Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 89
Текст из файла (страница 89)
8.2.8. Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью 2/3 Кодовое о аничение К Порождающие полиномы в восьме ичной записи а>„Верхняя граница для г/ 17 06 15 3 4 27 75 72 5 6 236 155 337 7 Табл. 8.2.9, Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью й/5 Порождающие полиномы в восьм ичной записи Кодовое Скорость о аничеиие К Верхняя граница для с> 2/5 17 07 27 71 247 366 35 23 237 274 04 6 57 10 373 12 47 5 337 3 11 12 52 Г>5 171 266 75 Г>1 15Г> 255 6 10 12 4 3/5 4/5 Табл. 8.2.10.
Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью /г/7 Кодовое Порождающие полиномы Скорость о аничение в восьме ичной записи с/„Верхюи граница для а,„ 2/7 12 15 17 72 47 75 247 36Г> 373 36 62 71 237 274 337 14 18 3/7 4/7 Табл. 8.2.11. Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью 3/4 и 3/8 Кодовое Скорость о аничение К Порождающие полиномы а восьме ичной записи Верхняя граница ддя г/ 3/4 3/8 13 25 61 47 4 4 15 42 23 61 8 8 51 36 75 47 Источник таблиц 8.2.7-8.2.11: /Заи/ и др. (1982) 424 05 06 15 13 33 55 25 53 312 125 171 266 45 21 57 43 130 067 156 255 5 7 13 17 25 37 65 57 173 137 371 357 Рис. 8.2.16. Кодер для 1-дуальною кода со скоростью 1/2 2к генераторов функций для 1с-дуальных кодов были даны Витерби и Джекобсом (1975).
Их можно выразить в форме ~'+ — 8,-+1 Г1 0 0 ... 0 1 0:. 0 ! +- 8, -+ ! ( 0 1 0 ... 0 0 1 0 ~ +- 8 -+ ~ ~ О 0 0 ... 1 0 0: 01 О~ . ~ = ~1, 1„] о 0 1 0 0 0'0 1 0 0 0 0 1 0 ! 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1: 0 0.:0 0 0.: 0: 0; 0 1: 0 0:. 0 0 0 0 0' 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1'8.2. 3 б) где 1„означает к х1с единичную матрицу, 8.2.6. Йедвоичные А-дуальные коды и каскадные коды Наше обсуждение сверточных кодов до сих пор было сконцентрировано прежде всего на двоичные коды. Двоичные коды особенно пригодны для каналов в которых возможно использовать двоичную или четверичную ФМ с когерентной демодуляцией.
Однако имеется много приложений для которых ФМ и когерентная демодуляция не подходит или невозможна. В этих случаях используется другая техника модуляции, например М-ичная ЧМ, в соединении с некогерентной демодуляцией. Недвоичные коды особенно хорошо согласуются с М-ичными сигналами, которые демодулируются некогерент-но. В этом разделе мы опишем класс недвоичных сверточных кодов, называемых 7с-дуальными кодами, которые легко декодируются посредством алгоритма Витерби, используя декодирование мягких или жестких решений Они также подходят как внешний код или как внутренний код в каскадном коде, который также будет описан ниже.
Дуальный 1г сверточный кодер со скоростью 1/2 можно представить так, как показано на рисунке (8,2.16). Он состоит из двух (К=2) я-битовых регистров сдвига и л=27с генераторов функций. У него два 1е-битовых выхода. Заметим что код, рассмотренный в примере (8.2..3)„является 2-дуальным сверточным кодом, Ф Обшая формула для передаточной функции Ф-дуального кода со скоростью 1/2 была найдена Оденвальдером (197б).Она выражается так: Т(/1,А/, У) — „г —,> п,/-> ~Ч ',У" '~, (8,2,37) 1,2' — 11/7 У'А/ 1 — ЛУ(2/У+ (2" — 3)о'~ где УУ представляет расстояние Хемминга для су-ичных (гу = 2") символов, показатель Я/) для А/представляет число ошибок в информационных символах, которые имеют место при выборе ветви на дереве или в решетке, отличающейся от соответствующих ветвей пути нз одних нулей, показатель />(/) для У. равен числу ветвей для данного пути.
Заметим, что минимальное свободное расстояние равно Ы„= 4 символам (4/г битам) Низкоскоростные й-дуальные сверточные коды можно генерировать различными путями, простейший сводится к повторению каждого символа, генерированного кодом со скоростью 1/2, г раз, где г =1, 2, ..., т (г =1 соответствует появлению каждого символа один раз). Если каждый символ в частной ветви дерева или решетки или диаграммы состояний повторяется г раз, то увеличивается параметр расстояний от У) до /7' Следовательно, передаточные функции для А-дуального кода со скоростью 1/2г равна '/'(в, л',.у)— 1- ИУ~2В'- (2" -3)В'1 (8.2.3 8) При передаче длинных информационных последовательностей параметр длина пути,/ в передаточной функции можно подавить, положив '.У = 1, Результирующую передаточную функцию Т(/3, Ж) можно дифференцировать по /У' и положить затем У=1.3то дает «~р,юД (г'-1а" — — 13,В', (8.2.39) ~1 -2/3" -(2' - 3)/3'"1:-4, где 1>, представляет число ошибок в символах, связанных с путем имеющим расстояние /3' от пути с одними нулями, как было описано ранее в разделе (8.2.3).Выра>кение (8.2.3.) можно использовать для расчета вероятности ошибки для Уг -дуальных кодов при различных условиях в канале.
Качество л-дуальных кодов с М-ичной модуляцией. Предположим, что Ф-дуальный код используется в соединении с М-ичными ортогональными сигналами в модуляторе, где М= 2'. Каждый символ кодера отображается в один из М возможных ортогональных сигналов. Считается, что в канале действует АБГШ. Демодулятор состоит из М согласованных фильтров.
Если декодер осуществляет декодирование жестких решений, качество кода определяется вероятностью ошибки символа Р,, Эта вероятность ошибки была рассчитана в главе 5 для когерентного н некогерентного детектирования. По Р, мы можем определить У>>(с/) согласно (8.2.28) или (8,2,29), что является вероятностью ошибки при парном сравнении пути из одних нулей с путем, который отличается в г/ символах. Вероятность ошибки на бит имеет верхнюю границу '>ь 1 'л 2.
ХРД(4 (8.2.40) Множитель '2' Я2 — 1) используется для превращения вероятности ошибки символа в вероятность ошибки на бит, ягл Ъ Вместо декодирования жестких решений предположим, что декодер осуществляет декодирование мягких решений, используя выход демодулятора, который использует квадратичный детектор. Выражение для вероятности ошибки на бит (8.2.40) все еще применимо, но теперь Р>(с1) определяется так (смотри раздел 12.1,1). 1 д-1 Р(с1) = — „,, ехр( — >уфсб)~~,Х~(~,Яй>, (8,2.41) =О где а й, = 1/2г скорость кода. Это выражение следует из результата (8.1.63.). Каскадные коды. В разделе 8.1.8 мы рассмотрели каскадное объединение двух блоковых кодов для того, чтобы сформировать длинный блоковый код.
Теперь, поскольку мы описываем сверточные коды,. мы расширим нашу точку зрения и рассмотрим каскадное объединение блокового кода со сверточным кодом или каскадное объединение двух сверточных кодов. Как было описано раньше, внешний код обычно выбирается недвоичным с выбором кодового символа из алфавита д = 2" символов. Этот код может быть блоковым кодом, таким как код Рида-Соломона нли сверточным кодом, таким как 1с-дуальнь>й код.
Внутренний код может быть как двоичным, так и недвоичным и блоковым или сверточным'. Для примера, в качестве внешнего кода можно выбрать код Рида-Соломона, а 1с-дуальный код можно выбрать в качестве внутреннего. В такой каскадной схеме число символов внешнего кода су = 2", так что каждый символ внешнего кода отображается 1с-битовым символом внутреннего 1с-дуального кода.
Для передачи символов можно использовать М-ичные ортогональные сигналы. Декодирование такого кода также может принимать различные формы. Если внутренний код сверточный и имеет короткое кодовое ограничение, алгоритм Витерби обеспечивает эффективный способ декодирования, используя декодирование либо мягких, либо жестких решений. Если внутренний код блоковый, и декодер для этого кода обеспечивает декодирование мягких решений, внешний декодер также может выполняться с мягким решением.
используя в качестве входов метрики, соответствующие каждому кодовому слову внутреннего кода. С другой стороны, внутренний декодер может выполнять декодирование жестких решений после получения кодовых слов и отправлять жесткое. решение внешнему декодеру. Тогда внешний декодер должен формировать декодирование жестких решений. Следующий пример описывает каскадный код, в котором внешний код сверточный, а внутренний — блоковый, Пример 8.2.5.
Предполо>ким, что мы сконструировали каскадный код, выбрав дуальный код в качестве внешнего кода и блоковый код Адамара в качестве внутреннего. Для конкретности, выберем 5-дуальный код со скоростью 1/2 и код Адамара (16, 5) в качестве внутреннего кода. Дуальный код со скоростью 1~2 имеет минимальное свободное расстояние В„= 4, а код Адамара имеет минимальное расстояние Ы,„= 8. Следовательно, каскадный код имеет эффективное минимальное расстояние 32. Поскольку имеется 32 кодовых слова в коде Адамара и 32 возмо>кных символа во внешнем коде. в Э итоге каждый символ внешнего кода отображается в одно из 32 кодовых слов кода Адамара.
Вероятность ошибочного декодирования символа внутренним кодом можно определить из результатов качества блоковых кодов, данных в разделах 8.1.4 и 8 1,5, соответственно, для декодирования мягких и жестких решений. Сначала предположим, что во внутреннем декодере осуществляется жесткое решение с вероятностью ошибки декодирования кодовых слов (символов внешнего кода), обозначенную Р,„, так как М= 32.Тогда качество внешнего кода и, следовательно, качество каскадного кода можно получить, используя эту вероятность ошибки в соединении с передаточной функцией для 5-дуального кода, определенной в (8.2.32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
