Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 29
Текст из файла (страница 29)
примечание 2 к гл. 3. )44 а»к и Ьпм которые отличны от нуля. Тогда — '. и — ". явйы Ьм ляются наименьшей н наибольшей частотами в выражении си~нала з»(/) рядом Фурье. Условимся называть величину /гэ» — й,» +1 Т полосой частот, занимаемои сигналом я»(/). Если под /г» и йх понимать соответственно наименьшее и наибольшее значения Ь по всему множеству сигналов, используемых в данной системе связи, то величина представляет собой полосу частот, занимаемую системой.
Очевидно, что Г»<Р. Те системы, для которых Р»= =Р при всех г', т. е все реализации сигнала занимают одну н ту же полосу частот, будем называть плотными. Следует отметить, что величина Р не является шириной спектра сигнала в обычном смысле. Как правило, сигнал имеет не дискретный, а непрерывный энергетический спектр, к тому же не ограниченный к. Представление о сигнале с ограниченным спектром, часто используемое в работах по общей теории связи, таит в себе внутреннее противоречие и иногда приводит к принципиальным ошибкам Щ. Введенное здесь условное представление о полосе частот Т, занимаемой сигналом нли системой, пе налагает никаких требований на обгцую длительность и на спектр сигнала.
В сущности мы представили сигнал, состоящий нз последовательностей элементов, в виде суммы отрезков гармонических колебаний вида ам=сов/г»ое/ н Ьгь=згп/го»с/, причем амплитуды их аеч и Ьн, остаются постоянными лишь на протяжении длительности Т, одного элемента, а при смене элемента, вообще говоря, изменяются скачком. Каждый такой отрезок гармонического колебания имеет непрерывный и неограниченный спектр. Тем пе менее, как будет видно из дальнейшего, условное понятие о полосе частот Р (3.4) является весьма плодотворным и имеет вполне реачьный физический смысл. Общее количество коэффициентов ряда Фурье сигнала, тлг го сл !ъ-)з 1%1т — а. —. — Ь.
= сопл!, Ь" Ьг" г=! г=! 146 10* которые могут отличаться от нуля при заданной полосе частот га, равно В=2(/г,— /с!+1) =2ВТ. (3.5) Величину В=2ссТ будем называть базой системы. Рассмотрим несколько элементарных вримсров. П ри и ер 1. Пусть прн основании кода ш=2 используются сигналы г, (Е) = а соз в/, гг (Е) ав 0 (амплитудная манипуляция).
и Если в=с!в, = йи Т, где п — целое число. то ряд Фурье Та для гс(Е) солар!кит единственный отличный от нуля член с коэффициентом ао=а. Если же в не кратна 2п/Т„то при разложении гс(Е) в ряд Фурье на интервале (О, Т,) все коэфФициенты оказываются отличныии от нуля, а имению з!п (йсо, — о!) Тз з!п (йв, + в) Тз1 ь (й ) Тз (й + Та ! — аз(йв,— )та ! —. (йво+в)тз 1 Ьс,=а (йво со)тз (йсоо + в) Тз — 1' ' + (3.7) Однако в этом слУчае значение Т<То махаю выбРать таким, чта при раалолсепнн гг(Е) в ряд Фурье на интервале (О, Т) только один коэффициент ряда будет отличен от нуля, /(лл этога достаточно положить Т=2пп/в.
наибольшее возможное значение Т получим, есан величина и определена из условия Тз(п г ! ° (3.8) /(ля сипшла гг(Е) в паннам примере все коэффициенты Фурье тождественно равны нулю. База системы, очевидно, равна двум. Системы связи, отличающиеся теи, что каждый элемент сигнала может быть представлен рядом Фурье, в катоном все козффициентьс, за исключением коэффициентов с одним индексом й, .равны нулю, условимся называть простыми снстеламн. Лругимн стоваил, в простых системах каждый элемент сягнала представляет собой отрезок гармояи !еского колебанил.
П р л и е р 2. 11усть используются сигналы гс(Е).=-асов (вЕ+фг) (г=!, ..., ш), (3.2) где а и со одинаковы для все! сигналов, а фс однозначно овределяется символом кода (фазоезя манипуляция прн основанли кода т). Если со=2пп/т„где л — целое числа, то кзждый элемаш сигнала может быть представлен рядом Фурье на интервале (О, То), в котором только коэффициенты ао н Ь отличны от нуля: а„с=асовфс; Ь„с= — аз!пс)гг.
(310) Прн ссгФ2пгс/Т, можно, как и в предыдущем случае, подобрать подходящий интервал разложения (О, Т), для которого справедливо (3.10). Такая система является так же простой и ее база также раьна 2. Это единственная плотная простая система. Пример 3. Пусть гс(Е) =-асов (всЕ+ср) (с=!, ..., вг), (33 В где частота в; определяется передаваемым кодовым символом (частотная манипуляция).
Если каждая частота озс кратна 2п/Т, где Т(Т„то такая системз такгке является простой, на пе плопсай. Каждый элемент сигнала иолсет быть представлен в интервале (О, Т) рядом Фурье, в кото. в,т ром только коэффициенты с шгдексои Егс= о отличны от нуля. База такой слстеиы равна 2(/го.„.о — /го +1)Лг2ггг. Еслн же это условие кратноспс нс выполняется, то спстсча с такач снгаалал не является простой.
В О!зашей часгн современных спстсл передачи дискретных сообщений указанное условие кратности соблюдается. При мер 4. Пусть Ьг гс (Е) = Ч (ас„соз йв,Е+ Ьсь з!п йво/) (с = 1, ..., лг), (3.!2) А=о, где все ос д и Ьс ы вооблце говоря, отличны от нуля при й,(/г(!гг. Ею!и к тому же средние значения ахс н Ьь', взятые по всем Е, одинаковы н не завнслт от й то такой сигнал в известной степени похож на отрезки реализации шума с равномерной спектральной плотностью. Система (3.!2) является плотной, но не простой. Ее база равна 2(йг — йг+!). Заметим, что значения коэффициентов ряда Фурьеасс„ Ьш могут быть определены экспериментально с носк!он(ыо нринципиально очень врастай схемы (рнс.
3.1). Сигнал Рис 3.1. Схема определения значений коэффицневтов ряда Фурье. йг('1) в начальный момент передачи элемента 1=0 подается на перемножающее устройство ", па которое поступает также вспомогательное напряжение с единичной амплитудой соз /ассой Полученное произведение гг(1) созйюо1 поступает на интегрирующее устройство""" и в момент 1=Т производится измерение результата интегрирования г Еа = 1 зг(1)созйю,1ггй о (333) Подставляя в (3.13) выраяссние агЯ в виде ряда Фурье (3.2) и учитывая известное свойство ортогсшальпости тригонометрических функций (б), легко получить г Еа = ~ ага сгьч'Ь..,Ы! =- аг„—, Т ! 2 ° о (3.14) * Такиаг перемножителеч может слунгить в известных пределах кольцевой смесигель, а также многие другие схемы смесителей.
Наиболее точно операцию перемножения доул напря>кенггйг можно осуществить смесителем, основанным на эффекте Холла. чч Интегратором здесь может служить, например, конденсатор без утечки, заряд которого в мочент подачи сигнала равен нулю. 148 и, зная Т, можно найти ам. Аналогично, подав яа перс- множитель вспомогателыюе напряжение збпйю,й можно найти коэффициент Ьгго Коэффициенты агь (га ЯвлгнотсЯ на пРотЯжении Рассматриваемого элемента сигнала случайными величинами. Если мгновенные значения помехи имеют нормальное распределение вероятностей, то, как известно, распределение вероятностей коэффициентов а„ и ра также нормальное с математическим ожиданием гха= рл =- О и дисперсией 2 а з па га Если к тому же помеха представляет собой белый шум (т.
е. имеет равномерную энергетическую спектральную плотность), то случайные величины ао, Вь повари> некоррелироваиы (4). Практичсски можно считать помеху белым шумом, если ее энергетический спектр равномсрен в полосе частот, существенно более широкой, чем игы лоса частот г", занимаемая сигналом. Для белого шума при всех значениях й величина з„=- сопз1=о, .
Согласно теореме Парссваля (5) для любой функции и(1), заданной на интервале (О, Т), справедливо равенство г сΠ— ~й(1)г(1 = — ~~'(а +Рва), (3.15) о а=о выражающее мощность, выделяемую напряжением и ( ) на единичном сопротивлении, через коэффициенты ряда з 9 Ф ~ е. Поэтому величину .
можно рассматр ва .а+1а и ть урь . 2 как часть этой мощностгг, приходящуюся на полосу частот 2вй шириной — вокруг частоты Ь, = — ", . Для помехи мат тематическое ожидание этой части мощности равно ав 1 — — а отношение оа к полосе частот — пред- 2 а ставляет спектральную плотность помехи на частоте Йы: ча(йюо) = оа Т. (3.16) По определению спектральная плотность белого шума не 2 Еч зависит от частоты и равна ч = о г . 3.3. Прааипе решения и решающая схема Пусть на вход приемника поступает сигнал вместе с помехой в'Я.
Рассмотрим случай, когда помехой является нормальный белый шум. На приемной стороне в точности известны передаваемые сигналы агЯ (1=1, ..., и), соответствующие каждому символу, а также априорные вероятности рг передачи каждого символа ".. Согласно критерию идеального наблюдателя первая решающая схема должна выбрать из т символов тот, который имеет наибольшую апостериорпую вероятность. * Вероятностные связи между символами в кодовой последователь ости здесь не учвтываются, поскольку реп идет о поэлемеигном приеме, при котором первая решающая схема определяет передав ен аагый символ по принятому элементу сигнала, без 1чега значении других символов.
149 Найдем сначала условную плотность вероятности приема сигнала з'('1) при условии, что передавался некоторый определенный сигнал л„(1). В соответствии с (3.3) коэффициенты ряда Фурье белого шума при условии, что передавался сигнал л„(1), равны п»=А» — йп», 8»=В» — „Ье» (3.!7) Рассмотрим коэффициенты аы, Ьы, ам [!», А» и В» с индексами ОСЬ~К, где К вЂ” сколь угодно болыцое, но конечное число. Для белого шума и» и [!» — взаимно независимые случайные величины с нормальным распределением вероятностей, с нулевым средним значением и с дисперсией а,. Совместная 2К-мерная плотность вероятностей этих коэффициентов равна И (а„..., аы р„..., р») = Условная плотность вероятности коэффициентов Аы В» при условии, что передавался сигнал я„Я, представляет собой не что иное, как плотность вероятностей (3.18) величин пм 8», выраженных в виде разностей (3.
17): ш(г'[з,) =--ш(А„..., Аы В„..., В»[з„(1)) =- К ! ( ехр — — „~ ~[(А» — ва,»)'+(В» — !»Ь„»)'[ (2я)к о к за» о О» О (3.19) Лпостериорная вероятность передачи символа д„[или сигнала г,Я согласно (1.18) равна Ии,[г'(0)=р(л,(ОГ 'И))= ~' „,))" (3.20) По критерию идеального наблюдателя должен быть выбран такой! символ р,., который имеет наибольшую апостернорную вероятность. Так как знаменатель в (3.20) !50 не зависит от «, то достаточно сравнить числители этого выражения для всех возможных сигналов л„Я. Следовзтельно, решающая схема, построенная согласно критерию идеального наблюдателя и анализирующая коэффициенты ряда Фурье принятого сигнала с частотами до Кыв дол'кна выбирать символ рь если при всех «~1 для данной! реализации я'Я р!ш( 'Я[ Я)-и (з' И)[ .(1)) (321) или 7» ехр —, Д[(А» — !»а!») +(В» — !»Ьа) ! (2») к айк [ х~о 4а4 »э.а Р~ ехр ) ~ 1[(А» — ра„»)'+ (В» — рЬж)'[ Р»)к ~к [ 2~о~,ь! ~о й=О (3.22) Произведя сокращения и логарифмирование, получаем эквивалентное неравенство, выражающее правило решения: ~~)~~ [(А» — ра!»)'+ (В»" — рЬ!»)'[ + 2э 1п — ( ~ ~) [(А» — ра„)'+ (В» — вЬ„»)'[+2а„'1и — (3.23) »»а при всех «ф1.
Для решающей схемы, анализирующей принятьш сигнал полностью, правило решении может быть получено из (3.23) путем перехода к пределу при К вЂ” ~со ю » Ч)~~ [(А» — !»а, )'+ (В» — рЬ!»)'] + 2тв 1п — ~ СО » 2 1 ~ ~~)~~ [(А» — ра«»)'+ (В» — ко»)'+ 2во 1п —. (3.23а) при всех «~й1. Это же правило может быть представлено в интегральной форме ] [к (!) иг, (!)] М + 1п == о г '= 'Г [и (т) — ра„(!)]'О(т+ оо 1п — * (3 24) >о ° В этом легко убедиться, подставляя в подынтегральные выражения значения з'!!) и з,!'!) в виде рядов (3.2). Учитывая ортогональность тригонометрических функций, У У СО [З'(!) — )сЯг И)]'С(! =~ ~~~~ 2 (А» — РП„»)'Соа'лют(+ о о»=-о Г ОО ОО + ~ ~)~~ (В РЬ ж)'з!и'й~,(д(- 2 ~~) ' [(А» — )ка ) + Ь' »=о »=о +(В» — )»Ь,») ] (3.25) откуда после простых преобразований следует эквивалентность неравенств (3.24) и (2.23а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
