Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Найдем теперь вероятность ошибки прн посылке, т. е. вероятность того, что нераненство (4.50) не выполнится, когда р/ Аа + Ва = р (оь+Ра ссз 4)ч -1- (рь+Ра з1п Р)з. Величина р-. ~/ л'-,*+вз подчиннется обобщенному распределению Редея (6] р А р'+ Рза' т, /Рао ' шэ (р) = — зехр — ., Т, —., ) (рржб). "о 1 2зо ) ~ оо г1 Вероятность того, что при посылке проиаойдет ошибка, т. е. что Р~ р примет значение, меньшее †, равна 2 ' "-~+" (-"'":"'("")"- Оз+ 4йз т 2 =1 — Я(26, й), (4.52) где Я (х, у) †специальн табулнрованная функция, т1з+к' Т Я (х У) = ~э) ехр ( 2 ~) 1, (трх) Аэ]. (4.53) Интегрируя по частям, можно представить Я-функнлю в виде ряха к~+ Ч' чэ Я(х, у) =е ~ ( — ) 1„(х, у).
(4.53а) Вероятность ошибки прп посылке несколько меньше, чей вероятносгь ошибки пйв паузе. Полная ьероягность опшокн 1 Р=- 2 (Р-+Р+). (4.54) Таким обррзом, система ЛТ при оптнмальном некогерентном приеме является несимметричной. 51ожно оыло бы выбрать порог срабатывания так,' чтобы нероягностя сшибок прн наузе к прн посылке были однивковымн, во тогда будет нарушено оптимальное правило (4.50) и полная вероятность ошибок возрастет. Ра Отбросим теперь условно — )) !. чз Обозначим через Т функцию, обратную 1п)м т.
е. Р=Т(х), если х=!п!з(Р). График функции р=лр(х) изображен на рис. 4.10. Тогда неравенстяо (4.50) можно записать так: Это неравенство отличается от (4.50а) тем, что выражение в правой части зависит не только от Ра, но и от по. Следовательно, при слабом сигнале оптимальный порог срабатывания определяется не только ампчитудой првходшцего сигнала. но и уровнем помехи. Обозначим оптимальный порог срабатывания Т Т(2йз) Рз Т (2йз) через р, = аз ~- ', тогда величину — 25 назовем оптимальо, 25 иым относительным порогом срабатывания. На рис.
4.11 взображева зависимость оптимального относительного порога срабатывания от Ь. Рчз При большик значениях Ь он стремится к й = э что согласуется йао с (4.50а). Вероятность ошибки определим, подставив в (4.51) и (4.52) предел интсгриронания ро вместо —: е~ . 2 (4.561 (4.56) аналогично 25! ро 1 ! (т (2о'П' ! Р- =- ехр —, =- ехр! —, т, 2аа ) о) р+=1 — О (2Ь, — ")=! — Я~26, — „, ~ ° Полная вероятность ошибки, вычисленная подстановкой (4.55) в (4.54), приведена на рис.
4.12. Заметим, а ! г а в г в Рнс. 4Л!. Зависимость оптимального относительного порога срабатывания от гь что в области не очень малых вероятностей ошибок (Р> >10-б) эта кривая удовлетворительно аппроксимируется формулой (4.49), т. е. система АТ мало отличается по Рис. 4.!2. Зависимость вероятности ошибки от от в св- схеме Ат.
помехоустойчивости от двоичных ортогоиальных систем с активной паузой. Следует, однако, иметь в виду, что здесь сравнение производится при одинаковых средних мощностях (одинаковых Ь) При этом пиковая мощность (мощность посылки) в системе АТ вдвое болыпе, чем в системе ЧТ. Неортогоиальиые системы с активной паузой Вычисление вероятности ошибки в случае, когда условия (4.18) не выполнены, можно провести таким же образом, как и в предыдущих примерах. Однако здесь возникают существенные затруднения при вычислении совместной йлотиостн величин 1', вследствие того, что о о Х„У„, Хы У, не являются независимыми. Рассмотрим вначале двоичную систему с активной паузой и предположим, что передавался сигнал з!(!), а начальная фаза приняла значение ф Для вычисления вероятности ошибки при оптимальном некогерентном приеме нужно найти плотность распределения вероятностей величин Хь Уь Хт, Ум и проинтегрировать ее по области.
в которой Х', + У! < Х,'+ Ув'. Очевидно, что и в этом случае распределение величин Х, У новмальное. Вычислим их моменты: = — ~ з'(!) н,(!)гй=- б т =Ф Ц з2 (!) Фс(!+Р,(!) з,(!) (пФЖ+ о о т + ~ тх (!) з, (!) Й = 2Р, соз у; о И-гН7 257 лена зависимость необходимого знагнння йз от р пря заданной вероятности ошибки. Когда р стремится к единице, сигналы становятся неразличимыми (при некогерентном приеме) и никаким увеличением мощности скомпенсировать падение верности нельзя. Заметим, что величина р имеет простой физический смысл. Читатель может легко убедиться в том, что она равна отношению огибающей на фильтре, согласованном с яз(7), к огибающей на фильтре, согласованном с я, (г), в момент отсчета, если на них подан сигнал г1(7) без помехи. Для систем с основанием кода и>2 н неортогональными сигналами получить достаточно просто общие выражения для вероятности ошибки при оптимальном некогерентном приеме не удается.
Однако для отдельных частных случаев с помощью более нли менее искусственных приемов удается получить точные решения или хотя бы оценки. Здесь, как и при когерентном приеме, иногда можно свести задачу к более простой, используя изоморфизм систем. Однако при некогерентном приеме для изоморфизма систем недостаточно равенства котельниковскнх расстояний, Необходимо еще, чтобы зто равенство сохранялось при изменениях начальных фаз сигналов.
Достаточным условием для того, чтобы две системы были изоморфными, является возможность так перенумеровать сигналы, чтобы выполнялись равенства с т т 2 )' ',.и«) '„и«) ((1+ ~ ~н«)-,"'(7) (( = т ) з~ ~ «) згп«) И( + ) з~~(7)зьл(1) й~, (4.62) о о где верхние индексы указывают систему. Действительно, при выполнении условия (4.62) все величины Хь У в обеих системах имеют при приеме определенного сигнала одинаковое совместное распределение вероятностей, а оно однозначно определяет вероятность ошибки. 256 К о о о \ о о во а о о 1о х оБ оох Ыо оя о ооо я о о йа д $ о о о о а о о о ° Ъ ~ о о в о в о о о и $ о о-в о „; л й о о оо~ ря о ой а у о е Щ о о „'о В качестве примера найдем оценки вероятности ошибок для системы с активной паузой при т=4, сигналы которой удовлетворяют условию т т Я [' (Г)г (1)Й) + ~ г,(1)г»(Г) Й) т1 о о Р' при г=й, =~ О при [1 — й[= — 2, ! Ро при [1 — й[=1 или 3. (4.63) Другими словами, для каждого из четырех сигналов сушествует один ортогональный, а относительно остальных двух ортогональность не имеет места.
Этому условию удовлетворяет такая система: г, ф == а [сов(й,оо,(+ ф)+ сов (й,в,1+ф)[, г,(1) = — и [соз(й,,1+ф)+сев(й,,(+ф)[, г, (1) =- и [соз (й »„1+ ф) + соз (й м (+ ф)[, г, (1) =а [саз(й ~»,1+ф)+сов(й1м,(+ф)), (4.63а) т т ут[ т ~ Л,Й+ ~ Л, Й + ~ ~ Л,Й+ ~ г'~,а1) ..» о о о о т )<[~»«з-1~~~ з- (л.«+[Ам) (4.64) где ю,=2«[Т, й„й„й„й, — любые неодинаковые целые числа; зр — случайная начальная фаза, р»а»=Р,. Несмотря иа кажущуюся искусственность этого примера, он является полезным, поскольку на нем легко продемонстрировать основные методы получения оценок для вероятности ошибок, когда точное значение вычислить не удается. Кроме того, этот пример будет в дальнейшем использован для анализа одной системы„широко применяемой на практике. Оптимальная решающая схема регистрирует символ уь если одновременно )т1>Рм )т1))т» и )т1>)тм т.
е. где для сокращения обозначено (о =- а соз А .,1 + ф). Это правило выведено из критерия максимального правдоподобия, совпадающего при равных априорных вероятностях с критерием идеального наблюдателя, и, следовательно, обеспечивает в этих условиях минимальную вероятность ошибки. Если заменить правило (4.64) любым другим, то вероятность ошибки не уменьшится, а может только возрасти. Поэтому вычислив вероятность ошибки при некотором правиле решения, отличном от (4.64), мы получим оценку сверху для вероятности ошибки в оптимальной решак1щей схеме. Изменим правило решения так, чтобы упростить вычисление вероятности ошибки, а именно будем полагать, что решающая схема регулирует символ у, (соответствующий сигналу г,), если выполнена следующая пара неравенств: < '[ Л,Й~ +~ )ог'«,Й~ о.» ') г'отй +~ ['ог'«,Й; (4.65а) о: < тт ~ г'Е,Й +~~ г'6,д1) >~ ~ гЕ,Й + ~~ г'о Й .
(4.656) о Если оба эти неравенства не выполняются, то регистрируется символ уз. При выполнении неравенства (4.65а) и невыполнении (4.65б) регистрируется символ ут, а в обратном случае — символ д4. Таким образом, постулированное правило сводится к следующему: гипотеза о том, что передавался «сигнал» Ц1(1), сравнивается по правдоподобию с гипотезой о передаче з»(() и независимо от этого сравниваются между собой гипотезы о передаче $»(г) или о,(1). Выбор этих частных гипотез осуществляется по оптимальному правилу некогерентного приема. Заметим„что «сигналы» яь «», «з и 54 попарно ортогональны в усиленном смысле.
Поэтому вероятность ошибки при выборе первой пары «гипотез» (~л и «») ие зависит от того, как происходит выбор второй пары («т и $4), и обе вероятности определяются формулой (4.49). Нужно только учесть, что энергия сигнала $; вдвое 17» 259 меньше энергии полного сигнала зь н поэтому, сохраняя обозначение Ь' для отношения энергии сигнала з4 к спектральной мощности шума, нужно соответствующее отношение для ~, обозначить — Ь . 1 4 2 Таким образом, правильное решение о переданном сигнале з4(1) по неоптимальному правилу (4.65) будет иметь место, если произойдут два независимых события — правильное решение по правилу (4.65а) и правильное по правилу (4.65б). Вероятность каждого из этих событий равна 4 ! — — е 2 а вероятность правильного решения по неоптимальному правилу (4.65) равна м м ьв ( 4 14 4 1 2 1 — — е ~=1 — е + — е 2 4 Отсюда получается оценка для вероятности ошибок по оптимальному правилу: 4 1 г р(е — — е 4 (4.66) Практическая значимость такой оценки невелика до тех пор, пока не будет получена какая-либо оценка этой же вероятности ошибок снизу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
