Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При этом [см. (3.54)1 (г = — [1 — Ф (Ь)]. 1 Рассуждая таким жс образом, как и выше, получаем (3.99) Следовательно, переход от противоположных сигналов к ортогональным понижает пропускную способность вдвое. Примечания 1 (к $3.2). Многие работы по теории связи (в там числе и ряд работ К.
Шеннона) основаны на предсгзвленаз сигнала и шума как йроцесгов с аиплитудпым или энергетическим спектром, сосредоточсвным целиком в ограниченной полосе частот Ть Это дает возможность воспользоваться известной теоремой отсчетов Котельникова (си., например. 1101), позволяющей свести задачу с непрерывным временем к задаче с дискретным временем. Г1ротив такого предстаяления выдвигаются очень серьезные возражении. Ва-первых, сигналы с ограикчснньи| спектром принципиально не реалиауемы, так кзк они долхгиы обладать бесконечной длительностью. Во-вторых, всякий процесс с огравиченныи спектрам является сингулярным или детерминированным, По любому конечному огрезку такога процесса вюжно восстановить его значение в любой момент времени с помощью лвнейных операций 14], Отсюда следует, что вся информация, заключенная в сигг~але с ограниченным спектром, содержится в сколь угодно малом его отрезке. Условие несиигулярности процесса с энергетической спектраль.
цой плотностью 6(и) заключается в сходимости интеграла !и 6(ы) 1+из о Это условие нарушается, если нз некотором конечном отрезке частот 6(ы) =О, и в частности если 6(го) отличается от нуля лишь в конечной полосе. Заметим, что приведенное условие аналогично условию физической реализуемости линейных ценен Нейли-Викера !31, согласно котороиу, если 5((ы) является частотной характеристикой реализуемой цепи, интеграл 1п [5 ((ы)] 1 + ыэ сходится. Отсюда легко вывестн, по если иа вход такой цени подан недетерминированный процесс, то и процесс яа выходе ее также не будет детерминированным ". э Поэтому, в частности, можно утверждать, что если 6(ы)— энергетический спектр ведетерминированного шума, то фильтр с характеристикой 5((и), удовлетворяющей условию (3.71), физически реализуем.
На этом основании можно утвергкдать, что содержательные выводы в геории связи могут быть сделаны лишь при рассмотрении педетерминнрованных процессов, имеющих неограниченную протяженность спектра, к которым теорема Котельникова неприменима. Следует отметнтть чта в работе [1], посвященной теории потенциальной помехоустойчивости, В. Л. Котетьииков пе пользуется гпоей теоремой. Сказанное нисколько не пропгзоречит возвюжпости существования недетерггглгг~роваггного сигнала, прелставляемаоо на отрезке (О, Т) рядом Фурье с конечным числам коэффициентов, отличных от нуля, т.
е. ковечныч тригонометрическим полиномам. Такой отрезок сигнала, будучи ограниченным во времена, имеет бесконечную протяженность спектра. Так, например, отрезок сигнала а(Г) = =асозыо1 (0<1<Т), у которога только один коэффициент ряда Фурье азличеп от нуля, илзеет пе ограпичевную какой-либо полосой комплексную спектралыгую плотность з1п(м — ыо) Т. згп(го+во)Т Ю (1вв) = а [ мо ы+ ого ! 1 — соз (в — ооо) Т 1 — сов (со+ го,) Т ~ юо ы+ гоо Таигке бесконечной является протяженность энергетического спектра сигнала, составленного вз последовательности элементов, каждый из которых представлен конечвым тригонометрическим палипомом.
В то же время, элемент снпшла можно рассвзатрнвать как отрезок периодического процесса с периодом Т, причем этот периодический процесс, будучи детермипированвым, может иметь спектр, сосрелоточенпмй в конечной полосе. Из физических соображений испо, шо любые сигналы и помехи в реальных системах сввзи несингулярпы. Тем нс менее при решении различных задач часто прибегают к математической идеализации, заменив иесиагулярный пропссс близким к нему сингулярным, в часпгасти процессом с ограниченным спектром. Прн этом,несмотря на очень хорошую аппроксимацию спектра (в смысле абсолютной илн средней квадратичной погрешвости), можно получить парадоксальные результаты (13, !4].
Так, скаль угодно слабый сигнал может быть обнарухгеи с веронтностыа единица на фоне сингулярного шума. Более того, даже прп белом шуме можно со сколь угол- но малой вероятностью ошибки обнаружить наличие или отсутствие слабого сигнала ва фоне шума, наблюдая его в течение заданного времени Т, если пропустить принятый сигнал вместе с шумам через идеальный П-образный фильтр.
Прн этом процесс на выхоле фильтра будет иметь ограниченный по полосе спектр и может быть сколь угодно далеко экстрапалнровав. Пазтавгу наблюдение в течение времени Т вполне эквивалентно наблюдению в течение большего нреме.ни. Можно выбрать такой интервал экстраполяции, чтобы получить достаточно большую фиктивную энергию экстраполированного сигнала, которая при данной спектральной плотности шума обеспечит заданную нероятпость правильного обнаружении. В действительности фильтр с П-образной частотной характеристикой фнаически переализуем.
Можно, конечно, приблизиться к та- 203 кой идеальной характеристик ф Р . б '„ьше е альт' и, однако, как известно, чем бли е х рактеристиы реаль ф 'р ного фнльт а к идеальной, тем оль запаздывание сигнала в так ф 'р . Йг ом фнльз е. Для того что ы иа люд "е фильт а в везение времени , иео ход за сигназам нв аьгхаде ф Р жобм сигнал поступал па вход фильтра в течение з . Таким образом„ за, что наблюдается на выходе фильшего времени. аким й в и сигнала и поэтоется результатом длительного воздействии шом от езке сигнала.
зг содергкит ивфор:чацию о достаточно боль р згу соде обнаружения сигнала поэтому достигается здесь Высокая верность а г ару й, а не фиктивной, энергии за счет использовании большой реальног, а не и сигнала *, что снимает парадокс. Во избежание ошибочных выводов мы нигле не улем прел гать спектр ограниченным. г я,п ез- 2 (к й 3.2 и 3.3) Разложение случайного процесса в рял, пр .- лами (3.2) и другими, счедует понимать в смысле сходимости в сре с гелием квадратичном. Это значат, иаир . р, второй нз формул (3.2), что К 11гп (и (1) — (~~ (а„соз Аыо1+ 1в з1п ймо1)]в = О.
К-осо з=о и 0 пре,штавляют собой некоторые случайные числа. При этом цв и Ов пре;щт женин сл чайного В таком же свгйсле можно говорить и о разло . у процесса с огран ч н евным спектрам в ряд Котельникова (15]. а весом, то из Т к как в(1) является нормальным случайным процес о., ак как и ) яв. .ле ст и сходимость почти схолимости в среднем квадратичном следует и с ',1Tь т. е. люаая реализапня п(1) с вероятностью, равной наверное ', Tь т.
Ф е, п нчем каэффициенпз едвниц, це, может быть разложена в рнд Фурь, пр азложения совпадают с соответствующей ре г алиаацией совокуппог и нн а, ио. То же огласится к разложению а' ые вст ечаются и других нормаль рмальных случайных процессов, которые в р а этой книге. гпап имер, а формуле Интегрирование случайных процессов,"напри р, ф (3.34Ц поннмаетск также в смысле сходнмос и в р нмости в среднем квадра- тичном и, например, интеграл т ~ и (1) д (1) г11 о (где х ( г(1) — регулярная функция) представляет собой случайную ве- личину, такую, что пр 1, , что при произвольном разбиении интервала (, ) ... ((в<1~ конечным многкеством точек 1в<1в< ...
в Вш ~' и(1в)й(1в)(1вог — "в) 1 го ао]В ) * Этот пример можно сравнить с оптпмалыгой решающей схемой с использованием согласованных фильтров (ри .. ). пых пап яжений происходит практвчески мгновенно, однако сигнале, п иинмавшемся оп содержит необходимую ипфориацшо а нг, р в течение значительна более длительного времени Т. 14 — 2447 причем при переходе к пределу асе интервалы Гя+я — 1, стремятсн к нулю. Для шпегрируемого нормального процесса н(1) всякая реа. лизация почки наверное и>пе>рпруема и ее интеграл равен соответству>ошей реализации величины Е Заметим, что все резулыаты, относящиеся к помехоустойчивос>п, можно было бы получить более строго, пе прибегая к разложепшо случайных процессов в ряд. Это привело бы, однако, к более сложным выводам и потребовало бы привлечения менее привычного хля инженеров математического аппарата.
3 (к й 3 3), Найденные в этой главе оптимальные схемы приема (решающие схемы)„в частности сост>асовапные фильтры, в некоторых работах (например, [0]) выводятся, исходя из статистического критерия, как схемы, позволяющие получить наибольшее оснащение мгповеннога значения свгнала (в определенный момент отсчета) к среднему квадрати шону значению помехи. Такой подход вполне закономерен в тех случаях, когда помехой является нормальный (гауссов) шум, а к схеме приема предъявляется дополшыелыюе требование линейности.
Действительно, при прохождении через лн» бую линейную систему вормгльное распределение вероятностей шума сохраняется. Ото>ода легко вывести, что нз всех линейных схем цаименьшую вероятность ошибок обеспечит такая, в которой имеет место наибольшее отношение сигнала к среднему квадратичному значению помехи.
Однако исходя только из условий максимизации отношеаия сигнала к помехе нельзя доказать, что оптимум обеспечивает всегда линейная схема. В действительности, при некоторых видах помех (например, импульсных) наибольшая верность приема имеет место в нелинейной схеме. Поэтому, выводя правила решения из критерия идеального каблюдателя н строя схемы приема, соответствующие этим правилам, мы нигде пе ограиичнваемси рассмотрением только линейных схем, а ищем опп>мум по всем возможным операциям, которым подвергается принятый сигнал.
Тот факт, что пекмарые нз этих операций могут быть выполнены в линейной схеме и совпадают с операциями, максимизирующими отношение сигаала к пане. хе, является результатом особенностей гауссовского шума н прн других условиях может пе иметь л>еста. 4 (к 4 3.3 и 3.4). Для осуществления оптимальной когерентной решающей схемы необходимо, вообще говоря, точна анать н уметь воспроизвести все реализации сигнала а(1). В реальных условиях параметры канала никогда ае известны с абсолютной точностью и поэтому решающая схема выполняется с некоторыми погрешностями. Естественно, что вследствие этого вероятность ошибок оказывается больше тоя, которая была вычислена для полностью известного сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
