Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1151860), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Нсюннноа начаоьлоо соса Ошюс с моосональ- нмн босом о о а о а 1 5 5 1 5 0 7 0 баомо Рис. 15.5. Граф состояний и переходов декодера при ошибоч- ном начальном состоянии. Праенльная траектпрня показана пунктнроч Некоторые характеристики обнаружения и исправления ошибок данного кода можно определить, перечертив диаграмму состояний, как показано на рис. 15.6, где каждый путь обозначен ко- 4!5 Оолноо оаоашноо сосюооооа о с*о 1 а — --т о 1 ! ПО1 =Ь ° ю а) следующие И вычисления Рнс. 157. Графы состояний кодера (рис.
15.1), аж харвктеризуюшие: а — Расстояние от полностью нулевого состоя- рех пОлюсОВ ния кодера; 5 — расстояние, длину и число символов 1 на входе д = Ос(+ОЬ, или г(=ОЫ(1 — О)! 0==1Ы+РЬ вЂ” Ь, нли о = — (Р!(1 — Р) — 1) Ь; а'.=0'с, или а' = Р'(О/(1 — О) — ЦЬ (15.3) (15.4) (15.5) и, следовательно, Ь = 0'а+ с — Ж вЂ” Ос. (15.6) Решая систему уравнений (15.3) — (15.6) относительно нормированной величины а'/а, получим Т(Р) Оь-)-ООе + 40тл ...+ 2 0 + (15 7) а 1 — йг! 416 довыми символами, соответствующими этому пути, например 00 для пути аа.
Заметим, что путь с минимальным весом от а до а, отличный от прямого пути аа, — это путь аЬса, показанный пунктиром. Если аааа правильный путь, реализуемый за три шага, 10 м то путь с минимальным переменным весом аЬса соответст- 1О вует кодовым комбинациям 11, !О, 1! и имеет вес, равный 5, соответствующий пяти ошибоо кам, или расстоянию Хэммин11 га а) = 5.
Таким образом, этот код обнаруживает любые три а-Яо и исправляет любые две ошибки на рассматриваемом пути. Рис. 1до, Граф состояний колера Для исправления е ошибок можно использовать коды с минимальным расстоянием г! = 2е + 1. Корректирующие свойства любого кода можно проанализиро- вать путем построения =П диаграммы состояний от а до а для всех путей 0", где й — вес данного .=И пути. Пример построения такой диаграммы дан на рис. 15.7.
Эту диаграмму можно свести к порождагдл ющей функции для всех путей, которые в конце шл ьг концов соединяются с пу- ьг тем, соответствующим одьегл ь ь г ' ним нулям, если провести несложные путей, ведуому из четы- Таким образом, имеется один путь с весом 5, два — с весом 6, а в общем случае имеется 2" путей с весом я+5. Порождающую функцию можно образовать для расширенной диаграммы состояний, в которой каждый путь характеризуется коэффициентом 1., содержащим экспоненциальный сомножитель 1д, соответствующий длине данного пути, и коэффициентом Л(', где е=!, если символ сообщения на входе 1 (сплошные линии на рис. 15.2), и е=О, если символ сообщения иа входе О.
Пример такой диаграммы применительно к кодеру, представленному на рис. 15.1, приведен на рис. 15.7б. В этом случае порождающая функция для расширенной диаграммы состояний — =Т (К Т., ()1) =- )' А В) ТУ»А)'«1,)х-- а 1 — и. ()+Цн =,й,! РБ~»1)1 ( гуаг« (! + У) 1((» ! + Р(5+т) У (3+и) (1 + г)т 1)1((+т) + (15.8) Таким образом, в данном коде имеется один путь от а до а' с кодовым расстоянием 5 (соответствующим показателю степени 0') и длиной 3 (соответствующей показателю степени 1.') и два пути с кодовым расстоянием 6 (один длиной 4 и один длиной 5), причем оба отличаются от правильного яути на два двоичных информационных символа (показатель степени А(). 16.4. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ДЕКОДЕРОВ, ПОСТРОЕННЫХ ПО ПРИНЦИПУ МАКСИМУМА ПРАВДОПОДОБИЯ В данном параграфе произведена оценка помехоустойчивости декодера для двух случаев: когда на его вход с решающей схемы демодулятора поступает либо двоичный сигнал (О, 1) («жесткое» решение), либо многоразрядный квантованный отсчет сигнала («мягкое» решение).
Сначала получим выражение для границы вероятности появления первого ошибочного решения Ряякь которое приводит к одной или нескольким ошибкам в двоичных символах на выходе декодера. Граница вероятности ошибочного приема символа определяется путем вычисления числа ошибочно принптых символов. Вероятность появления первой ошибки. Первая ошибка появля. ется в случае, если правильный путь к правильному полюсу исключается на 1см шаге декодирования, т. е, реализованный путь оказывается ошибочным. Так как рассматриваемые коды являются групповыми, то без потери общности рассуждений можно положить, что правильным путем является нулевой путь аа...
аа. Как показано на рис. !5.8, ошибочное решение имеет место на 1-м шаге, где в качестве реализованного пути выбран путь аа.,.айса ввиду его более высокой корреляционной меры. Обозначим вероятность первой ошибки на некотором произвольном 1-м шаге длиной 1 через р(1). В случае, если на вход де 14 !66 417 кодера подается двоичный сигнал (! Или О), вероятность первой ошибки на пути длиной 1=3 при одном возможном ошибочном пути равна р(3), причем ошибочный путь отличается от правильного в пяти кодовых двоичных символах, появляющихся с вероятностью Р, = Рг.
Вообще полное мнонсспанная гпсаенгпорон,зананнаоающансн «кество ошибочных путей и их йо.~-м шаге расстояние 5г от правильного пути уже были описаны путем разложения в ряд (15.8) функ°,«яо нанн«поен- ции Т (О, 1., М). Если принид шооан маются «жесткие» решения и днонов 1 из ° » ° ° о яс предполагается использование данной функции (15.8), то для г т о единственно возможной ошибАлинаоша5оннойгпоаеншо- ки на пути длиной 1= 3 необрао, имеюшеос месшо ро рм- ходимо, чтобы три ошибочно понйеноп «ч шага принятых двоичных символа из Рис.
15.8. пример ошибочного реше- пяти образовывали неправильиия иня колера (рис 151! ный путь, имеющий более высокую метрику, чем правильный путь. Таким образом, вероятность первой ошибки на пути ! = = 3 при расстоянии й = 5 выражается в виде г ~ ~") (5 ) „(1,)с =г (1 5.9) 41В где р — вероятность ошибочного двоичного символа (1 или О) на входе декодера. Заметим, что в общем случае для !'-го шага нет простых способов вычисления, сохранили ли пути, описываемые разложением функции Т (О, Т„Х), решения по предыдущим реализованным путям, ведущим к ранее встречающимся полюсам. Однако можно установить верхнюю границу вероятности первой ошибки, если учесть все возможные пути, которые приводят к ошибочному решению на !'-м шаге независимо от того, были ли эти возможные пути исключены на предыдущих этапах или нет.
Таким образом, поскольку порождающая функция Т(О) =- '!'адО~ (15. 10) определяет общее число путей аю отличающихся от правильного на расстояние !г, то вероятность первой ошибки на некотором произвольном 1-м шаге ограничивается величиной Риаш(пнРн. (15.11) Путем аналогичных вычислений границу вероятности ошибки в двоичном символе можно определить из разложения (15.8) Т(О, Т., Лг) ~ь «а Т(О, йг) = — ~~ а О0 й«н (15 12) н=! где ед=й+! — число ошибок на каждом неправильном пути. Диф- ференцируя (15.13) по .Ч и полагая %=1, можно определить вес каждого неправильного пути через число ошибок на выходе деко- дера.
Таким образом, дт(п, 1у) гч д ъ1 д л 1==Š— Е =~ адед0 --- ~~~ сд0, сд:а ед. ач Н1 Ь (15.14) Итак, можно показать, что границей вероятности ошибки в двоичном символе является Рдш < сдрд (15. 15) где значение Рд зависит от типа сигнала на входе декодера (т, е.
от того, какое принято решение: «жесткое» или «мягкое>) и уровня канального шума (отношения Е,(Нд), определяющего вероятность ошибки в двоичном сигнале на входе декодера соответственно. Коэффициенты сд определяются по свойствам используемого кода. Следовательно, существует четкое разделение между влиянием свойств кода и влиянием параметров канала связи на граничную вероятность ошибки иа выходе декодера.
Определение вероятности Рд. Если на вход декодера от демодулятора подается двоичный сигнал вида 1; 0 («жесткое» решение), то вероятность выбора ошибочного пути с расстоянием и определяется как ( )Р (' — р) для нечетных )г Е 4=(д+11/2 /Д ~ дгд )Р ( Р) ~; (.)Р (1 — р) длячетныхй, д-$ 2 ~д(2) с=да.~-! (15. 16) где коэффициент 1,'2 в первом слагаемом выражения для четных А Й учитывает случайное решение.
В случае р(1/2 и ~~'( ~ =2" на мч/дд эту вероятность можно наложить границу Рд -. 2' Р (1- — Р)д 14' 419 (!5.17) так как для определения этой границы, когда кодовое расстояние ошибочного пути равно !м нет надобности знать его длину !д (показатель степени М). Для кодера, структурная схема которого приведена иа рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
