Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь (1979) (1151860), страница 18
Текст из файла (страница 18)
е. входной сигнал х и выходное напряжение г равны между собой в момент /„ но далее они расходятся. Пренебрегая ошибками дробления, будем считать время непрерывным. К концу интервала перегрузки по крутизне, в момент времени /н входной и выходной сигналы вновь оказываются равнымн хд = з1 = хо+ (/д — /д) 6 /д = хо + (/д — /д) х,. (4. 40) Выброс шума в интервале перегрузки п(1) г х(/) з(/) х(/) (хо (/1 /о)хд1 с х(/) (хд+АЯ /о < / < /м (4.41) где /,— /,=А — длительность этого конкретного события перегрузки по крутизне (рнс. 4.8).
Энергия шума в данном выбросе 89 е. " ~ па Я дг (4.42) с, На интервале перегрузки разложим сигнал х('г) в степеннбй ряд по 1 в окрестности точки х,: Рис. 4.8. Перегрузка по крутизне в канале с ДМ: х(1) — входной сигнал; х(1) — выходной сигнал с ограниченной крутизной; Л=б — Ге — длительность выброса перегрузки — разности между х(1) и г(1) (1 — Го) хе (à — 1о) хе х(1) =хо+(1 — 1а)х'+ ' + ' +... (4.43) а 21 ' 31 Поскольку х,=хе+Ьх'е прн 1=1ь степенной ряд (4.43) можно записать как дах дах ха=хе+Лх'=ха+Ах'+ — + +... (4.44) о о 21 З1 При Л«1 пренебрежем членами четвертого порядка и выше, т.
е, Л'хем"/41 и т. д., а затем решим (4.44) относительно длительности интервала перегрузки: Л ж — 3 х",1ха'-. (4.45) Вероятностные свойства входного гауссовского сигнала. Обозначим производные гауссовского сигнала )ь=х'(1), т)=хм(1), $= =х"'(1). Тогда совместную плотность вероятности этих случайных величин можно записать в виде [383*] 1 ра ча ($+иап — „'р) ~ Р(р, т), й)= ехр '(2п)зМУВ, и ~ 28а 28 2ВВ (4.46) где В„а ( (2п)')"+зби())с(( н В й В,В,— Взь Иными словами, кое эффнциенты В„являются характеристиками ширины спектра сигнала. Отметим, что при единичной мощности входного сигнала хВ,=(2п)зе)з, где ).ф — эффективная ширина спектра, определяемая выражением (4.4).
Среднее значение х'"е при заданном значении х'е это Е(хе'н)х'с) = — Ьзх'е/Ве, а среднеквадратическое значение третьей производной хелм равно ) В/Во. Если значение первой производной х'е в точке перегрузки столь велико, что Е(хетч)х'е) больше по сравнению со среднеква- 90 (4.48) Энергия выброса шума. Энергию шума для данного события (выброса) перегрузки по крутизне можно теперь оценить с помо- щью (4.44) следующим образом; ц е„й ) и' (1) с(7 = ~ (г (1) — х (1)) о Ш ж ) (х (7) — [хо+ (1 (о) хо) )' "1 = ы ы ы =(Л[ -1- * ~И, (449) о где 1 — (о=Лт, с((=Лг(т.
Следовательно, энергия этого выброса ! Ея ж Л ~ ( — ) '[то ( Х,") + — Х' Х'" Г'+ — ( Х" ') г тО1 С( т ж о Л' Г(хо) 2 Л " 'У '"г ж — ~ — + — — х" х'"+ — ( х'")г ж 4 ~ 3 3 б 79 — + — ( — 3 х") х"'+ — (х'")', (4.50) Зхоно ~ (хо) 2 „., 1 4 и ° ~ 3 36 о о 97 о о хо где используется соотношение (4.48) Лхо"'= — Зх"о. Энергия выброса может быть приближенно оценена как 'г( ~' ) 1хг[1 —" ~- ')='Н19( ~', ) (4х1) =и!05 дратическим значением, то величина хо'" может быть приближенно определена через ее условное среднее значение хо ж Во хо/Во (4.47) Следовательно, длительность интервала перегрузки из выражения (4.45) приближенно равна го = а = Зхо Во7(Во хо) Перемножая (4А7) и (4.48), заметим, что приближенное соотношение (4.47) соответствует приближенному соотношению (4.45) Лхо"'= — Зх,".
и выражена через меру ширины спектра входного сигнала, его производных н крутизну перегрузки дельта-модулятора х'о —— 5)„. Таким образом, энергия одного выброса пропорциональна (хо")". Средняя мощность шума. Практический интерес представляет оценка характеристик канала с ДМ по средней мощности искажений перегрузки. Эта средняя мощность равна произведению условной средней энергии одного выброса на среднее число выбросов перегрузки в секунду. Начнем с оценки средней величины е„ из выражения (4.5!).
Совместную плотность вероятностей крутиз- 91 ны х'т=х'о ~ 6Г и второй производной х"т=(х", х"+о(хп) на интервале (Г, 7+И) найдем исходя из того, что х"Ж=дх'. Используя выражение (4.46), запишем р(х', хе) о(х'о(хо= р(х', х") хог11г(хе = х" Г Ив Чя т == ехр[ — — — — 1т(хооВ. (4.52) 2вУ Во Во [ 2Во 2Вз ] Представим себе М источников сигнала. Из большого ансамбля сигналов найдем, что среднее число сигналов с критической крутизной х'т=х,' на интервале ((, у+ой) будет се Мо — — МгВ ~)у(хо, хо) о(хп =М о(( 1/ в' ехр [ — (хо)92Во]. (4.53) о При использовании выражения (4.51) средняя энергия выброса в течение интервала (1, 1+И) пропорциональна 0 Е[(х )"] = — -~(хп)т[х" Р(х,', хп)о(хпо(Г] =(2Вя)т~оГ( — ), (4 54) Мо о вероятность перегрузов нз (4.орп где интегрирование проводилось на основе выражения (4.53), а усреднение по М, элементам ансамбля сигналов в режиме перегрузки в течение интервала (1, 1+то(), Г(х) — гамма-функция: О Г(х) а ~й 'е "ди, о)0.
о Следовательно, средняя энергия одного выброса перегрузки по крутизне из (4.51) и (4.54) будет О 49 ) Вя х„ = — (~) (зе,)е'Г( — ); Е(е„) ж — [ —,' ] Ву У2п У ЗВо ~ — в!х (4. 55) 8 [ хр Далее нужно подсчитать среднее число этих выбросов перегрузки в секунду. Крайнее допущение заключается в том, что считается, что выброс перегрузки возникает каждый раз, когда производная х'(г), увеличиваясь, пересекает уровень хо или же, уменьшаясь, пересекает уровень — х,. В действительности же одно или более пересечений может произойти в середине выброса, помимо его начала.
Следовательно, получаемое число пересечений несколько больше действительного числа выбросов. В работе (383е) получено следующее выражение для среднего числа таких пересечений (выбросов) в секунду 92 гк ж 2 ( — ) ~/с — ' е ( "о) ь о ' (4.56) Таким образом, средняя мошность шума перегрузки по крутизне равна произведению среднего числа перегрузок по крутизне в секунду на среднюю энергию выброса перегрузки: В к« ) 3В~оы 'ь~ — ( «„) [овь 4У2к Вь хо где Их (т) = з[пс 2«ь [мак« 'с (4.60) — корреляционная функция сигнала единичной мощности.
Эти выражения позволяют рассчитать отношение сигнал!шум на выходе с помошью (4.58) и (4.59) для гауссовских сигналов: д[ 4 У 2к (2к [макс) зь (2к[мькс) зь 3 (2 [, )ь зь)о [а [ )ь (его) ао [о)к)«Р [(ок)мак«)ь/о) 4 ч/с 2к У Зм 3 'рь к (4.61) где Якай(к[2п~мкко — ноРмиРованнаЯ щего напряжения при ДМ. Гауссовский сигнал с убывающим нал, формируемый прн прохождении раниченным по ширине равномерным представляет даже больший интерес соответствует сигналам изображения ннченный по ширине спектр входного рез осС-фильтр, имеет форму .93 крутизна аппроксимнрую- спектром. Случайный снггауссовского сигнала с огспектром через ЯС-цепочку, поскольку это более точно н речи.
Положим, что огра- сигнала, пропущенного че- где х'о а б[к. Для входных сигналов, значение корреляционной функции которых Л„(0) =о',=1, отношение сигнал/шум перегрузки 2 с)ш, „= «к Е(е„) «кЕ(ек) 4)'2к( В, ') [Ув,'[' — (о)к)ь!ов' =А р[ — (ВЫ«)2В«1 (4.58) [3[ )ь (Здесь А — коэффициент пропорциональности.) Таким образом, в области перегрузки по крутизне (произведение б[к мало), где выбросы перегрузкн по крутизне преобладают, отношение сигнал)шум увеличивается экспоненциально с увеличением б[к.
Для гауссовских сигналов, ограниченных по ширине спектра (О, [ „,), параметры В,, Во из (4.46) определяются выражениями Во = (2оь 1м.кс)'/3 Вь = (2н)мысе~')5 (4.59) 6„(/) =' агс(8(/,к,// ) ~ /а-(-/а ' """ (4 62) т =О анаис(~ где /„— ширина спектра по уровню 3 дБ, Величины В, и Вш определенные в (4.46), равны Ва /макс /м (2п)" агс/и (/макс//, ) 3 3 3 Ва /макс /а /а /мане |4 (2п)а 3 агс(Я (/макс//а) (4.63) б l 1 | | ьг ы э ;| ь/~ ф / э ь баб ь блб б|а | Гммг |р / г б б Рис. 4хб Отвошение сигнал/шум в канале двоичной ДМ в зависимости от нормированной максимальной крутизны б/к//м„„при разных величинах частоты дискретизации /к для белого шума с убывающим энергетическим спектром с параметРом /и =/и„,/8п, где /,„— ширина спектра по уровню 3 дБ, /„,„, — наибольшая частота сигнала х(/) ровэние на ЭВМ хорошо согласуется этими приближенными результатами, 3амею|м, что при малых значениях б/„, когда перегрузка по крутизне доминирует, отношение сигнал/шум увеличивается экспонешшально при увеличении частоты дискретизации /» до тех пор, пока не будет преобладать шум дробления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
