Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1151860), страница 16
Текст из файла (страница 16)
=2по„/,ф. Определим также приблизительно максимальное допустимое значение крутизны входного сигнала 5~,„, а 4 о. = 8 и о„ /„~, к т. е. в 4 раза больше средиеквадратического значения а. Примем, что максимальная крутизна характеристики дельта-модулятора равна смак„т. е. 6/д=8пп„/,ф. Следовательно, 6 = 8 и о /,ф//а (4.2) — величина ступеньки аппроксимирующего напряжения, необходимая для предотвращения перегрузки по крутизне. Поскольку мощность входного сигнала оэ„, то максимальное отношение сигнал/шум на выходе в отсутствие перегрузки по крутизне с учетом выражений (4.1) и (4.2) равно о Зо Зо 3 о2 бэ (8 Я оа/эф//л)а (Зп)а ~ /эф / о„ Если входной сигнал х(/) имеет прямоугольный энергетический 78 спектр, то эффективная ширина спектра ),ф и отношение С)Ш на выходе будут ),ф= у, ~ Р 7 = )"ак' о (4,4) (8гт) 1)макс / (422) где )сэ=)(д)2~макс нормированная скорость следования двоичных символов (1=1 для двоичной ДМ). Следовательно, без сглаживающей фильтрации отношение сигнал)шум увеличивается при повышении частоты дискретизации со скоростью 6 дБ)октава.
Однако качество передачи сигналов может быть улучшено путем сглаживающей фильтрации отсчетов сигнала, так как обычно )д)2)„а„с и отсчеты пеРедаваемого сигнала коРРелиРованы дРУг с другом. Дифференциальная ОКМ при 1-разрядном квантовании без учета сглаживающей фильтрации. Заменим в структурной схеме дельта- модулятора (рис. 4.1) компаратор к" т -) (устройство определения знака) (г/е) 1-разрядным устройством квантования с характеристикой, показанной 3 на рис. 4.6. Отметим, что эквивалентная характеристика квантова- ) ния Я(е), как и при двоичной ДМ, е имеет шаг квантования, равный 26, что, как известно, соответствует дифференциальной ИКМ.
Однако здесь мы ограничим наше внимание одним из вариантов ДИКМ, когда ----- — — ----- -(э'-)) фильтр в цепи обратной связи модулятоРа является идеальным инте- Ркс. 4.5. Многоуровневая хагратором, как на рис. 4.1. Более об- рактернстнка квантования снг- т.
е. разности между входным щие варианты методов ДИКМ обсуждаются в 8 4.6. Максимальная сигналом х н предсказываеположительная крутизна аппрокси- мым сигналом л. мирующего напряжения при дИКМ шаг квавтэваэвя саставлввт 2э при равномерном квантовании на 2' уровней (а не на два уровня) будет ~макс = (2г — 1) 6 )д. (4.5) Пусть максимальная крутизна аппроксимирующего напряжения при ДИКМ равна максимальной скорости изменения входного сиги гнала х: Яма =8по,)эф — максимальная крутизна сигнала х.
тогда необходим шаг квантования, равный (при критерии 4о) 8 пох)эф (4.6) (о' — )) )д 79 Тогда в отсутствие перегрузки по крутизне для сигналов с равномерным распределением значений отношение сигнал/шум становится равным г г з ог (2 б)г/12 (бя)г ! /эф т.
е. увеличивается в (2' — 1)г раз по сравнению со случаем двоичной ДМ. Однако в данном случае каждый отсчет отображается 1-разрядиым кодовым словом, тогда как при ДМ каждый отсчет связан с передачей только одного двоичного элемента. Если входной сигнал имеет прямоугольный спектр, то эффективная ширина спектра равна /,ф=/ аие/~ 3, а отношение сигнал/шум на входе сглаживающего фильтра будет (4.7) с;и„„= — „,,(2' — 1)'(/" ) ==(4 ) ( ' ' //с! (48) где )т,=1/и/2/„„, — нормированная скорость следования двоичных символов. Коэффициент улучшения качества передачи /т, получаемый путем увеличения числа разрядов кодового слова при сохранении неизменной скорости следования двоичных символов на выходе в случае отсутствия сглаживающей фильтрации, будет равен Е=(2' — 1)г/(г.
Значения этого коэффициента для некоторых значений ! равны: Число разрядов на отсчет ! ! 1 2 3 4 1 2,25 5,4 14,1 Коэффициент улучшения г Можно показать, что ширина спектра шума квантования приближенно пропорциональна величине 1/1, так что изменение 1 от 1 до 2 при равномерном квантовании не дает практического выигрыша, если применяется сглаживающая фильтрация на выходе. Однако использование больших величин 1 приводит к существенному выигрышу. 4.3. ШУМ ДРОБЛЕНИЯ ПРИ ДМ С УЧЕТОМ СГЛАЖИВАЮЩЕЙ ФИЛЬТРАЦИИ В предыдущем параграфе было определено отношение сигнал/шум на выходе канала с ДМ без учета сглаживающей фильтрации.
Теперь вычислим отношение сигнал/шум после сглаживающего фильтра и покажем, что сглаживающая фильтрация уменьшает влияние шума квантования. Если частота дискретизации велика по сравнению с шириной спектра входного сигнала, то сглаживающая фильтрация может значительно повысить отношение сигнал/шум на выходе из-за корреляции между отсчетами.
Определим отношение сигнал/шум иа выходе канала связи с двоичной ДМ при использовании как оптимального сглаживающего фильт- 80 ра, так и идеального фильтра нижних частот. Параметры дельта- модуляции выбраны такими, чтобы не было перегрузки по крутизне. Примем также следующие допущения: 1. Входной сигнал х(Ц является стационарным случайным процессом с максимальной частотой 1 „е<)'„/2 и функцией корреляции о',р(ц), дискретные значения которой р(пТ) =р„, где Т' 17)я. 2. Перегрузка по крутизне отсутствует, так что отсчеты выходного сигнала г„в любой момент как бы соответствуют выходному сигналу либо безынерционного устройства квантования, уровни квантования которого имеют только четные значения Я„, либо такого же устройства с нечетными уровнями квантования Я„в обоих случаях шаг квантования равен 2б.
3. Начальная фаза запуска дельта-модулятора случайна, поэтому вероятность (по ансамблю) того, что устройство квантования в момент 1=0 может оказаться иа четном или нечетном уровне квантования, одинакова, т. е. р(1З,) =р(Я„) = 1/2. Это допущение подразумевает, что процесс г„ является стационарным в широком смысле. Влияние выходного сглаживающего фильтра. Поскольку частота дискретизации при двоичной ДМ обычно значительно больше ширины спектра входного сигнала и, следовательно, отсчеты этого сигнала коррелированны, можно существенно уменьшить дисперсию шума квантования, если применить сглаживающую фильтрацию (см. рис, 4.1).
Для того чтобы определить отношение сигнал/шум на выходе системы при сглаживающей фильтрации, найдем сначала корреляционную функцию ошибки квантования йг(рТ): р (рТ)=Е(хпт спт)(х(п+ют ~"+ю Е[х х шт г„тх~ +ш т х тг~ +ш т+ + „г„+„т) = а'„р„— Ф а — Фа+ "и (4.9) где Е(хптх<п+а~т] а о'„р„— корреляционная функция сигнала х; р„— нормированная корреляционная функция входного сигнала; Е(хптго гют~) ьԄ— взаимокорреляционная функция входного х и выходного г сигналов; Е(г тг,„+а~т1 аг„— корреляционная функция выходного сигнала г. Как показано в [1791, Фа =Ф а =сот,р„, где с — постоянная, значение которой будет определено позже. Следовательно, корреляционную функцию ошибки можно записать как Ф,+, =аг „(1 — 2с)+та (4АВ) Каждый из этих только что введенных параметров оценивается в следующем параграфе и в приложении А.
Спектр последовательности отсчетов. Поскольку входной сигнал подвергается дискретизации с частотой 1„, то спектр дискретизированного сигнала х*('1) является периодическим с периодом )л и может быть определен как 81 6;([)а ' ~ 6„() — (,), („=УТ. ч= — ю Следовательно, эту функцию можно представить рядом Фурье, причем косинусным, так как она является четной.
Коэффициенты ряда имеют вид 1гт О 6„= 2Т ] 6'„(() сов (2и и (Т) гт) = ~6„()) соз (2 и п ( Т) Я = о О =й„(иТ)=о„' р„. (4.12) (4.11) Таким образом 6, (() = 7 ~' Н„ (1 ы) Нс (1 ге) 6„ ((), (4.15б) где Не — комплексно-сопряженная величина с Н. Следовательно, энергетический спектр сигнала е=у — х может быть получен, если в выражение (4.15а) подставить Ь,(о) =Ь(о), Ь,(о) =б(о), другие Ь; =О; з,(1)=а*(О, з,(1)= — х(г), другие з;=О.
Результирующая мощность выходного сигнала в полезной полосе частот Π— [д/2 согласно выражению (4.15б) будет /2 о'=2Т ] (6„'(1) — 2йе[Н((гь)6' (О)+ ~Н(!га)э6', (())г((. (4.1б) о 82 6„* 5 = ~ ~6„соз (2и и [Ях). (4.13) Надстрочный индекс в виде звездочки " означает, что имеется в виду энергетический спектр дискретизированного сигнала х*((). Таким же образом обозначаются энергетические спектры дискретизированных сигналов г(1) и е(1) (см. 9 2.2).
Аналогично энергетический спектр отсчетов сигнала ошибки будет 6; ()) =6,* 6+ 6„' Ч) — 26;„(1), (4.14) где 6,„([) =Г[Фи ] — некоторая функция ОЗи. Дисперсия ошибки сглаженного сигнала на выходе канала у(Г) в этом сиучае будет о'=Е [(у — х)'[ = Е Ц Ь(о) г*(( — о) с(о — х(~)~, где Ь(Г) — импульсная характеристика сглаживающего фильтра с передаточной функцией Н(1ы). Заметим, что разность (у — х)— это частный случай более общего выражения з(г)=] 'ь Ь„(о)з„(1 — о)йо, (4. 15а) которое, как показано в [109*]з соответствует энергетическому спектру 11ередаточную функцию нереализуемого винеровского фильтра, минимизирующего а', можно определить как (4.17) '7опт (~ ш) Следовательно, минимальный средний квадрат ошибки (при таком оптимальном фильтре) получается подстановкой выражения (4.17) в выражение (4.16) (4.18) Враааядлд Р г Фг )) л~ чьг l и гл м ер Рис.
4.6. Зависимость отношения сигнал/шум на выходе канала от нормированной скорости следования двоичных символов .в тракте передачи к~=!/л/2/ма«е для ИКМ и двоичной ДМ при передаче белого шума с равномерным ( — ) п убывающим ( — — — ) энергетическим спектром Результаты расчетов отношения сигнал/шум на выходе канала для случая входного сигнала типа гауссовского шума и оптимального сглаживающего фильтра приведены на рис. 4.6 [179). 83 (4.21) 84 Сглаживание идеальным фильтром нижних частот. При использовании для сглаживания идеального ФНЧ средний квадрат ошибки определяется выражением !макс ,макс офнч =2Т~ 6;(/)д/ ~ 2Т ~ ~)~ ~0си созп2п( — ~) й/= дт о о 2 ТЧ,! 0 !т и!п2лиИ//д) 1!макс 2 д и//д )о =2 Т!макс ~~)~ ~си51пс 2!тп — = 7 бси51пс /макс 1 %~ .
/дд ~ йд Ь д и — и — и, Яс (и Т) 51пс— (4.19) Нд 4ие Яд ' где Яд а /д/2/ „, — нормированная частота дискретизации. ПосколькУ Р,,(ПТ) =Рс,( — пТ) =о'иРи — 2Ф +т, можно записать средний квадрат ошибки при использовании идеального ФНЧ оо = — 1Ртс(0) +2 у~1 Рсс(п Т) ьйпс — 1. (4.20) ад ( лл Рд~ и=! Соответственно отношение сигнал/шум на выходе канала а„ 2 Рд во С/Т/'енч— оо с нч )с (О)+ 2~)1 (ит) и! (ди/Л ) и 1 Коэффициенты корреляции ошибки Рс,(ПТ) определяются в приложении А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
