Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 46
Текст из файла (страница 46)
При подаче сигнала и,(Е) =асов(й1аэаЕ+ср,) на фильтр с резонансной частотой Ес,аьэ амплитуда колебания на его выходе постепенно возрастает. В случае согласованного фильтра амплитуда возрастает, как мы видели, по линейнему закону. Для одиночного контура амплитуда изменяется по закону" а (1 — е е'), а для идеального П-образного фильтра— по закону а — з(~ — еь(Е). и (,2 "' Для простаты ыы приииыаеи коэффициент передачи фильтра яа реэаиаисиая частата равным единш1е, чта, конечно, ие нарушает общности.
Шум же воздействует на фильтры все время, и поэтому его значение на выходе фильтра можно найти, исходя из представлений об установившемся режиме. Поскольку рассматриваемые фильтры линейны, шум па выходе каждого из них сохраняет нормальное распределение мгновенных значений н имеет мощность, равную з Р „,„= — ь м Л1'.
Таким образом, в момент отсчета 1=7' на выходе фильтра присутствует квазигармоническое колебание сигнала с амплитудой, зависящей от вида фильтра, от амплитуды а на его входе и от ЛГ, и шум с нормальным распределением вероятности и с интенсивностью, зависящей от Л). Огибающая суммарного напряжения, как известно (6), имеет обобщенное релеевское распределение вероятности так же, как и в случае согласованного фильтра. Однако на выходе согласованного фильтра отношение мощности сигнала к мощности помехи в момент отсчета равно з 2зз зх а при неоптимальных фильтрах оно зависит от соотношения между эффективной полосой пропускания Л) и длительностью сигнала Т, Варьируя величиной Л), можно найти такое ее значение, при котором отношение мощности сигнала к мощности шума з7з в момент отсчета будет максимальным, При приеме одиночного импульса эта полоса пропускав,бб ния для одиночного резонансного контура равна Л1= — '.
1,37 а для П-образного фильтра Л1 =- — ' [8, 9]. При таком Т выборе эффективной полосы пропускания фильтра максимальное значение 17' равно [9[ и'Т г)з = 0,815 — == 0,815йз для резонансного контура. 2з~ г7'= 0,825 —,, = 0,8256' для П-образного фильтра. 2з Если бы напряжение на фильтре, не настроенном на частоту принимаемого сигнала, определялось только 270 флюктуационной помехой, то принятие решения в такой схеме сводилось бы к сравнению значений двух огибающих в момент отсчета, из которых одна (в фильтре без сигнала) имеет релеевское распределение, а вторая (в фильтре с сигналом) — обобщенное релеевское распределение вероятностей.
Повторяя те же выкладки, что и при выводе (4.49), можно было бы найти вероятность ошибок ез Ь' -з.зев з 1 ' 2 р= — — е = — е 2 2. т. е. такую же, как и в оптимапьной схеме, если мощность сигнала уменьшить на 18в7с. Однако такой вывод не обоснован. Необходимо учесть, во-первых, что при несогласованных фильтрах принимаемый сигнал в момент отсчета создает напряжение не только в том фильтре, который настроен на его частоту, но и в другом з. Во-вторых, в момент отсчета на выходах контуров сохраняются остаточные напряжения переходных процессов, созданных предыдущими элементами сигнала. Этих остаточных напряжений нет в случае согласованных фильтров, у которых импульсная реакция отлична от нуля только на протяжении интервала времени длительностью Т.
Оба эти фактора могут привести к существенному повышению вероятности ошибок аналогично тому, как в оптимальных схемах вероятность ошибок увеличивается при частотной неточности, которая также вызывает появление допопнительного напряжения в цепи, где сигнал не должен присутствовать. Для того чтобы это увеличение вероятности ошибок было незначительным, необходимо обеспечить такие условия, при которых указанные дополнительные напряжения были бы ниже уровня шума. Для того чтобы бороться с первым из указанных явлений, нужно выбирать достаточно большую разность частот сипзалов (й,— 7г,)ю,.
Г!оэтому в системах связи с примс- е Это явлекпе, вопвекя существующему заблужзеяпю, имеет место и прп идеальных П-образпых фкльграх с яепереквывающкмяся полосами, так как в мпмект отсчета в фкльтрах еще пе наступил установившийся режим, в катером сигнал, яахпдяшкйск впе паласы пропускапяя, пс проходят через фальта Лкгпь прп спгзвсоваааых фильтрах к ортогональкых спгаазах папряжевне в мочеяг птсчезз па выходе «пустпгп» фяльтра определяется только помехой. 271 пением узкополосного приема по огибающей величина гггы — багге ,сдвига частоты" 2 всегда существенно больше, 1 чем —. Это значит, что прн узкополосном приеме имею- Т ' щаяся полоса частот используется хуже, чем это возможно при оптимальных методах приема. Второе явление — наличие остаточных напряжений («хвостов») от предыдущих элементов сигнала — вынуждает несколько расширять эффективную полосу пропускания фильтров сверх тех значений, которые соответствуют максимальному отношению сигнала к помехе в момент отсчета.
Расширение полосы пропускания позволяет ускорить переходные процессы так, чтобы к моменту отсчета колебания, вызванные предыдущими элементами сигнала, в достаточной степени затухли. Однако расширение полосы пропускания вызывает увеличение мощности помехи, прошедшей через фильтр. Так, например, в случае одиночного ко.пебате,пьного 0,88 контура с эффективной полосой пропускания а) = †' т остаточная амплитуда напряжения от предыдущего элемента равна (7в ='ае ~~!'=зае "=-.0,27 а. вст — г Это напряжение складывается с шумом таким же образом, как и напряжение, создаваемое сигналом в несогласованном с ним фильтре, в случае нарушения ортогональности. Поэтому вероятность ошибки мегино здесь приближенно определить по формулам (4.61) для неортогональных сигналов, полагая р= ~~ =0,27. Как видно из рис.
4.14, при допустимой всрояпюстн ошибок меньше ! О-' такое значение р эквивалентно повышению мощности помехи примерно вдвое. Если расширить полосу пропускания фильтра в 2 раза, то мощность помехи действительно возрастает вдвое, но отношение — снизится до 0,07 и практически такое и.„ а расгпиреиие полосы не будет влиять вв помехоустойчивость. 272 )т = — ехр ~ — — ~ = — ехр ~ — — - ц (4.74) 2 ( 27' 2 (, 4 ) Следовательно, узкополосный прием по огибающей сопряжен с проигрышем по мощности примерно в 2 раза по сравнению с оптимальными методами приема. Узкополосный прием по мгновенной частоте Другая широко распространенная схема приема двоичных сигналов ЧТ состоит из узкополосного фильтра и частотного детектора (рис. 4.16). Применяют различные схемы частотного детектора, но все они содержат амплитудный ограничитель и поэтому являются нелинейными*.
Для анализа будем полагать частотный детек- Рис, 4,16. Прием сигналов ЧТ по мгновенной частоте. тор идеальным, т. е. дающим на выходе напряжение, являгощееся монотонной функцией от мгновенной частоты (4.!1) поданного на его вход сигнала. Его регулируют так, что нулевое напряжение на выходе соответст- * Одна из возможных схечы с раззелнтельныма перел фильтрами.
!8 — 2447 схем частотного летеитора отличается от фнльтрамн толысо наличием ограничителя 278 Очевидно, оптимальное значение полосы пропускания контура, обеспечивающее в данной схеме минимальную вероятность ошибок, лежит между этими двумя пределами Точный расчет, подтвержденный экспериментом, дает оптимальное (с учетом остаточных колебаний) значение полосы пропускания для одиночного контура Ь1в= — ', а для 1,1 Т ' П-образного фильтра — Ц= —. В обоих случаях эквива- 2 Т лентное значение отношения мощности сигнала к мощности помехи г) 0,5 — = 0,5гг н верояпюсть ошибки равна 2'о оч (- оч вует среднему арифметическому ы,р —— 2 от частот сигналов «,(1) и «о(1).
Если на вход частотного детектора подать сигналы без помех, то один из них (для определенности «о) вызовет положительное, а другой («,)— отрицательное напряжение на выходе. Решение принимается иа основании знака напряжения на выходе частотного детектора в момент отсчета. Аддитивная помеха влияет на мгновенную частоту и может вызвать ошибку. Очевидно, вероятность ошибки равна р =- ~ ш(вм/г,) о1~ = ~ 1в(в,(«,) йо„, (4.75) — х о где ю(сом/«о) — плотность распределения вероятностей мгновенной частоты оом при передаче сигнала «;(1). Второе равенство в (4.75) имеет место, если характеристика фильтра симметрична относительно ооор.
Плотность вероятности ш(оом/«~), очевидно, зависит от отношения мощностей 42 сигнала и помехи на выходе фильтра, от характеристики фильтра и от девиации сиг- 1 нала Ьв= — (м, — ш,) 2 На основании выражения этой плотности, полученного в [10[, вероятность ошибки была вычислена в [11) дв для частного случая, когда фильтр П-образный, а д— =1,8 (где Лт — по-прежнему эффективная полоса пропускания фильтра), Вычисления проведены с помощью численного интегрирования.
В более общем виде эта задача решена в работе [!2[, авторам которой удалось выразить функцию распределения мгновенной частоты с помощью (,1-функций в довольно компактном виде, Для симметричного фильтра вероятность ошибки выражается сравнительно про. стой формулой: = ~~."'!'-й! ~'т!'+й!)- 2 ехр — — 1+ —, 1, — ! — — ", . (4.76) Здесь м„— средний квадрат частоты спектра шума [6[ на выходе фильтра, определяемый как (м — о> р)о т (м) о1м о о ~ д (о>) ды о где Е(оо) — энергетический спектр шума, совпадающий в данном случае с квадратом модуля передаточной функции фильтра.
Поскольку рассматривается симметричный (относительно огор) фильтр, величину можно назвать средней квадратичной полосой пропускания фильтра. Следует иметь в виду, что результаты работ [11, 12) получены в предположении, что сигнал при прохождении через фильтр не искажается. Следовательно, формулой (4.76) можно пользоваться без особых оговорок, когда полоса пропускания фильтра достаточна велика 1 па сравнению с Ле и с —. Если величина Лоо близка т' к половине полосы пропускания (а тем более, если она больше половины эффективной полосы пропускания), то частоты сигналов «~(() и «о(!) попадут на скаты частотной характеристики фильтра и будут ослаблены даже в установившемся режиме. Это вызовет необходимость внести поправку в величину д и, вообще говоря, приведет к увеличению вероятности ошибок.
Если же полоса 1 пропускания фильтра не велика по сравнению с —, то Т амплитуда и мгновенная частоты сигнала не будут успевать устанавливаться, что вызовет уменьшение как д, так и Лоо. Задача в этом случае усложняется тем, чта д и Ьш будут зависеть от того, какие элементы сигналз предшествовали рассматриваемому.
Ва всех реальных схемах применяют такие фильтры, в которых к моменту отсчета успевает установиться стационарный режим, а сигнал практически не ослабляется. 1зо Формула (4.76) приобретает исключительно простой — а'/2 вид, если' цю=юя, Учитывая, что /„/(О, //)=-е, а 1,(0) =:1, в этом случае р= — ехр( — /7 ). 1 2 (4.76а) Авторы работы (12] указывают что Лю=- я по-видимому, является оптимальным значением девиации прн приеме ЧТ по мгновенной частоте. Для случая П-образного фильтра, когда .Ь / !/2 ы' //ы па( я.а) я д/ 17 з 1,732' / о это подтверждается, па крайней мере для больших /7, работой (13].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
