Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Если при этом окажется, что в некоторой области эти оценки достаточно близки друг к другу, то ими можно с успехом пользоваться как приближеннымн выражениями. Для нахождения опенки вероятности ошибок снизу рассмотрим когерснтный прием сигналов (4.63), полагая начальную фазу ф известной. Очевидно, что вероятность ошибок пря оптимальном некогерентном приеме не может быть меньше вероятности о4нибок при оптимальном когерентном приеме, поскольку отсутствие сведений о каком-либо параметре сигналов (в данном случае о начальной фазе) не может повысить верность приема. Система (4.63) при когерентном приеме изаморфна биортогональной системе (3.69) при т=4. Это легко прове- 260 рить, вычислив котельниковские расстояния между каждой парой сигналов т = 4/ — "' ( ~ 44 -' 44 4 о и убедившись в том, что они одинаковы для обеих систем.
Вероятность ошибки при когерентном приеме в данном случае определяется выражением (3.70а). Но поскольку энергия сигнала в (3.69) вдвое меньше, чем ( . ' ),, сохраняя обозначение Ьадля отношения энегин сигнала к спектральной плотности р- ~4.63', пол чи шума в системе ( .
), получим вероятность ошибки при когерентном приеме Рко =1 — 4 ]1+Ф(Ь/]У2)]4 1 несколь"У Р ог является оценкой снизу для вероятности ошибок и бок при оптимальном некогерентном приеме, то окончательно, объединяя с (4.66), найдем 3 м 1 4 ] +ф(Ь1]'г~)1 ~р~е — — е . (4.67) Полученные оценки изображены сплошным и кривыРис Эти кривые достаточно близки друг к другу* так что при практических расчетах они позволяют с удовлетворительной точностью оценить шибки. Если, как это чаще всего встречается на практике, нужно по заданной вероятности ошибки определить требуемое значение Ьз, то среднее между двумя оценками дает погрешность (в области р<10-з' ) не свы- 14. а этом же рисунке показана пунктирной кривой вероятность ошибок в ортогональной системе при т=4, вычисленная по формуле (4.48): м 4 3 — — м 4 р= — , 'е — е +— 4 Из сравнения этих кривых видно, что отклонение от ортогональности, как н в двоичных системах, прпводиг скомпенси ован к увеличению.
вероятности ошибок, которое мО1 . б кет ыть е сировано довольно существенным увеличением мощности сигнала. 2И р! 7п ' Гп гп (4.66) В заключение отметим, что дискретное отображение канала в рассмотренной системе оказывается несимметричным. Если передается символ у! и произошла ошибка, то с ббльшей вероятностью будет принят символ ра или уа, чем уя. Символ уя с большей вероятностью перейдет в !), или уя, чем в уа, и т. д. К этому мы вернемся я гл.
9. ап а П !П гП 7П ФП Ь 2,(Г) =аСОВ(ш,7+ф,), яа (!) —.— а сов (я,г+ ф,), Согласно (4.57) т ~ га(!)а,(!)а)! рл па = 7 о ~ аа (!) аа (!) с(7 =. о $ кг (~),!! о 2 Г [ сов (шаг+ ф,) сов (ы,г+ фа) с)! т ! 7 ~сов[( а+ а)1+ф +ф)!а!+ о т Г + т ~сов[(" )7+ф — ф)]с)(=- о -"" (("а + оаа) 7' + Фа + Ф, ), а|и ((ы,— „,)) т (аоа + оа~) Т (ы~ — ~,) Т вЂ” (оч+ )Т ( )а Рис. 4.!5. Оценки яероятности ошибок лля системы (463) снияу (а) и сяерьу (б).
Вероятность ошибки лли ортогоняльиой системы ири ал=-4 (и!. Частотная манипуляция (ЧТ) Подавляющее большинство существующих систем свизи, использующих абсолютно некогерентный прием, основано на частотной манипуляции, Из полученных выше результатов следует, что наибольшую помехоустойчивость обеспечивают системы, ортогональные в усиленном смысле. Два сигнала, представляющие собой отрезки синусоиды длительностью Т с произвольными начальными фазами, являются ортогональными в усиленном ! смысле при условии, что их частоты кратны —.
Чтобы убедиться в этом, вычислим значение р для сигналов 262 Лналогично, т 2 Г т ~ сов( !+фа)вап(оааг+фа)с)Е =. о т ! Г =-т~ (~ [( .+-)7+ф.+ф,[ (7+ о т ! Г +т) ' [(" — -,)Г+ф,— ф,) ( =- о сок (Фа+ Фа) [ сок (Ф, — Ф,) (аоа + ы1) т (ыа аоа) Т соа((ыа+оаа)Т+ Фа+Фа) сок((оаа — оа,) Т Ф Ф ) (оа, + ыа) Т (о», — ыа) Т (4.68а) 263 Очевидно, что Р=О тогда и только тогда, когда р1=0 и рг=О. В данном случае это выполняется при произвольных ф, и ф„если (в, +,) Т = 2игм„и (в.
— ~) Т =- 2пя, где и, и и,— целые числа. При этом 2$йг СЭ '-- т 2«П иг — в т (4.69а) Действительно, при этом условии з]п [(в, — в,) 1+ ф, — ф,[ = з]п (ф, — ф,), соз [(в, — в,) г+ ф, — ф,[ = сов (ф, — ф,), поэтому [Рг[ — — (,+ От -1 — ' '--- Мп](в, + в,) т+ 4, + 4,] — Яп(Ф, +40 $ 2 (вг+ в,) т сог ((в, + в,) Т + 4«+ 4,] — сог (Фг + 40 [Р.[= =! (юг+ в,) Т (вг+ в,) т где й,=и1 — иг и йг — — и~+и» вЂ” также целые числа. На практике в системах ЧТ условие (4.69) чаще всего ие соблюдается. Вместо того чтобы добиваться точной ортогональнастн сигналов в усиленном смысле, ограничиваются обеспечением приблизительной ортогональности, понимая под этим условие р«1.
Как видно из рнс. 4.14, двоичная система при р порядка 0,1 или даже 0,2 почти не отличается по помехоустойчивости от ортогональной. В современных системах «узкополосной» ЧТ добиваются приблизительной ортогональности, заменяя условие (4,49) менее жестким: и, следовательно, / г г .
2!2 Р=~ Р, +Рг» ( Если (вг+он) Т>30, что на практике всегда выполняется, то р<0,1 и сигналы можно считать приближенно ортогональными. В более старых системах «широкополосной» ЧТ приближенная артогональность достигается тем, что разность частот вг — оц выбирается достаточно большой: [вг в1[ ~) т $2п (4. 69б) Поскольку вг+еч»]в1 — вг[, величина р во всех случаях ограничивается следующим приближенным неравенством: 2 р<— ](вг — в!)] т н если [в,— в,[Т >20, то опять-таки рк, 0„1. Для выполнения условия (4.696) приходится увеличивать условную полосу частот сигнала.
Так„если воспользоваться условием (4.69а) при Й=1, то условная полоса частот равна †„, тогда как при условии (4,69б), если величина р не должна превосходить 0,1, условная полоса частот должна быть больше —.. Однако широкот' полосные системы ЧТ имеют преимушество в условиях, когда нельзя обеспечить очень высокую точность частот сигнала, поскольку в этом случае небольшие изменения частоты сигнала приводят лишь к некоторому снижению напряжения, подаваемого на схему сравнения (рис. 4.1 — 4.3) из той ветви, в которой присутствует сигнал.
В узкополосной же системе одновременно нарушается ортоганальность сигналов, что приводит к более существенному повышению вероятности ошибок. Для приближенной количественной опенки допустимого ухода частоты сигнала в двоичной системе ЧТ рассмотрим случай, когда решающая схема является оптимальной для сигналов с номинальными частатаюи, а фактические частоты сигналов отклоняются ат номинальных значений в пределах +.Лв=.«-2пЛ[. Условимся сЧитать допустимым такое снижение помехоустойчнво. 2оо сти, которое может быть скомпенсировано увеличением мощности сигнала на 1Ои7и.
Пусть решающая схема рассчитана на прием сигналов г!(!)=асозв!! и зз(Г)=асозвз(, фактически же приходит сигнал з, (!) =а соз (в!+Лв) й Огибающая в момент отсчета на выходе фильтра, согласованного с сигналом г!(!) (или напряжение в соответствующей ветви квадратурной схемы), согласно (4.36) и (4.29) равна т т тт !и Е, (Т) =- 1/ ~ з (Х)а созш,!г(! + ~ ~ 2' (!) а э!Пв,гг(! ~ (4.70) Если пренебречь помехой, то '(!) =- рэ,(!) = — расея( +Л ) !.
Г(одставив это в (4.70), после несложных преобразований получим ЬвТ э!и— 2 (4.7 1) Е,(Т) =- ра' эвТ 2 Как и следовало ожидать, наибольшее значение Е!(!) имеет место при Лв= — О. При уходе частоты Е!(!) уменьшается, что может быть скомпенснровано увеличеЬвТ~2 пнем мощности сигнала (или а') в —,,- раз. и!и ЗвТ'2 Что же касается фильтра, согласованного с сигналом гз(!), то напряжение, создаваемое на нем приходящим сигналом г!(!), в момент отсчета практически равно нулю, если выполнено условие (4.696), поскольку при небольших значениях ЛвТ сигналы з!(!) и зз(!) остаются приближенно ортогональными. Таким образом, для широкополосной системы допустимое значение ухода частоты, которое может быть скомпенсировано увеличением аз на 10и7и, определится из уравнения лвт йвТ 2 2 и!и— ивТ разлагая з!и — в ряд Тейлора и ограничиваясь двумя г членами, получим 1,55 Лв =- — ' т нлн Эв 0,25 Ь)= — ~ 2 Т Иначе обстоит дело при узкополосной.
ЧТ, например 2и прн в, — ш,== — ". В этом случае уже небольшой уход частоты вызывает нарушение ортогональности, выражаюгцееся в том, что сигнал з, создает в момент отсчета заметное напряжение (пропорциональное р) на фильтре. согласованном с сигналом зз(!). Из (4.68) и (4.68а), если пренебречь членами с большим знаменателем (в|+ +!из)7 н подставить сч+Лв вместо вь найдем ! — (в, — в, — йв) Т 2 (4.
72) 1 (в2 вю ' Лв) Т 2 нли, учитывая, что (в,— в,) 7'= — 2т., а !!вТ.б'2т., ) и(и — 2( р ==. = — =- Ь)Т. и Таким образом„при уходе частоть! сигнала в узкополосной ЧТ, увеличение мощности должно скомпенсировать не только уменыпение Е,(Т), но и нарушение ортогональности. Пользуясь формулами (4.Л) и (4.72), можно убедиться, О,б что при вероятности ошибки порядка 1О ' и Л т : или Ь)':= — '7! величина р =О,! может быть скомпенси- О,(! рована увеличением мощности сигнала примерно на 7!))!. В то же время для компенсации уменьшения Е!(Т) потребуется увеличить мощность сигнала еще на 3%.
ТаО,! ким образом, можно считать, что Л)= — ' является допут 2ОТ стимым значением отклонения частоты сигнала от номинала при узкополосной ЧТ. Этот допуск в 2,5 раза меньше, чем прн широкополосной системе ЧТ. В тех случаях, когда не удается обеспечить точность частоты сигнала хотя бы в тех пределах, которые допустимы при широкополосной ЧТ, применяют неоптимальную решающую схему широкополосного приема, о которой будет сказано в следующем параграфе, либо испо.пьзуют двойную модуляцию (см. гл. 9). 4.5. Неоптимальные методы некогерентного приема В практике связи оптимальные схемы некогерентного приема начали применяться лишь в последние годы.
В настоящее время широко распространены различные схемы приема, отличающиеся от оптимальных, преимуществом которых является в одних случаях простота, а в других случаях — менее жесткие требования к стабильности частоты. Ббльшая часть таких схем предназначена для наиболее широко распространенной двоичной системы ЧТ. Несмотря на относительную простоту этих схем, строгая теория помехоустойчивости для них оказывается сложной и полностью не разработана. Мы ограничимся приближенным анализом некоторых неоптимальных методов приема и их сравнением с оптимальными методами, рассмотренными выше. Узкополосный прием по огибающей Схема узкополосного приема отличается от оптимальной схемы с согласованными фильтрами (рис.
4.3) тем, что вместо согласованных с сигналом фильтров применены несогласованные «разделительные» фипьтры, имеющие относительно узкие полосы пропускания. Так, для двоичной системы ЧТ обычно используются фильтры, имеющие импульсную реакцию йд (Е) = 6 (Е) соз (я1и)ьЕ + ф1) „ д, (Е) = 6,(Е) соз (Ес,ш, Е,+ ф,), 6(Е) — огибающая импульсной реакции, обычно одинаковая для обоих фильтров; эр, и эрэ — некоторые детерминированные сдвиги фаз; Есиаа и Аэыа — резонансные частоты фильтров, совпадакпцие (в принципе) с частотами спгна.пов г1(Е) и за(Е). В зависимости от вида функции 6(Е) схема обеспе- чивает различную помехоустойчивость.
Гели 6(Е)=-сопи( .- 0 при О~ЕСТ, 6(Е) =-0 при (<0 и Е>Т, то такие фильтры, очевидно, окажутся согласованными с сигналом и схема совпадет с оптимальной схемой рнс. 4.3. Прн этом вероятность ошибок выразится фор- мулой (4.49), По такие фильтры трудно осуществить. Поэтому применяют более простые фильтры, например фильтр в виде одиночного колебательного контура, для которого 6(Е)=е ' =-.е ' ", (4.73) либо паласовые фильтры, приближающиеся к идеальному П-образному (физичсскн пе реализуемому) фильтру, дпя которого нп 2пб(е 2паД Здесь Я вЂ” эффективная (или «шумовая») полоса пропускания фильтра, определяемая равенством 1 Г ~ )Ф(! )Гпы Ц= )ф(Еы)!яаае где Ф(Еш) — передаточная функция фильтра. Для П-образного фильтра еуЕ совпадает с полосой пропускания в обычном смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
