Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 43
Текст из файла (страница 43)
На рис. 4.5 показана огибаюшая Е(() на выходе такого контура (на катушке связи в схеме рис. 4.4) при подаче на него сипусоидального напра>кения с резонансной частотой ю=гор, и с частотой. отличаюШейся от о>геа на -Лсо. * Вместо обычяых электрических колебательных контуров в таких схемах часто используются электромехаиические (пьезоэлектрические яли магнвтострнкцнонные) резонаторы, иногда с положительной обратной связью. Вместо закорачивания колебания гасятся путем подачи отрнпательной обратной связи.
236 В первом случае огибающая нарастает линейно, во вто. ром случае она изменяется перводически и обращается в 2и нуль в моменты времени, кратные — '. Если под г> позы * нимать разность частот сигналов з,(г) и з,(г) и если с>ю 2и кратна — ',, то в момент отсчета каждый сигнал создает гу гэг йуг б>г а в Рис. 4.5. Огибающая напряжения иа .выходе идеального контура.
напряжение только на выходе своего детектора, тогда как на другом детекторе напряжения создаются только помехой. Как легко убедиться, это условие совпадаег с условием ортогональности в усиленноъг смысле, которому, в частности, удовлетворяет система ЧТ (3.56). Реальньш контур имеет потери, и его импульсная реакция равна д(Г)= — е "'созювеаг', где а= "; Я вЂ” добротность контура. При Я )) п„Т ь>пав эта импульсная реакция мало отличается от идеальной. Все же ход огибающих будет при этом отличаться от показанного на рис.
4.5, и в частности огибающая при Ьы . О не обрашается в нуль. Так, например, при а=. Ьы = 0,1 — ход огибающих показан на рис. 4.6. Если здесь 2и считать цю = ='., то этому значению а соответствует Я = 5ыреаТ. 237 йя ьаг Гл е мг а прн т=Г Х ' —,"'. ~ ',(()(+ о ~ (4.40) Добиваясь высокой добротности контура, можно приблизиться к идеальному случаю, представленному на рис. 4.5. Заметим, что применение гашения колебаний позволяет осуществлять прием по схеме рис. 44 при сколь угодно высокой добротности контуров.
Без гаше- Рис. 4.6. Огибающая напряжения на выходе реального контУР». ния колебаний это было бы невозможно, так как в контуре с высокой добротностью сохранялись бы собственные колебания, вызванные предыдущими элементами принимаемого сигнала. 4.4. Вероятности ошибок при оптимапьном некоге рентном приеме Ортогональные системы с активной паузой Определим вероятность появления ошибок при оптимальном некогсрентном приеме для случая системы с активной паузой, ортогональной в усиленном смысле. Пусть передается сигнал г~(() и фаза всех его составляющих в процессе передачи сдвинулась на угол Чт. Тогда принятым сигналом будет (О = р , (Г) + и (() = Р соз )зг (Г) + + гь гйп фзг (Г) + и (Г), Подставив вто выражение в (4.29), найдем т х,= ь )ь е*ио-ьмьйен- оа*,юл.
/ ) (4.38) и.=ф(ь ~~ ы~-н' е*оН-иаавО!" ~ о Воспользовавшись свойством ортогональности в усиленном смысле (4.18) упростим зти выражения. При аф( "= т ) "(~) ~'(~) й (4.39) о и т ~ "()"-() о л(() т.,(т) Я=2Р,сгн )+Х,, т у 2и' з1пФ 1 ая (Г) а+ т +2"' ~ и (1) я, (Г) й = 2Р, от )+ у;, о где Р,— мощность сигнала а~(() (равная мощности сопряженного сигнала я(г), поскольку онн имеют одинаковые о коэффициенты в разложении Фурье), а через Х, и ~, обот значены интегралы — ~ и(Г) гг(() с(Г и —" ~ и Я гг(Г) сВ. Заг 2р Г о о метим, что для системы с активной паузой мощности всех сигналов одинаковы, н в дальнейшем будем их обозначать Р.
$3 Величины Х„и У„при г~(, а также Хо и У являются случайными с нормальным распределением вероятностей и с нулевым математическим ожиданием, в чем легко убедиться так же, как это было сделано при обсуждении формулы (3.37). Дисперсию оо величины Х„можно вычислить следующим образом: ! ! Х-'* ~' а (1) «(1) !! т К О) 4р.' ! =.!'„' ~~~ ~(а„дсозйо,г+Ь„дз!пйо),1)Х о д=! а Х (о)! соз оо) т+ р! з)п Ьо !) о(1 к д к 1Е '""! ""д)1 -г'~ )!„..~-ь,'!)= д=! д=! л = Г.Роо '~~ (а' + Ь~ ) д=! где о †дисперс коэффициентов ряда Фурье помехи, 2 оо равная согласно (3.! б) — Таким образом, г' я 2 т ""Р' (4.41) Легко видеть, что такова же будет дисперсия всех У„ (при гэ61), а также Х, и У,. Аналогичным образом можно убедиться в том, что все величины Х,У„Хо, Уо попарно некоррелированы, а следовательно (поскольку они гауссов- ские), и независимы. Так, например т т о 4)до ХтХ 7! ) а ( ) «т(1) й 1) а(1) «!(1) о'1 о о К = 1д' ~~~~~ (а„до)д+ Ь„дрд) ~~ (аа)ад+ Ь!дед), д=! о=! о,словию ортогональности сигналов.
по с Полученные результаты позвол ю яют записать совместную плотность распределен! р )я ве оятностей 2!и случайных величин Х„У„: ! п)(Х„.„, Хо~, У~ .-, ~.)=!2.У о'~ ( (Х, 2р, соз ))'+(У! — 2Р,япу)'+ Хехр +~ (Х'„+ У',)~~. (4АЗ) д=! г~! Пе еидем от величин Х У„к У„го по ф р у (4.25) и затем обозначим О,=от — Ч)! 1 и)()'„..., У, Е„..., $„) — (2,, Х Ш О2 1 2 Ро Х Ц У„ехр! — 2 ° ~~~ ~~".+4Р. — 4$'!Ро (сов% соз $!+ з!п%' з(п $!) ~ 1 1 п)($'„", 1', 6„" * Ь )=, Х рр ХЦУ,ехр,— 2,! ~ — — "ч ! )т'+ 4Р' — 4Ч!Р, соз Ь)~) (4.44) г=! т=! 241 !о †24 Вы сляя математическое ожидани,, У е ХХ, коэффициенты в разложении белого шума некоррелированвы, вследствие чего к Х„Х = — р,' ~~) ~ (а,,да)доо + Ь„дй!дЯ = д=! т = 1доо гд+ Ь,дЬгд)=~ о~~ «„(1) «!(1) )(! =-О, (4.42) д.=! Ь случае т=2 из (4.48) следует, что г р= — е 2 (4.49) Эта зависимость представлена на рис.
4.7 (кривая а). На том же рисунке (кривая б) показана зависимость вероятности ошибки от Ьт при оптимальном когерентном приеме, построенная по формуле (3.54) для двоичной можно объяснйть тот факт, что на практике некогерентный прием применяется несравненно чаще, чем когерептный, даже в тех случаях, когда фаза принимаемого сигнала не флюктуирует или флюктунрует очень медленно, поскольку при высоких требованиях к верности энергетический выигрыш, даваемый когерентным приемом, не окупает затраты на систему точной подстройки фазы в приемном устройстве. г(, дб й)-9 Р 0) 20 У0 Ьв.Р т1 Рнс.
4.7. Вероятность ошибкн при неко1ерентном (а) и когерентном (б) приеме (ортогонааь- ные системы с активной паузой). ортогональной системы. Из этого рисунка следует, что отсутствие априорных сведений об ожидаемой фазе сигнала сравнительно мало увеличивает вероятность ошибок и может быть скомпенсировано небольшим увеличением мощности сигнала. Пусть некоторая вероятность ошибки р, характеризующая требуемую верность приема, может быть достигнута при гл=йг в случае когерентного приема и прн Л=йз в случае некогерентного приема. Тогда отношение з 2 т) = йа Я, представляет собой энергетический проигрыш, обусловленный отсутствием (или неиспользованием) априорных сведений о начальной фазе сигнала.
На рис. 4.8 представлена зависимость этого проигрыша (в децибелах) от допустилсой вероятности ошибок. При достаточно высоких требованиях к верности приема электрический проигрыш не превышает 1 дб. Этим 244 0 (О (О гб Рис, 4.8. Зависимость энергетического проигрыша от допустилгой пероитности ошибок при переходе от когерепт- иого приема к некогерентному.
Из анализа формулы (4.48) могкно убедиться, что при фиксированном значении л вероятность ошибок возрастает с увеличением основания кода лт. Однако не следует, исходя из этого, делать поспешное заключение о том, что помехоустойчивость связи с увеличением основания кода уменьшается. Как было показано в гл. 2, для оценки верности передачи информации следует учитывать эквивалентную вероятность ошибок. В случае кодирования без избыточности эквивалентная вероятность ошибок равняется р,=р/!одвт(2.68). Кроме того, при заданной скорости передачи длительность элемента сигнала, а следовательно, и его энергия пропорциональны !опт.
Поэтому сравнение различных систем следует производить при одинаковых значениях параметра Ь9)щгп, который является инвариантным, если скорость передачи информации и мощность сигнала заданы. 245 оу (4.50) го-' З д Ь1~1ау в пастью Р ~/4г (Вгл»1 аг Я47 гга рис. 4.9 показано, как зависит эквивалентная вероятность ошибок от параметра йг/!одгпт при различных основаниях кода т для ортогональных (в усиленном смысле) систем с активной паузой.
Из этого рисунка можно заключить, что для повышения верности связи яз. газам Рнс. 4.9. Сравненне помехоустойчивости ортоганальных сястем прн разлнчных аснованяях кода. целесообразно применять код с вьгсоким основанием. Следует, однако, учитывать, что увеличение основания кода почти всегда связано с усложнением аппаратуры. Кроме того, увеличение основания кода часто приводит к необходимости увеличивать полосу частот Г, занимаемую сигналом, что во многих случаях нежелательно. Система с пассивной паузой Прн неодннаковых мощностях сагналов, если даже условна ортагонапьностп сохраняются, не удается получить общего выраженая для вероятности оншбкн я ее приходится вычислять для каждой конкретной снстемы.
В качестве примера рассмотрнм простую двоячную систему с амплктудной манипуляцией (АТ) с снгпаламн* а Аналогичная задача оптимального некогерептнога обнаруження сннусондального сягнала в белом шуме подробно азучена в теоркн радналокацвн. Однако ввиду существенной разницы стоимости ошибок (логкной тревоги нлн пропуска сигнала) там обычно пользуются крктернем Неймана †Пирсо, Здесь же, в соответствии с особенностямн системы передачн дискретных саабщеннй, применен критерий макскмального правдоподобна, совпадающнй пря одянаковых апрпорных вероятностях свгнала с критерием адеального наблюдення.
245 а, (1) = а соз (йы,г + Ф), а (Е) 0 (0~1«" Т). где 4 — случайная начачьная фаза. 1»» Здесь мощность спгаалав Р, = 2 а», Р« = О. Полагая апряорные вероятности сигналов одянакоиямв, получим среднюю мощность сигнала рй Р = — а'. а Величины )гг определим по фюрмуле (4.25); Рг = Р У(льаь)а + (Вьбь)» = Гьа ф/ АЛ + Ва .
)г =-о. Согласно правнлу (4.28а) решение о том, что передавался свивал ра должно приниматься, если Ошибка будет иметь место тогда, когда пря передаче «посылкн» (снмвола йч) неравенство (4.50) не будет выполняться н когда пра передаче «паузы» (сямвал уг) оно будет выполняться. ра Предпаложнм ввачале, что — )) 1. Прк этом с большой вероят- аа Пря хл 1 1п|,(х) х н неравеяство (4.50) мохгно приближенно заменить более простым ~/ 1г ! Нг (4.50а) которое означает, что прн сильном сигнале ндеальный пряемняк должен регистрировать снмвол д, в там случае, когла амплнтула составляющей прннятого сигнала с частотой йыа превосходят порог срабатывания, равный половине амзлятулы ожндаемого сигнала. Найдем вероятность ошибки прл передаче паузы, т.
е. вероятность выполнення неравенства (4.50) прн паузе. В этом случае ~а ~ "Га-у 1+я представляет случайную велнчяну с распределением Релея ха (р) = — г ехр — — з (прн р 0). ао ' 1 2аго) < а з з з; — — 1 = е ~ (4.51) В.„з ) оз о или г ~ля+в,').,— д 1 ч б к Рис 410 График функции пья =Г(к). Вероятность Р ошибки прн паузе является вероятностью того, что р преныснг Ра/2 Г р / Р ~ — зехР— — а 0Р=ехР оо ~~ 2чо ) Ра х з Р т где рг' = †, = — з — отношение средней энергии элемента сиг4о~з 4тз нала к спектральной плотности помехи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
