Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Г1рн праектвроаапяи систем связи важно оценить допуски ня определение параметров принимаемых сигналов и обеспечить их соблюдение. Эти допуски нельзя задать в обп>ел> виде, так как онн существенно зависят от вида сигналов. Ограничимся нскоторымя замечаниями, полагая, что сигнал узкополосный, т. е. может быть записан в виде (ЗА8): г И = Е (1) соэ [ы,в1 + у + Ф (1) ]. Виз огибающеГ> Е(1) (с точностью до постоянного множителя и начала отсчета времени), а также мгновенной фазы Ф(1) (с точностьв> 210 до начала отсчета времеви) выбираются при проектировании я воспроизводятся с любой степенью точности. Таким образам, проблемой является определение постоянного множителя прв Е(1), начала отсчета времени, начальаой фазы 4> н средней частоты ы,р. Если используется система с антивпой паузой, то звания постоянного множителя вообще не требуется для построения оптимальной решающей схемы. Что же касается остальных параметров сию>ала, то допустимая неточность их определенна различна для различных систем.
Рассмотрим, например, влияние неточности определения начальной фазы. С этой целью предположил>, что решающая схема построена для приема сигнала (ЗА8), в действительности >ке приходит сигнал Е (1) сов [О«р1+ у +Ф(1) + 33] = саэ ЗЗЕ (1) гоэ [ьъ«в)+ + у+ Ф (1)] — з)п 33Е (1) сбп [ю«в) + у + Ф (1)]. (3.100) Грубо говоря, это значит, что вместо сигнала а(1) приходит сигнал а(1) сох бц>, второй же член (3.100) можно рассматривать как дополнительную помеху. Влияние этой дополнительной помехи, которая в первом приближении ортогонгльна полезному сигналу, зависит от того, какие еп>е сигналы используются и данной системе.
Если одной из реализаций сигнала является Е(1) в1п(со«»Е+гр+Ф(1)], то эта помеха выдел>пся в соответствующей ветви решающей схемы и, сложившись с составляющей шума, существенно повысит вероятность ошибки. Даже прн полном отсутствии шума ошибка произойдет, если Зт) 4 В другом случае, когда рассматривается двоичнаи система с проткпоположиыми сигналами, второй член (3.100) жюбще не окажет влняния на решающую схему и неточность фазы б>р можно скомпенсировать повышением мощносп> сигнала (нлн величины йэ) в ссвл йу раз. Если считать допусп>май «потерю» мощности порядка 10Я)л, то для величины бгр допуск оказывается равным 18'.
Неточность воспроизведения средней частоты бы«р в первом приближении сводится к неточности начальной фазы, поскольку за некоторое время Т «набегает» нето шасть фазы Ьр=быя»Т, Лналогичво можно устаповять требования к >очности определения момента прихода сигнала илн момента отсчета в решающей схеме. Требуемую для когерентного приема точность поддержания средней частоты при современном состоянии техники можно обеспечить только путем автоматического регулирования ее по самому принимаемому сигналу. Поскольку сигнал принимается вместе с помехой, даже прп этих условиях точность установки частоты и фазы сигнала, а также момента отсчета оказывается ограниченной, что приводит к увеличению вероятности ошибок.
Поэтому часто предпочитают вообще отказаться от определения начальной фазы и применять некогеревтные методы приема, которым посвящена следующая глава. Как будет там показано, при пекогереятном приеме значительно расширяются допуски па точность установки средней частоты сигнала и момента отсчета. !4* 211 6 (к й 3.6), Изложенный метод нахождения оптимальной решающей схемы прп нормальном шуме с перввпомсрным спектром принадлежит В. »ъ. Котельникову [!ф Однако в прнведевцых рассуждениях молчаливо предполагается, шо время обработки прианмаемого сигнала неограничено, так как в противггоъг случае невозможно полное «обелепие» шума.
Если наложить дополнительное условие, потребовав, чтобы обработка сигнала производилась на ннтернале времени (О, Т), то постановка задачи меняется. Осаовная трудность при отыскании оптимальной решающей схемы согласно методике, описанной в й З.З, заключается в том, что коэффициенты ряда Фурье для «окрашенного» шума взаимно коррелированы.
Для ~ого чгобы преодолеть это затруднение, производится разложение сигналов н помехи по ортонормированной системе функпнй (гръ(!)), которые являются собственнымп функцпямп интегрального уравненвя Т ) Я(1, .) Т„(ъ) ей =- Л»У» (!), (3.101) где Й(1, з) — функция корреляции шума. При таком разложении коэффициенты ряда для шума оказываготся независимыми случайньм и величинами с дисперсиями )ъъ [17). Замепгм, что вследстьпе положительной определевпоств корреляцпонвон функции, все собственные чгкла ).ъ неотр>щательны.
Доказано [17, !8), по оптимальное по критерию максимума правдоподобна правило решения заключается в гом, что принятым сигналом считается лг(!), если для всех выполняются веравенства гчь(: ~)', (!) ~ '() — '() "()~ !!>0, (,'!. 102) где рж (!) — решение интегрального уравнения Т й(Т, з) рж(ъ) г!з = и, (!)- — зг (!). (3.103) о Легко убедиться, что длн белого шума, когда !г(й л) =б(! —,ъ).
решение этого уравнения тривиально: )гг, !!) =а (!) — я,(!) и опти- мальное правило решеаия совпадает с (3. 27). В общем случае правило (3.102) может быть реализовано в схе- ме рнс. 3,12,а, если фильтр Фг имеет переходную функцию и(!ъ, !ъ), являющуюся решением уравнения Т )7 (1„. ) Н(ъ, !ъ) г!аг.= 6 (!ъ — Тъ), о а решающая схема РСъ является оптимальной для сигналов, про- шедших через Фъ, на фоне белого шума. Если шум стадноиарный, т. е.
)г(ъ, з) =77([! — ъ[), то фильтр Ф~ имеет постоянные параметры. так кан д!!ъ, г,) = — л(тъ — !г). При неограниченно возрастающем 1 функция д(Т» — !ъ) стремится к переходной функции «обеляющегоь филыра. 212 Вероятность ошибки для двоичнов системы определяется нырзжением 1 Р=- 2 [1--Фа'о)[, где т а = $ 1',л (!) [нъ (!) — з„(Е)) г!!.
о ;ъ!ожцо показать [8[, что в тех счучаях, когда среди собственных чвсел Хъ уравнения (3.101) имеетсн наименьшее Тч, оптимальными сппшлаъш в двоичной системе ЯвлЯютсЯ ш(!) =- — тъ(!) =ггуь(!), где Ч г(!) — собственная функция уравнения (3.10!), соответствующая пзнменынему собствсиноъ~у числу, а козффпциень. с опрезеляегся допустимой мощностью сигнала. Г!ргг этом а=4«»/ьъ Если среди собственных чисел ъъ есть равное вущо, т.
е. если Т существует функция уъ(!), такая, что ~ Я(1, ъ) у,(з) г!ъ =-О. то о имеет место сингулярный случай, прп когором сигнал, пропорциональный ър»(з), моъкно обнаружить с нулевой вероятаостью ошибки, так как а=о». В часгпостн, это имеет место, кот»а спектр шуъга равен нулю па коночном интервале частот, как отмечалось в примечашш !. Потеицпа.чьно сингулярный случай имеет ъгесто, если среди йъ есть сколь угодно малые. В этом случае моъьно выбрать форму сигналов, при которой вероятность ошибок будет меньше сколь угодна малой заданной величины. В реальных каналах, кщда спектральная плотность шумя на любой часто~с превышает неко«вручи положнгельную величину, т.
е. когда шум содержит «белую» составляющую, сингузярностн пе имеют места. 6. Нередко устройства, входящие в состав каиала, представляют собой пень с передато'шой функпией Е(!ы), заметно изменяющей форму сигнала. В этом случае под з(!) нужно понимать пе сигнал на входе канала, а пскангевпый сигнал па его выходе.
Все рассуждения, приведенные в этой главе, сохраняются, если элементы искаженного сигнала не перскрываются во времеви. В противном случае задача приема услохгняется Потробнее этот случай будет рассмо грен в 6 7.2. 7 (к 5 3.7). Формула (3.84) получена К В!енггоъгом [2[ в предположении, что канал предстанляет собой идеальный фильтр, пропускающий сигналы и помехи в строго ограниченной полосе частот ширяной Р. Часто трактуют ъту формулу как приближенную, дающую тем более точное значение пропускной способпосъи канала, чем ближе его частотная характеристика к П-образной.
Для каналч с реальной частотной характеристикой формула (3.84) должна определить пропускную способность, ешш надлежюцпм образом определить полосу пропускаппя Е. Прн зъоъг, однако, возникают пзвесгньге грузности при выборе «надлежащего определении» полосы пропусканпя, пр ~водящие к неопределенности вычнсляеной пропускной способности. Так, например, если частотвая характеристика канала близка к гауссовой крп- 213 вой *, то, принимая за величину Е ширину этой характеристики на уровнях 0,707 или О,1, получаем различные значения С, отличающиеся в 1,6 раза. Конечно, при частотной характеристике канала, более близкой к прямоугольной, вычисленная величина пропускной способности меньше зависит от уровня, на котором отсчитывается полоса пропусканин, тем не менее некоторая неоднозначность определения пропускной способности все же остается.
Рис. 3.!5. Энергетический спектр сигнала при различных значениях базы 2РТ. Как показано в (3), формула (3.84) дает точное значение пропускная способности для случая, когда сигналы имеют определенный интервал корреляции ть, если под полосой частот Р понимать 1/т». При известных условиях это определение полосы частот совпадает с эффективной «шумовой» полосои пропускании канала. Полученная в 6 3.7 формула (3.84) выражает то «ную пропускную способность канала, в котором Р представляет условную полосу частот, занимаемую сне~смой, определяемую выражением (ЗА). Может показаться удивительным, что эта формула полностью совпадает с формулой Шеанона, выведенной при совершенно других предпосылках. Однако этот результат вполне закономерен, Легко показать, что зпачителышя даля энергетического спектра сигнала лежит в полосе частот Е, совпадающей с «условной полосой частот», причем эта доля тем больше, чем болыие база сигнала 2РТ.
Не останавливаясь на доказательстве этого, сошлемся ва рис. 3.15, где показаны энергетические спектры сигнала »д х(!) =- ~ (аз сов»ю«!+»аз!п»ы !) при зпаченвях ГТ, равных 10 и 20. При этом а» н Ьь — случайные независимые одинаково распределенные нормальные зелнчвны. На згоя рисунке наглядно видно, что с увеличением ЕТ все большая часть энергии сигнала оказывается сосредоточенной в полосе частот шириной Е. Это позволяет сформулировать теорему о пропускнок способности канала с аддитиввым белым шумом в след!чащей форме: Пусть задана полоса частот ширшзой Р и произеольнал величина у (0<у(1). Тогди существует такое значение длительности сигнала Т, (зависящее ог Р и от у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
