Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(3.39) Зная математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной величины 6, можно записать выражение для ее плотности вероятности го($) = — ехр — — — . (3.40) 1 гэг ~/4эрээг7т ъэ 4Р э Вероятность ошибки представляет собой вероятность того, что неравенство (3.27а) или эквивалентное ему неравенство (3.27) не выполняется. Другими словами, вероятность ошибки р — это вероятность того, что случайная величина 6 превысит Р,: Р = го (6) М = ехр — — Д =г 1 / гэг Ф вэ э г 2Рээ ( 4Рэээ7т 2.
Т Рэ !65 Рэ ! 1, РэТ (3.4!) где через Ф(х) обозначена табулироваиная функция 1(рампа э х Ф(х) =- )l — ~ ехр ~ — — ~ г1г'. (3.42) о ла рг(г) с составляющими Раж пьк (й=йь " йа) и вектора помехи с составляющими пм ~)я(й=йь ..., йз). Это представление вытекает нз формулы (3.3).
Очевидно, что коэффициенты ряда Фурье помехи с частотами, лежащими вне полосы Р, можно не учитывать, так как ва всех полученных выше формулах для правила приема и для вероятности ошибки эти коэффициенты либо не содержатся, либо сокращаются. Легко убедиться, что и в том случае, когда фактически передается сигнал взЯ, вероятность ошибки также определяется формулой (3.41). Потому дискретным отображением такого канала является симметричный однородный двоичный канал, каковы бы ни были сигналы ягой И яа(г). Из (3.41) следует очень важный вывод. Минимальная вероятность ошибки однозначно определяется отношением эквивалентной энергии элемента сигнала Р,Т к спектральной плотности помехи те (которая также имеет размерность энергии) н не зависит ат других парамстров, в там числе от полосы частот, занимаемой сигналом.
Полученным результатам можно дать простую геометрическую интерпретацию. Будем рассматривать коэффициенты ряда Фурье приходящих сигналов 1гая и 1гЬа как прямоугольные координаты в В-мерном пространстве (В=2ЕТ вЂ” база системы). Тогда каждый из двух сигналов х,(1) и хз(1) мажет быть представлен точкой (или вектором) в этом В-мернам пространстве. Принимаемый сигнал з'(1) также может быть представлен точкой с координатами А„, Вк или вектором, представляющим геометрическую сумму вектора пришедшего сигна- ' Иногда через Ф(х) оботиачагот другие функции, связанные с интегралом от норматьной плотности вероятности, а именно: х х 2 (' = ) 1 — ) гй нли —,— ( екр( — тэ)ац О Сглэ уэ и) 6) Рис.
ЗЗ. Геометрическое представление критерия максимального правдоподобия для двоичной системы. Правило решения (3.23) или (3.24) при этом получает вполне определенный геометрический смысл. Оптимальная (в смысле критерия максимального правдоподобия) решающая схема должна выбирать тот из возможных сигналов, изображающая точка которога находится ближе остальных к точке принимаемого сигнала г'(г). В двоичном случае это правило сводится к тому, что В- мерное пространство разделяется на два полупространства гиперплоскостью, перпендикулярной прямой. соединяющей точки з,Я и гаЯ н проходящей через ее середину. Если точка г'(1) лежит в том же полуцространстне, что и хг1'г), то решающая схема выбирает символ иь и наоборот.
На рис. 3.8 показана плоскость, проведенная через точки хь зт н з'. Прямая МЖ представляет сечение этой плоскости гиперплоскостью, разделяющей пространство на две области приема. Легко видеть, что в таком геометрическом представз1енни величина Р, (3.38) является половиной квадрата расстояния между точками, изображающими сигналы Ы7 где введено обозначение Р,т (1' = —; кс (3.46) (3.47) яя спект льная плотность сигнала. получено при л ом юб, сколь угодно малом отношении ( — ') с)Г ск ы имеют достаточно большую базу или —, если сигналы им кк В = 2ГТ. 6 = 3 вероятность ошибки в Так, например, при 1 системе с пр отивоположными сигналами равна — [— — ~к2 = 2 (О '.
Если при этом РТ = ), то неабхоТ=!00 т ж бо ую базу, например если Р' =, то льш вероятность ошибки будет полу р л чена п и ( ) . О,оо. т что и именение широко- Не л дует, ~дыю, думать, р л в (сигналов с большой азой) по полосных сигналов,с лит уменьшить мощи р ость передатчика п ности приема.
Действительно, мощность по 170 йз редставляет отношение средней энергии Величина пред т а на входе приемнога устройств элемента сигнала на . Этим обозначением мы бутральной плотности помехи. тим о азн ч ьзоваться на протяжении всей книги. дем пользоваться |нем энергии элемента тиссти помехи а отношением те с ются не отношенн сипила к спектральной плотности помехи, ( —.," — ') мощностей сигнала и помех е и на входе приемника Г либо отношением спектральных платно- в полосе частот Г лн о 'Г, о имеют место стей сигнала и помехи.
Та . ТккакР =ч . т к следующие соотношения: ( ) ~~з ("'рг+ 'у+ф (1))* (348) где Е(1) и Ф(1) — относительна медленно меняющиеся функции времени, и за время одного периода «высокочастотного заполнениЯ 2пlыср величины Е и гР можно с достаточно большой точностью считать постоянными. При этом условии средняя мощность сигнала равна т с — зт ) () р а пиковая (максимальная) мощность Рмакс — с (3.50) где Š— максимальное значение огибаюцей Е(!). Из полученных выше результатов ясно, что величина пиковой мощности непосредственно не влияет на вероят- 171 частот Г пропорциональна этой полосе, и необходимая мощность передатчика для обеспечения заданной величины Ь равна Р, ЬЧк, ък .к — р.Чт = 1.т' Поэтому, если заданы длительность элемента сигнала Т, коэффициент передачи 1к и спектральная плотность белого шума т-', то необходимая мощность передатчика однозначно определяется требуемой величиной й и не зависит от полосы частот Р, занимаемой сигналом.
Уменьшить необходимую мощность передатчика (или уменьшить вероятность ошибки .при заданной мощности передатчика) можно лишь путем увеличения р (например, применяя направленные антенны), путем уменьшения (например, если помеха обусловливается внутренними шумами приемника, снижая коэффициент шума) либо, наконец, путем увеличения Т (замедляя передачу). Если сигналы а(1) являются относительно узкополосными в том смысле, что полоса частот Р значительно меньше средней частоты спектра сигнала (чта практически всегда имеет место в радиоканалах), то, как известно, любой сигнал может быть представлен в виде квазигармопического колебания 172 'а е « «яе...7Р;.
ность ошибок. Если, как это часто бывает, пиковая мощность передатчика ограничена, то для повышения помехоустойчивости следует выбирать форму сигналов такой, чтобы при заданной пиковои мощности Р„„„, обеспечивалась наибольшая возможная средняя мощность Р„т.е. использовать сигналы с наименьшими пикфактором огибающей ". Очевидно, что это условие будет выполнено, если Е(я) =-сопз1, так как при этом Р,=-Рж и пикфактор равен 1. Простой двоичной системой с противоположными сигналамп и с пикфактором, равным 1, является система с фазово)1 л)с)напиляцаш1 нн !80е (ФТ), при которой используются сигналы з,'(7) = а соз (Ы+ у), " 1 (3.81) г, (У) = — асов (ест'+ у) =- а соз'(м( +у+к).
! Для таких сигналов оптимальная когерентная решающая схема (рис. 3.3) получается весьма простой, так как в качестве имитаторов сигналов используется один генератор гармонических колебаний соз (ыг+ср), напряжение которого подводится к одному перемножителю, показанному на рис. 3.9,а. Эта схема регистрирует символ у), если в момент отсчета 1=-Т напряжение на выходе интегратора (или оптимального фильтра) положительно, и символ уь если это напряжение отрицательно. Легко убедиться, что такая схема соответствует правилу (3.28). Действительно, при зк(1) = — г) (т) из (3.26) следует, что Хк= — Х, и правило (3.28) может преобразовано к виду Х >О.
(3.52) Легко видеть, что такая же схема пригодна и для любой двоичной системы с противоположными сигналами, если в качестве имитатора сигнала подать напряжение, пропорциональное з) (1). Можно построить и более простую решающую схему, не содержащую перемножителя (рис. 3.9,б), совершенно эквивалентную предыдушей и называемую фазовым детектором. Здесь образуются сумма иразностьприходящего сигнала з'(т) с опорных| напряжением местного ге- нератора соз (<с1+)р), которые затем раздельно детектируются квадратичными детекторами КД, и разность продетектированных напряжений интегрируется на интервале от О ло Т. Решение о передававшемся символе принимается, как и в предыдущей схеме, по знаку напряжения ~/ на выходе интегратора в момент отсчета 7= Т.
саз1няызт7 б) е)я)'яткчксятн.тьтятее схекм кете)тентнсте ны с)яг; а) с тясеея~нсжяттеасяя; б) с фаасаыяя астеатсрсм Говоря о том что эти схемы эквивалентны мы утверждаем, что при подаче иа них одного и того же сигнала в'(1), знаки напряжений на их выходах будут одинаковыми. Следовательно, и ошибочные решения будут возникать одновременно в обеих схемах. Для доказательства этого утверждения запил)емзначения выходных напряжений обеих схем в момент отсчета: 1 -= С ) з,(г) з'(1) гй, о 173 т (7 = — ~ ((Сг, (1) + г' (1))" — (Сг (1) — г' (Г)Р) г/1, о где С вЂ” произвольная постоянная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
