Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Однако оно полезно, как некоторая идеализация, облегчающая теоретический анализ. Первый случай обычно сопровождается столь же быстрыми флюктуациямп коэффициента передачи р (замираниями сигнала) и будет рассмотрен в гл. 7, Четвертый случай почти не отличается от рассмотренного в гл. 3 случая полностью известного сигнала, поскольку при очень медленных флюктуациях фазы можно путем анализа предыдущих элементов сигнала с достаточной точностью определить ожидаемые фазовые соотношения в последующих элементах и осуществить когерентный прием.
Для второго случая характерным является полное отсутствие сведений о начальной фазе принимаемого элемента сигнала. Как будет показано далее, это не препятствует приему содержащейся в элементе информации, если только она не заложена в самом значении начальной фазы. Различение сигнала при полном отсутствии (илн при полном отказе от использования) сведений о начальной фазе каждого элемента будем называть абсолютно некогерентным приемом. Третий случай занимает промежуточное положение между вторым и четвертым. Как и в четвертом случае, здесь в принципе возможен когерентный прием, но для оценки начальной фазы ожидаемого элемента сигнала может использоваться лишь небольшое число предыдущих элементов, что приводит к значительной погрешности и увеличению вероятности ошибок.
Как в третьем, 220 так и в четвертом случаях, разумеется, можно применять абсолютно некогерентный прием, отказавшись от использования каких-либо сведений о начальной фазе ожидаемого элемента сигнала. Однако здесь используется и относительно некогерентный прием, при котором неизвестной является начальная фаза некоторой последовательности элементов, но возможные фазовые соотношения между соседними элементами сигнала известны. 4.2.
Сопряженные сигналы, огибающая, мгновенная фаза и мгиовеииая частота. Ортогоиальность в усилеииом смысле При исследовании некогерентного приема нам понадобятся такие понятия, как огибающая сигнала, его мгновенная фаза и мгновенная частота, Эти понятия довольно широко применяются в инженерной практике, но не всегда понимаются однозначно. В этом параграфе даются определения, которые будут использованы в этой н последующих главах. Хотя такие определения и:не являются наиболее общими, онн удобны для принятой здесь математической модели сигнала и помехи и достаточны для решения поставленных задач.
Пусть элемент сигнала г„(г), заданный на интервале О =Л(Т, может быть представлен на этом интервалерядом (3.2): г, (1) = ~~ ' (а„д сов йе,Г+Ь,аз(п ЬеД, о=о 21 Предположим, что все гармонические составляющие этого сигнала сдвинулись по фазе на некоторую велнчи. ну ф В результате получится сигнал г„, (~) =-У (аОСОЭ(йо1Г+ф)+ЬОЗ1П((ио~+ф)] =- о —.о СО СО =созф~ (а„,сов|во„Г+Ь„окпп(иоД+з1пф ~(Ь,осозйо,(— о=о о=о — а ко з(п йоьГ) = г„Я соз ф — г, (() з1п ф, (4.4) 221 где ряд гт (() = ~ ( — (ь„сгв Ьо,(+ а„а з(п Ь,() и и . (() (4.5) называют сопряженным" с рядом гт((). Он получается из г„(() поворотом фаз его составляющих на — —.
Выражение (4.4) можно записать в комплексной форме: г„е (() = Ее ([г„(ь) + !г„(()] еы] = (те [г, (() е ]. (4.6) Комплексную функцию 7 (() — [г,(г)+!г~(г) прн О< ((Т, (4 7) [ О при(к..Он( Т назовем финптным аналитическим сигналом. Запишем аналитический сигнал в экспоненциальной форме: Е„(1) 'з гя р О<(<Т, 46) О при г'.
О и ('.>Т. Здесь Е„(() = ] Ят (() [= ф г,:(() +г„(() (4.9) — огибаюи(ая сигнала; 5т (() = — агц у, (() =- агс!ц а' — мгновенная фаза сигнала. Производную по времени от мгновенной фазы называют мгновенной круговой частотой: ь(а лз, (г) т '('1 ит (') е~ (ь) + аа (г! * йтьь нс остапавливаенся иа условиях сходимости ряда (4.5). Во всех практических приложениях будут рассматриваться сипьалы с конечной базой, для которых ряд (3.2) является тригонометрическив полииомои. В этих случаях и ряд (4.5) вырождается в полипом в имеет всюду конечное значение.
Впрочем, многие последующие результаты остаются справедаивымьч даже если ряд (4.5) в отдельных точках расходатся. 222 г, (() =„'Е„(() соз [ю, г'+ Ф„'(()], гг(() = — Е„(ь) з!и [ю,р(+Ф,(()]. Операцию преобразования функции з(ь) в ее огибающую Е(() или в мгновенную частоту ш„(1) называют идеальным амплитудным или соответственно частотным детектированием. Для элемента сигнала, заданного на интервале Т, этп операции физически реализуемы, если допустимо запаздывание на время, большее Т.
Действительно, зная функцию г(() на всем этом интервале, можно определить ее коэффициенты Фурье (см. рис. 3.1) и построить сопряжсннуто функцию г((), а затем воспроизвести (например, на вычислительнои машине) Е(1) и (4.! 4) * Сигнал назььвается относительно узкополосным, если эффективная ширина его спектра значительно меньше средней частоты. 223 Легко видеггь что г„ (() = Ке,У„ (() = Е„ (г) соз О, ((), 1 (4.12) г, (() = 1ш Я„(~) = Е, (() яп о, ((), ] г, (() = Е, (() соз [О, (() + ь[ь]. (4.! 3) Таким образом, все реализации сигнапа г„((), отличающиеся только сдвигом фазы ф составляющих ряда Фурье, имеют одинаковую огибающую и одинаковые мгновенные частоты, а их мгновенные фазы отличаются наф Заметим, что приведенные определения огибающей и мгновенной частоты применимы к любому сигналу, выражаемому рядом (3.2), а не только к относительно узкополосным сигналам *.
Тем не менее представлением (4.12) особенно удобно пользоваться для узкополосных сигналов, так как в этом случае огибающая Е„(г) и мгновенная частота ш,(ь) оказываются медленно меняющимися функциями времени, по сравнению с высокочастотным заполнением сигнала соз 0„((). Если ш,р — произвольно выбранная круговая частота в пределах той полосы частот, в которой сосредоточена основная часть мощности узкополосного сигнала, то функция Фт(() = =6„(() — соя ш,р(() также оказывается медленно меняющейся. При этом вместо (4.12) часто применяют такую запись: то(Е) по формулам (4.9) и (4.11).
Реальный «линейный» амплитудный детектор выдеияет огибающучо Е(Е) поданного на него сигнала з(Е) (или некоторую монотонную функцию от Е) при условии, что его нагрузка является безынерционной для огибающей и полностью инерционной для высокочастотного заполнения сигнала (1).
Очевидно, что эти условия противоречивы и могут быть выполнены лишь приближенно, с тем большен точностью, чем меньше отношение эффективной ширины спектра сигнала к его средней частоте. Ат|алогичное утверждение справедливо и для обычных частотных детекторов. В дальнейшем будем рассматривать только сигналы с конечной базой, т. е. верхний предел суммирования в (3.2) и (4.5) будем считать сколь утодно большим, но конечным числом К Сопряженные сигналы я„(Е) и з,(Е) ортогональны на интервале (О, Т), т. е.
т ~з„(Е) з, (Е) И = О. (4. 15) В этом легко убедиться, подставив в этот интеграл (3.2) и (4.5) и произведя почленнос интегрирование: т тк ~ г,(Е)г,(Е)оЕЕ= ~ ~(а„ьссвЕэ»,Е+Ь,„з(пйо Е);к', о 4' »=о к T Х ~~( — Ь,осок)но,Е+а,ьз(пЬв0Е)«ЕЕ= 2 [а,„Ь„ь— о о — „,Ь„) =О Если два сигнала з„(Е) и зо(Е) взаимно ортогональны, то т у У з„(Е) я,(Е) ЕЕ=.О, ! ~ яр (Е) з, (Е) Ж = О, т (4.18) то сигналы е„(Е) и г,(Е) называются ортогоналоными в усиленном смысле. Примерами пар сигналов ортогональных в усиленном смысле являются (3.56), (3.58) и (3.59). Сигналы (3.55) и (3.57) ортогональны, но не в усиленном смысле.
В этом легко убедиться, заменив любой из пары сигналов сопряженным и вычислив его скалярное произведение со вторым сигналом. Заметим, что условие ортогональности в усиленном смысле можно записать с помощью аналитических сигналов: Однако из ортогональпости сш. обще говоРЯ, не следУет, что сиги ы г,(Е) т,(Е) и г~(Е)) будут также взаимно ортогональны. Действительно, к г, ( ) г~ (Е) ~Е ~ т, (Е) т, (Е) сЕЕ= — ~1~ ~(амЬ,~— о о=-о — Ьма„о), (4.17) 4. 17 и если правая часть (4.16) равна нулю, то правая част ( . ) может и не равняться нулю.
Если все же одновреь менно выполняются условия и сопряженные с ними сигналы з,(Е) и г~(Е) также ортогоиальны между собой. Для доказательства этого достаточно, представив сигналы соответствующими тригонометрическими полиномами, перемножить их и произвести интегрирование, в результате которого получим Т к о з,(Е) з~(Е) сЕЕ= ~ з„(Е) е~(Е) ЕЕЕ= 2 ~~~ (а„ьато+Ь,ьЬид. о »=о (4.16) 224 т Е„ (Е) Е"е (Е) ЕЕЕ = О, (4.18а) = ~~ (Е) — Ето (Е) Функция, комплексно сопряженная с Е,(Е).
Система тн сигналов называется ортогональной вусиленном смысле, если условия (4.18) выполняются для любой пары сигналов. 15 †24 4.3. Решающая схема при абсолютно неиегерентном приеме Исходя из критерия максимального правдоподобия, найдем оптимальное правило решения при приеме одного элемента сигнала з'(!) = из, (!)+ п (!) =-рз»(!) созф+рз„(!) з!пф+и'(!), (4.19) «=1,2,...,т, О<!<Т, полагая начальную фазу ф случайной величиной, равномерно распределенной на интервале от 0 до 2п: ш(ф!)= —, 0<ф 2я. 1 2Л $' С этой целью нужно найти условные плотности распределения вероятности то(г'/з») (г=-1, ..., и) и определить наибольшую из них, соответствующую наиболее правдоподобному из возможных переданных сигналов.
Эти плотности равны то(з' [г„)= ~ »о(Ч») ш(з' [ г„, Ч») о!»Г, (4.20) о где ш (г'«з„Ч') — плотность распределения вероятности приема сигнала г'(!) при условии, что передавался сигнал г,(!), а сдвиг фазы ф принял значение Ч'. Учитывая (3.2) и (4.4), можно выразить принятый сигнал в виде я'(г)=~ ((ра,дсозф+рЬ„»з!пф+ад)созй!оо!+ о=! + (рЬ»д соз ф — ра„» ып ф+ рд) з!п АД = (Ад соз Ьо,!+ Вд з!и Ь»о,!), (4.21) »=! откуда А„= — „.(а„дсозф+Ь,дз!пф)+ ам (Ь созф — а,д з!пф)+о«д.
а! '! ив», хаРактеризующие реализа„ю значения помехи, примут ад = Ад — Р (а д соз ф+ Ь д з! г, ф!) рд = Вд — р (Ь,д соз ф — а„з!и ф), (4.21а) ехр к (2»оо)К ' о х[ — —,',т!. ~1,1 (4.22) Здесь о = а — о» о — г„' как было показано в гл » о» оо = г Исходя из «4.2!1 плотность вероятности ) и (4.22), легко определить приема сигнала г'!!! п и пе !ть условную че символа р, и при Ч«<ф<Ч'+!2Ч«! ('(г„ф) (ф=- — ', Х (2оао) К 1- —.Е к „'к', ехр — — к) А— — — ( д — р(а,дсозф+Ь,дз!пф)!'+ Если помеха п е р дставляет собой нормальный белый шум, то все ад и (1» являются в взаимно независимыми и величинами с ноимальным вероятностей. П р ным распределением руст составляющ римем сначала, что п ие р ниик анализию ие сигнала с частотами ниж К в сколь угодно б .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
