Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Раскрывая скобки, получим (7 = 4С ( г, (1) (1) г(1, 0 т. е. величина 0 пропорциональна Х, и, следовательно, имеет тот же знак. Помимо систем с противополо;кными сигналами практический интерес представляют и некоторые другие системы. Упомянем здесь два класса систем — системы с ортогональными сигналами в с пассивной паузой. В системах с оргогональными сигналами функции г,(1) и гг(1) удовлетворяют условию ортогональности на интервале (О, Т): г ~ г, (1) г, (1) с(1 —.= О.
и В этом случае из (3 44) следует, что Р,=Р, +Р,=2Р„,. Подставляя это значение в (3.4Ц, найдем вероятность ошибки в системе с ортогональными сигналами: Р= —, ~1 — Ф (ф/ —;)1= — (1 — Ф(й)). (3.54) Сравнивая (3.54) с (3.45), можно заметить, что для получения одинаковых верностей приема сигналы в ор- тогональной системе лолжны иметь мощность в 2 раза больше, чем в системе с противоположными сигналами. Для уменьшения требуемой пиковой мощности сигнала, а также для упрощения решающей схемы выгодно иметь Р~=Рь Примерами простых ортогональиых систем являются: система с фиговой манипуляцией на 90' с сигналами г, (1) = а соз (в(+ р), (3.55) г,(7)=аз(п(в(+р) = — — асах ~в(+р+- — ), система с частотной манипуляцией (ЧТ) с сигналами г, (1) =-.
асов(й,в,1+в), (3. 56) г,(1) =асов(й,в,1+ р). 174 Другими примерами ортогональных систем с активной паузой могут служить, например, системы с сигналами: г,(1) =-асоз(й,в,(+р1)+асов(й, „1+ р),1 ' ') (3.57) г,(1) =-аз|п(йв1+р)+асов(йв /+ р). ) при 0(1(Т/2, при Т/2(1(Т, при 0 -=1 -=Т/2, при Т/2 ~ ( ( Т, а соз (в(+ р) 0 г,(1) =- 0 а соз (вг+ ~р) (3 53) при 0 =1(Т/2, при Т/2~1(Т, при 0~1(Т/2, при Т/2~1( Т.
( а соз(рцв,1+ р) 1 асов(Цв„7+у) (3.59) ( а соз (й.,в,г+ р) ( асоз(й,в,1+р) Можно было бы привести еще сколько угодна таких примеров. Как видно из (3.54), вероятности ошибок лля всех приведенных здесь систем одинаковы, если только одинаковы средние мощности приходящих сигналов и длительности элементов сигнала Т и если прием происходит при олинаковой интенсивности белого шума. Некоторые из перечисленных систем имеют преимущество перед другими с точки зрения требований к пиковой мощностнсигнала.
Такими являются системы (3.55), (3.56), (3.59), лля которых пик-фактор равен единице. Различные дополнительные соображения, часть нз которых будет обсуждена ниже, побуждают в различных конкретных случаях отдавать предпочтение той или иной из этих систем. Системы с пассивной паузой являются частным случаем ортогональпых систем. Один из сигналов, например г~(г), может быть любой функцией времени, а гг(1) =О. Очевидно, что при этом условие ортогоиальности (3.53) выполняется и вероятность ошибки определяется выражением (3.54). Нужно, однако, иметь в виду, что в этом случае 17б г, (г) =- а соз (ш(+ р), зв (1) = — О.
(3. 61б) (3.6О) (3.61) (3.62) т. е. мощность сигна.па г,(1) должна быть вдвое больше, чем мощность сигнала в эквивалентной ортогональной системе с активной паузой. Примером системы с ~ассиеной паузой является простая система с амнл11?удной ланипуллдией (АТ) с сиг- налами 1Р -5 и 1 г з и ь Рис. ЗЛО. Воров?поить сшибки при когереитнои присис двоичных сигнввов. Заметим, что вероятность ошибки при когерентном приеме для любой двоичной системы в соответствии с (Зг(1) может быть записана в форме 2 1 где коэффициент у зависит ат скалярного произведения сигналов и равен Коэффициент ( может принимать значения от нуля (при я,=з) до р'2 (при з,'= — з1).Прн 7=-0 вероят- 1?б ность ошибки, как и следовало ожидать, равна '/ь а пропускная способность канала в соответствии с (2.28) равна пулю. Лействительно, сигналы в этом случае неразличимы даже при отсутствии помех.
Для ортагональных систем 2=1. Вероятность правильного приема символа можно выразить так: 1 — Р=- —,',1+ Р(уй)). На рис. 3.10 показана зависимость р ат й, построенная по формчле (361). 3.5. Вероятности ошибок м потемциапьная помехоустойчивость при осноаамми мода т>2 В случае применения кода с основанием т>2 сохраняют силу оптимальные правила решения (3.28) или (3.27) (в зависимости от того, одинаковы. нли не одинаковы мощности всех вариантов сигнала). Ошибка прп приеме символа у; возникает в тех случаях, когда неравенство (3.28) илн (3.27) не выполняется хотя бы для одного значения индекса г.
Здесь также удобно применить геометрическую интерпретацию, рассматривая возможные приходящие сигналы как т точек в В-мерном пространстве с координагами 1са,~„дом. При этом ошибки будут происходить всякий раз, когда точка, изображающая принимаемый сигнал в'(1), окажется дальше ог точки, изображающей действ1ггельно пришедший сигнал ъ(1), чем от какойлнбо другой точки а„(1). Расстояние между парой сигнальных точек г,(1) и з~(1) в такой модели равно о „,= ~~,в,„„. „в ч-в,.— ъ?1 —— — ~",' ~ (вг (1) —, (1))' а.
и Рзаихпюе расположение сигнальных точек однозначно определяется совокупностью всех попарных расстояний Рн. Если передается символ уь то точка, изображаю!2 — 244? 17? щая принимаемый сигнал з'(г), окажется ближе к некоторой сигнальной точке з„((), чем к лг(г), в том случае, когда проекция вектора помехи на прямую, соединяющую точки з,(1) и зг(1), положительна и превышает ! — Р„г. Для белого шума вектор помехи обладает сферической симметрией, вследствие чего вероятность такого события зависит не от координат указанных точек. а только от расстояния .Рн между пнми.
Поскольку это справедливо для любой пары точек, то все вероятности переходов однозначно определяются взаимным расположением сигнальных точек, т. е. совокупностью расстояний Р, Две системы с одинаковым расположением сигнальных точек называются изоморфными. В ряде случаев удается упростить определение помехоустойчивости заданной системы с сигналами сложной структуры путем сведения к изоморфной системе с более простыми сигналамя. К сожалению, для случая т)2 нельзя получить столь универсальное и простое выражение вероятности ошибок, как (3.41) или (З,б1).
Поэтому мы ограничимся только краггсим рассмотрением некоторых классов систем, характеризуемых определенными расположениями сигнальных точек. Начнем с класса эквидцсгантных систем, которые отличаются тем, что расстояния между лкгбыми парами сигнальных точек Рн у них одинаковы, Момсно доказать, что в такой системе при базе (чнсле измерений) В максимальное число сигналов ш=В+1.
Так, в одномерном пространстве, т. е. на прямой, лгобая пара точек образует эквидистантную систему; но добавить к ним третью точку так, чтобы расстояния мегкду любой парой из них были одинаковыми, невозможно. В двумерном пространстве (на плоскости) можно построить эквиднстаптную систему из трех точек. Эти точки являются вершинами равностороннего треугольника.
В трехмерном пространстве возможны четыре эквидистантные точки, расположенные в вершинах правильного тетраэдра. Вообще, в В-мерном пространстве можно расположить В+! эквидистантных точек, находящихся в вершинах фигуры, которая в геометрии называется В-мерным сигкплвксохь 176 Конкретные формы сигналов в эквидистантных систе- мах могут быть различными. Тач, например, прн т=З эквидистантные системы могут сочсржать такие сигналы: а) з,(1)=--асеан, 2л х .(1)=-" (-(+ —,'~ 4г. х з, (() =асов ~Ы+ —. (фазовая манипуляция на 120 и 240о): б) З,(1)=-Г Заепэвя', з,.
(1) =, псовая+ — 'аз(пчг(, 17з з 2 ' 2 а,(1) =-0; з в) а, (1) — а сок м1„ 2 ~'з з,(1) —. — — аз(пм1; ~~'з г) з,(()= псовая,м,1, З, (1) =- — — СОЗ й,чг,т+ 2 П СОЬ Л2вг.(, з, (1) — савв й,чг,1 —, а соз й,чг,(, Г з д) з, (() =- у — а соз й,вг,1, Г з За(()= К' 2-аСОЧйм1 з/ ', Я~(1)= !~ =васозИчг,( (частотная манипуляция) н т. д.
Геометрические представления этих систем на плоскости и в трехмерном пространстве (для случая д) показаны на рис. 3.1!. Легко убедиться, что для всех приведенных примеров Р„г == р'Зп. Однако ыогцности сигналов в этих примерах различные. Примеры (а), (г) и (д) представляют собой системы с активной паузой, так как для них Р, = = Р, = Р, = Р,, В частности, для примеров (а) и (г) 12* 179 г, в, (1) = а ств тс,в2,т, и, (г) = а соз тсвсв,т, (3.63) я„, (1) = а соз йи,н,й г) 1ЗО 1В1 Р— вш ,=а/2, тогда как для примера (д) Р,=- — а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
