уменьшения объема композиционной системы, можно получить заданный уровень пиков ВКФ. Ввиду указанных недостатков приведенных композиционных систем, следует отдавать предпочтение другому алгоритму построения композиционной системы, подробно раосматрнваеьюму ниже. 141 Навяучшнмн свойствамн с точки зрения получения максимальных объемов и хороших корреляпиоиных свойств обладают композиционные системы, полученные путем объединения оптимальных систем, построенных по алгоритму (четвертой строки табл. 5.3) при гФ! по ЧКП при различных значениях параметра со=0, М вЂ” 1. Изменение параметра сэ в сторону увеличения означает циклический сдвиг ЧВМ сигнала вверх.
Число совпадений элементов ЧВМ двух сигналов прн временном сдвиге ьй/ определяется числом решений сравнений типа (5.15), которое сводится х сравнению г-й степени: !" эмй(т ь) +4(шобМ)' (6.40) где д=сэь — сэ~, '1. 2=1, М вЂ” 1. Данное сравнение можно представить в виде /(т) — = 0(шобМ), где /(т)— многочлен г.й степени относительно неизвестного ч, коэффициенты которого не кратны М.
В соответствии с теорией чисел сравнение такого типа не аюжет иметь более г решений (ио может иметь меньшее число решений), а значит, всегда можно построить композиционную систему сигналов с заданными корреляционными свойствами, выбрав эа основу второй алгоритм с допустимым значением параметра глээ. (5А1) гдеп~Йпах М где Ям„— максимально допустимое значение ВКФ. Например, если г-~З, то после объединения получим квазиоптимальную систему ДЧ сигналов с максимальным значением ВКФ, не превышающим 3/М. Объем композиционных систем этого вида наибольший и составляет М(М вЂ” 1) при нечетном М, М' при четном М, '--( (5А2) ' Параграф 5.4 написан на основе совместной работы с О. В.
Матвеевой [481. 142 что следует из объемов оптимальных подсистем и их числа, определяемого возможными значениями се=0, М вЂ” 1. Следует подчеркнуть, что данная процедура синтеза композиционных систем неприменима для линейных оптимальных подсистем (г= 1). Хотя объем нелинейных композиционных систем при незначительном ухудшении корреляционных свойств сушествеино больше объема оптимальных систем, следует отметить, что, как показало исследование полного кода ДЧ сигвалов малой базы методом прямого перебора, он не является предельно достижимым для заданного уровня ВКФ.
Например, для М=5 объем композиционной системы сигналов с )см,э=З/М равен 20 сигналам, тогда как объемы нехоторых систем, найденные из полного кода, составляют 48 — 51 сигнал. По предложенным правилам были построены конкретные композиционные системы для разных баз сигналов. Расчеты нашли свое отражение в табл. 5.4, в первом столбце которой записан алгоритм формирования оптимальной подсистемы, во втором — изменяемый при переходе от одной подсистемы к дру- Т а б л и ц а 6.4.
Алгоритмы построения композиционных систем ДЧ сигналов Иамераеммв па- раметр н преде- лы иемененни Алгоритм уч(т) =сеа+ч(пюй М) а — первообразиый корень, М+1 — простое число АМ; се-сопз1 1<а<М 6 10 12 12 40 48 2/6 3/10 6/12 7! (и) ии/(т) '+ се (шо6 М) М вЂ” простое число, (и, М 0)=1 /, и=О, М вЂ” 1; се=сопш 12 40 48 128 0<г<М 7 11 13 17 3/7 3/11 7/13 б/17 71(т) — /и'+се(той М) гФ:1; г=сопз! г=5 г=З г-5 г 3 г-5 г=5 г=3 се=О, М вЂ” 1 42 110 156 272 272 912 912 3/7 3/11 3/13 3/17 4/17 5/29 3/29 7 11 13 17 17 29 29 Т а б л и ц а 5.5.
Распределение числа совпадений Вереатнесть числа ссипадеинй прп !Ь! 1о 0 1 2 3 0,1 0,9 0 0 0,44 0,31 0,15 0,1 0,47 0,31 0,15 0,07 0,5! 0,56 0,29 0,25 0,16 0,18 0,04 0,01 0,63 0,69 0,29 0,25 0,07 0,06 0,01 0 0,59 0,28 0,12 0,01 0,75 0,82 0,22 0,17 0,03 0,01 0 0 0,9 0,1 0 0 гой параметр, в третьем — число элементов в сигналах системы, в двух последних — максимальные объемы композиционных систем и максимальные пики ВКФ. Приведенная таблица подтверждает указанные выше преимущества аюследието опособа построения нелинеиньгх композиционных систем, позволяющего получать квазиоптимальные системы наибольшего объема.
Как и следовало ожидать, в этом случае максимальные уровни нинов ВКФ не превышают значения г/М. Для примера рассмотрим большую квазиоптимальиую композиционную сястему с максимальным числом совпадений ЧВМ сигналов равным трем, построенную на основе третьего алгоритма табл. 6.4 при значении параметра г=З для сигналов с базой М'= 11амм!21. Данная композиционная система представляет собой объединение одиннадцати оптимальных подсистем, построенных по алгоритму при различных значениях параметра се=О, !О, причем каждая подсистема содержит 1О сигналов, а полный объем такой композиционной системы составит 110 сигналов.
Был проведен расчет числа совпадений элементов ЧВМ всех пзр сигналов данной системы с учетом взаимных сдвигов во времени. В табл. 5.5 приведены данные расчета вероятности числа совпадений гв при фикснроввнных временных сдвигах )Х!. Анзлогичиый характер носит рзспределение вероятности числе совпздеиий для любой композиционной системы, построенной из основе третьего алгоритма табл. 5.4 изменением параметра св 5.5. Объем бользпих сметем ДЧ сигналов В работе [441 был определен объем больших систем фазомаиипулкрованных сигналов.
Используя основы метода, предложен- мого в [441,и рассмотренного в [451 можно найти объем больших систем ДЧ сигналов. Корреляционные фуниции ДЧ сигналов при дискретных временных сдвигах Л, где Л вЂ” целое число, †(М— — 1)(Й<М вЂ” 1, определяются числом совпадений частотных элементов на частотно. временной плоскости. Если число совпадений равно гп, то модуль корреляционной функции (КФ) 1т=т/я)4. Среди систем ДЧ сигналов особое место занимают оптимальные системы, у которых число совпадений между различными парами сигналов прн произвольных временных сдвигах равно 0 илн 1. Объем таких оптимальных систем не превышает числа частотных элементов М; т.
е. существенно меньше базы ДЧ сигналов. Вместе с тем в ряде технических задач необходимо иметь большие системы ДЧ сигналов, объем которых Ь»Мз. Поиски таких систем ведутся в настоящее время, но детерминированные алгоритмы построения еще неизвестны.
Представляет интерес объем большой системы ДЧ сигналов с заданным числом совпадений [491. Метод поспроения системы ДЧ сигналов с заданным числом совпадений аналогичен методу построения систем фазоманипули.ровенных сигналов, описанному в [441. Полный код ДЧ сигналов содержит 1., =М1 сигналов. Выберем случайным образом 1.(1.„„ ДЧ сигналов. Рассчитаем все КФ этих сигналов. Выберем некоторое допустимое число совпадений и, причем 0<а<М. Если число совпадений авто-,и взаимокорреляционной функции (АКФ н ВКФ) превышает допустимое число совпадений п, то сигналы с такими АКФ и ВКФ удаляются из первоначальной системы.
Таким образом, при помощи подобной операции можно получить некоторую систему объемом Ьс(1., причем Ьо — случайная иеличина. Если ее среднее значение не равно нулю, то такая система должна существовать. Обозначая через Р вероятность того, что число совпадений превышает допустимое, можно показать, как это сделано .в [44, 451, что среднее значение объема искомой системы ДЧ сигналов равно Ез'=в 0,25Р ' . (5.43) Следует отметить, что неравенство (5.43) справедливо прн предположении статистической независимости КФ ДЧ сигналов, входящих в первоначальную систему.
В общем случае это не имеет места. Но при построении большой системы ДЧ сигналов иеоб- 144 (5.47) ходимым условием является малый уровень КФ построенной системы сигналов, т. е. малое число совпадений т~М. ПРи таком условии можно пренебречь статистической зависимостью КФ, что и позволяет использовать неравенство (5.43) для оценки среднего значения объема системы ДЧ сигналов при заданном числе совпадений. Вероятность появления т совпадений при,заданных числе частотных злементов М и дискретном временном сдвиге Л определяется следующим,выражением в соответствии с (5.26) Рм(т, !Л!)= !М !Л!)! ~~~~ ( 1)а !и! м! „а и! (и — — 1л! — нВ (5.44) где число совпадений т удовлетворяет неравенству 0(т =М— — !Л[, а модуль дискрет!юго временного сдвига [Л[ =О, М вЂ” 1. Формула (5.44) соответствует апериоднческим КФ.
Положим, что дискретные временные сдвиги равновероятны, а вероятность,их появления равна 1/(2М вЂ” 1), где 2М вЂ” 1 — число дискретных временных сдвигов. Безусловная вероятность появления т совпадений в апериодической КФ Г м — ! Рм(т)= ~Рм(т, О)-) 2~ Рм(т, !А!) . (5.46) 2М вЂ” 1 е=а Вероятность того, что число совпадений т не превысит п, Р„= Р (т ( п) = ч~~~ Рм (т). (5.46) и=О Соответственно вероятность превышения Р=1 — Р„. Приближенная аналитическая оценка вероятности е — ! ем ! Ма+!еМ 1 Р ж1 — — — [1— (и+!)! ММ! " (и+!)! Х (~5.48) При М»п второе слагаемое в квадратных скобках выражения (5.48) много .меньше единицы, позтому Р ж!— (5А9) При М»п)1 третье слагаемое много меньше второго, что можно показать, используя формулу Стирлинга для факторнала М!.
Подставляя (5.49) в (5.47), получаем 1,,)025(и-1-1)!ММ! [ММ!е '+(и-1-1)1е ! (5.50) В квадратмых скобках неравенства (5.50) первое слагаемое всегда много больше второго при М»п)1. Пренебрегая вторым слагаемым, получаем Г ) 025 е (и+ 1)!. (5.51) Как следует из (5.51), объем больших систем ДЧ сигналов !45 растет как (и+1)! и практически не зависит от М. Это следует нз предположения о там, что М~п, а также из таго, чго вероятность Рм(гп) очень слабо зависит от М, поскольку при М~! Рм(гп) ж (ет!)-'. Относительный объем системы ДЧ сигналов Еа/М!ж (а+1)!/М1 и при М~п системы ДЧ сигналов с малым числом совпадений составляют небольшую долю от полного кода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
