Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 31
Текст из файла (страница 31)
158 Заметим, что согласованный фильтр позволяет получить в момент 1=(„наибольшее отношение мгновенного значения сигнала иа ега выходе к среднему квадратичному значению помехи. Нас, однако, будет интересовать не это свойство, а возможность осуществить с его помощью схему, реализующую оптимальное правило решения и, те т тн н) б) Рис. З.б Сигнал (н) и импульсная реакция (б) согласозааиого с иим фильтра. следовательно, обеспечивающую наибольшую возможную вероятность правильного отождествления сигнала.
Напряжение на выхэде согласованного фильтра в некоторый момент 1 согласно теореме Дюамеля равно игм (1) = ~ '(х) бс„(1 — х) с(х. (3.33) Так как п,(1 — х)=аг„(Т вЂ” 1+х), то, учитывая, что прн х)1 и при х~( — Т функция сс„(1 — х)=О, полу- чаем е и„як (1) =и $ г" (х) и, (Т вЂ” 1+ х) с(х = с-т =а ~ г'(х) г„(х+е) с(х, с — т где введено обозначение е =-Т вЂ” О В момент 1=Т т и, я(Т)=и ~г'(х)г,(х)с(х = — "Хт. (3.34) о Подав напряжение и,„т с выходов всех фильтров в момент 1=Т на схему сравнения, выбирающую тот сим- вол уо для которого получено наибольшее напряжение, 159 получим схему, осущсствляющ)1о прием ь соответствии с правилом (3.28)'". Заметим, что при 1= 2Т напряжение на выходе согласованного фильтра, вызваннэе сигналом «,Я, действовавшим па интервале (О, Т), равно нулю.
Отшода следует, что в момент отсчета прп приеме последующего элемента па выходе согласованного фильтра отсутствует напряжение, вызванное предыдущими элементами сигнала. Согласованный филыр с передаточной функцией (3.32) представляет собой линейную цепь с постоянными параметрамп. Иногда оказывается удобным отказаться от требования постоянства фильтра, что дает дополнительные возможности построения различных вариантов оптимальной решающей схемы. Идея их построения основана на том, что равенство (3.34) остается справедливым, если импульсная реакция фильтра удовлетворяет условию (3.3!) только на интервале Ос.1(Т, а при 1>Т она может быть произвольной. Если па такой фильтр в момент 1=0 подать принимаемый сигнал «'Я, тэ в момент (=Т можно снять с него отсчет, равный — Хо поскольку в пределах интегрирования (3.34) значения д, Я при 1> Т не участвуют.
Однако при таком фильтре будет умсе несправедливо сделанное выше замечание о том, что его реакция на предыдущие элементы сигнала полностью затухнет к моменту отсчета для последующего элемента. Таким образом, (3.34) оказывается верным лишь для первого принимаемого элемента. Этот недостатэк полностью устраняется, если после кюкдого отсчета приводить фильтр к нулевым начальным условиям, произведя гашение колебаний. Это можно осуществить, закоротив на мгновение все емкости фильтра и разомкнув его индуктивностн. Тем самым такой фильтр становится цепью с переменными параметрами, периодически сбрасывающей накопленную в ее элементах энергию.
Удобно выбирать функцию д„(1) такого фильтра так, чтобы на интервале 0<1<)е=-Т она удэвлетворяла усло- ' Эту схему можно обобщить на случай системы с неодинакоаыми аиергиими сигналов а,(1), добавив соответствующие вычитающие усгройстаа. 160 вню (3.31), а при 1)Т продолжалась периодически. Другимн словами, этот фильтр может бь>ть согласован в смысле условий (3.31) и (3.32) с периодически продолженным сигналом «„(1). В частном случае простой системы, когда гх11) представляет отрезок синусоиды, таким фильтром является идеальный колебательный контур без затухания с резонансной частотой щр, совпадающей с частотой сигнала «„('г), закорачиваемый на мгновение пэсле каждого отсчета.
Практически применяют контур, затухание, которого много меньше ырТ. Такие контуры с переменными параметрами (с периодическим сбросом) получили название кол>л1ут11)>уел1ых филет)>оа Все рассмотренные решающие схемы позволяютвмомент отсчета 1=Т получить на входе схемы сравнения напряжения, равные (с точностью до постоянного множителя) величинам Л„. Однако прн 1<Т напряжения на выходе сэгласовашюго или коммутируемого фильтра на рис. 3.5 существенно отличаются от напряжений на выходе интегратора па рис. 3.3.
Покажем это на примере, когда сигнал представляет собой квазигармоническое колебание с медленно меняющимися амплитудой и фазой относительно о> «1(1) =Л(1) соз(101+Ей(1)), причем щТ))1. Предположим, что передается действительно сигнал «1('г), помеха настолько мала, что ею можно пренебречь и с точностью до пэстоянного множителя «'(1) ь «111).
ТОГда В МОМЕНТ 1-йТ НаПря>КЕНИЕ На ИНТЕ- граторе в схеме рис. 3.3 (или на оптимальном фильтре рис. 3.4) равно м„~(1) =~А'(х)сова (ых+Ф(х)] 1(х = 2 ~А'(х) с(х+ + — ~ А' (х) соз 2[юх+ Ф (х)) 1(х. о Так как интеграл от быстро осциллирующей функции приблизительно равен нулю, то вторым слагаемым мож- 11 — 2447 161 но пренебречь '". Поэтому 1/„в,(1)= 2 1 А'(х)/(х, в (3.35) т. е.
напряжение па выходе интегратора представляет собой неубывающую функцию и постепенно нарастает ог нуля до своего значения при 1= Т. В частности, если А = =соггзг, это напряжение линейно возрастает (рис. 3.7,а). // нг г а) Рис. 3.7. Процесс установления ивпряжений из выхеде иитсгрзто- вз (а) и согласованного фггльтрв (б).
Напряжение на выходе согласованного фильтра в схеме рнс. 3.5 определяется формулой (3.33). Подставив в нее значение г'(1) =а/Я=А(1) соя [ш(+/1/(Г)) (при 0(1<Т) и положив с=Т вЂ” й получим с точностью до постоянного множителя +яп Ф(х) зги Ф(х+т)] созыв+ [згп Ф(х) соя Ф(х+ с)— — соз Ф(х) згп Ф(х+ т)) зги шс+ П(хЦ с(х, где через ьд(х) обозначены быстро осциллирующие чле- * Легко убедиться, что второй вите/рад имеет порядок 1/ш,тогдз кек первый интеграл — порядок /. Учигывзя, пп ыТ)Ь!, вторим иигегрзлом можно пренебречь для всех значений б существенно больших чем 1/сь 162 и, „(1) =- 1 А (х) соз [шх + Ф (л)[ А (х + с) сев [ш (х + т) + о + Ф (х+ т)[ /(х = — ~ А (х)А (х+") [[соз Ф(х) сох Ф (х+ т)+ 6 ны, интегралом от которых можно в первом приближении пренебречь. После простых преобразований получим / и„,х(1) — — ~ А (х) А (х+ Т вЂ” 1) соя(ы( — ЬФ) /(х, (3.36) е где Л/11 =/Э(х+ Т вЂ” 1) — Ф(х).
Вто напряжение представляет собой осциллирующую функцию с возрастающей амплитудой и медленно меняющейся фазой. В частности, если А=сонат и ей=сонэ( (рис. 3.7,б), АЧ иьыи (1) =. — соз ыб Из этого примера следует, что в схеме рис, 3.5 требования к синхронизации момента отсчета значительно более жесткие, чем в схеме рис. З.З, поскольку небольшое смещение точки отсчета напряжения с выхода согласованного фильтра на величину порядка 2п7ш приведет к большой ошибке и даже может изменить знак результата (рис.
3.7,б), тогда как момент отсчета напряжения на йптеграторе (рис. 3.7,а) может быть особого ущерба отклоняться на более значительную величину, лишь бы она была много меньше Т. Впрочем, всем рассмотренным схемам свойственны очень жесткие требования к синхронизации. Если в схеме с согласованными фильтрами эти требования относятся к синхронизации момента отсчета, то в остальных схемах требуется не меньшая точность синхронизации напряжения имитаторов сигнала.
Поэтому на практике такие схемы используются крайне редко. Значительно более широко применяются методы некогерентного приема, которые будут рассмотрены в следующей главе. ЗА. Вероятности ошибок и потенциальная помехоустойчивость при двоичном коде Вычислим сначала вероятность ошибок в двоичных системах (пг=2), полагая, что прием ведется в соответствии с оптимальным правилом (3.27), полученным из критерия максимального правдоподобия. При предположении, что передаваегаые символы равновероятны, этот критерий совпадает с критерием идеального наблюдателя и 11" 163 вероятность ошибки будет наименьшей возможной (при данных параметрах сигнала и помехи) и определит потенциальную помехоустойчивость. Лля двоичной системы правило (3.27) означает, что символ у, регистрируется в тех случаях, когда Хг — Рг>Хг — Рь (3.27а) (3.
37) !64 а символ уг — при противоположном знаке неравенства. Предпологким, что передается символ д, [сигнал з,(Г)]. Тогда вероятность ошибки представляет собой вероят- ность того, что неравенство (3.27а) не выполняется. В этом неравенстве случайными величинами являются Хг и Х,, Подставляя в (3.27а) выражения для Х; (3.26) и имея в виду, что при передаче сигнала з1(1) коэффи- циенты А„=по+цап, и В„=р,+рЬпь находим рР ~~)~( (а~ + Ьг ) + р эу1 (ага о+ ]оэЬД— о=о о=о — — ~~~ (а + Ь ) ~и' ~~)~ ~(о,оп.,о+ ЬжЬго) + э=о о=о +р Я (а,аэо+роЬэо) — "2 ~~) (а,„+Ь,„).
о=-о о=.о После простых преобразований получим неравенство, эквивалентное (3.27а), и — ~~ ](ого — а,о)'+ (Ьэк — Ьа)'1 > о=о ~ р. ~~)~~ ](аг, — а,о) до+ (Ьга — Ьгэ) рэ], о=о в котором левая часть является постоянной (для задан- ных сигналов), а правая представляет собой случайную величину. Левая часть этого неравенства, как легко убедиться, может быть представлена в интегральной форме Ъ ((пэо пго) "г (Ьгь Ьж) ] 2 о=о т = т ~ ]е,(() — з(1)]'й== Р, (3.38) о и ее можно назвать эквивалентной мощностью парысигналов згЯ и яг®. Лействительно, она представляет собой «мощность» разности этих сигналов. Правая часть неравенства (3.37) представляет собой линейную комбинацию независимых нормально распределенных случайных величин по, ])о и, следовательно, также имеет нормальное распределение вероятностей.
Обозначим правую часть буквой $. Так как все слагаемые в этой части имеют математическое ожидание, равное нулю, то и математическое ожидание 6 также равно нулю. Лйсперсия величины ~ равна сумме дисперсий слагаемых, т. е. 0($) =- р' ~ ((а — а,о)г гг, + (Ьа — ЬгМ,] = о=о = Фэоо ~ ((а„— а„)э+ (Ьго — Ь„)'] илн, учитывая (3.!6) и (3,38)„ 47(о) =2Р,—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
