Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Диаграмма состояний — это просто граф возможных состояний кодера и возможных переходов из одного состояния в другое. Для примера на рис. 8.2.6 показана диаграмма состояний для кодера, показанного на рис. 8.2.2. Рис. 8.2.6. Диаграмма состояний дяя сверточиого кода, имеющего скорость 1/3, К=З Эта диаграмма показывает, что возможные переходы таковы а — ь а, а — — ь с, Ь вЂ” э а, Ь вЂ” + с, с — ь Ь, с — ь св', св' — й Ь, а' — + Ы, где сг †4 означает переход из состояния и в 13, когда входной бит 1.
Три бита, показанных далее на каждой ветви диаграммы состояний, представляют выходные биты. Пунктирная линия на графе означает, что входной бит 1, в то время как сплошная линия указывает, что входной бит О, 406 Пример 8,2.2. Рассмотрим сверточный код со скоростью 2/3, я=2, описанный в примере 8.2.1 и показанный на рис. 8.23 Первые два входных бита могут быть 00, 01, 10 илн 11. Соответствующие выходные биты — 000, 010, 111, 101.
Когда следующая пара входных битов входит в кодер, первая пара передвигается в следующую ячейку. Соответствующие выходные биты зависят от пары битов, переместившихся во вторую ячейку и новой пары входных битов. Следовательно, древовидная диаграмма для этого кода, показанная на рис, 8.2.7, имеет четыре ветви на узел, соответствующие четырем возможным парам входных символов. Поскольку кодовое ограничение кодера К=2, дерево начинает повторяться после второго шага. Как показано на рис. 8.2.7, все ветви, исходящие из узла, обозначенного а (состояния а) дают идентичные выходы.
Путем слияния узлов, имеющих одинаковое название, мы получаем решетку, показанную на рис. 8.2.8. Итоговая диаграмма состояний для этого кодера показана на рис, 8.2.9. Рнс. 8.2.7, Древовидная диаграмма дяя сварточного кода, имеющего параметры К=2, М=2, а=З Для обобщения отметим, что сверточный код со скоростью й/и и кодовым ограничением К характеризуется 2 ветвями, уходящими от каждого узла на древовидной диаграмме. Решетка и диаграмма состояний имеют (каждая из них) 2ыг П возможных состояний. Имеются 2" ветвей, входящих в каждое состояние, и 2' ветвей, покидающих каждое состояние (для решетки и дерева это верно после наступления установившегося режима). ооо а ооо а ооо а Рис.
8.2,8. Решетчатая диаграмма для сверточиого кода, имеющего параметры К=2, я=2, н=З Три типа диаграмм, описанных выше, используются также для представления недвоичных сверточных кодов. Если число символов в алфавите равно гг =2', 1г >1, результирующий недвоичный код можно также представить как эквивалентный двоичный код. Следующий пример рассматривает сверточный код этого типа. Рис, 8.2.9. Диаграмма состояний ддя сверточного юда, имеющего параметры К=2, /с=2, п=З Пример 3.2.3. Рассмотрим сверточный код, генерируемый кодером, показанном на рис.
8.2.10. Этот код можно описать как двоичный сверточный код с параметрами К=2, гг =2, и=4, Лс= 1/2 и с генераторами я, =[101Ю1, я, =~О1011, я, =1111О1, я, =~1ООЮ Выход Рнс. 8.2.10. Свбрточный юдер с К=2, ~2, н 8 408 > За исключением различия в скорости, этот код похож по форме на, сверточный код со скоростью 2/3, ~2, рассмотренный в примере 8.2,1 Альтернативно, код, генерируемый кодером рис. 8.2.10, можно описать как не двоичный (4 — 4) код с одним четырехпозиционным символом на входе и двумя четырехпозиционных символов на выходе. Действительно, если выходные символы кодера трактуются модулятором и демодулятором как г/-ичные (д=4), которые передаются по каналу посредством некоторой М-ичный 1М=4) модуляции, код можно соответственно рассмотреть как недвоичный, В' любом случае, древовидные, решетчатые диаграммы и диаграммы состояний независимы от того, как мы смотрим на код.
Это значит, что этот частный код, характеризуется деревом с четырьмя ветвями, исходящими от каждого узла, или решеткой с четырьмя возможными состояниями и четырьмя ветвями, входящими и покидающими каждое состояние, или, что эквивалентно, посредством диаграммы состояний, имеющей те же параметры, что и решетка. 3.2.1. Передаточная функция сверточного кода Дистанционные свойства и характеристики качества (вероятность ошибки) сверточного кода можно получить из его диаграммы состояний. Поскольку сверточный код линейный, набор расстояний Хемминга между кодовыми последовательностями, генерируемыми на определенном шаге дерева и последовательностью из, одних нулей, такой же, как набор расстояний кодовых последовательностей по отношению к другой кодовой последовательности.
Следовательно, мы предположим, без потери общности, что входом кодера является последовательность из одних нулей. Диаграмма состояний, показанная на рис. 8.2.6, будет использована для демонстрации метода получения дистанционных свойств сверточного кода. Сначала мы пометим ветви на диаграмме состояний как О' =1, ХЭ', В' или В', где показатель у й означает расстояние Хемминга между выходной битовой последовательностью, соответствующей ветви, н выходной последовательностью, соответствующей ветви из одних нулей. Собственную петлю у узла а можно исключить, поскольку она ничего не вносит в дистанционные свойства кодовой последовательности относительно кодовой последовательности из одних нулей. Дальше, узел а расщепляется на два узла, один из них представляет вход, а другой выход диаграммы состояний.
Рис. 8.2.11 иллюстрирует результирующую диаграмму. Рис. 8.2.11. Диаграмма состояний для сварточного кода, имеющего скорость 1/3, К=3 Мы используем эту диаграмму, которая теперь состоит из пяти узлов, поскольку узел и был расщеплен на два узла, для написания четырех уравнений состояния: 409 Х. =/3'Ха+ "-~Хь* -"ь = /3Х;+/об Х„= /3'Х, +/3'Х„, Х, =/3'Х,, (8.2.1) Лередаточная функция кода определяется как Т(й) = Х,/Х„. Решив уравнения состояния, данные выше, мы получим б Т(/3) =, = /3'+2/3'+4/3" +8/Э" +...= ~~ь бг,/3', (8.2.2) 1 — 2/3' ьыб где, по определению, 2'" "" (четные а') бг О (нечетные бб' ). (8.2.3) °- Рис. 8.2.12.
Диаграмма состояний дяя свврточиого кода, имеющего скорость 1/3, К=3 Уравнения для диаграммы состояний, показанной на рис. 8.2,12, таковы: Х Лзьх ВВХ Х ЮХ ЮХ Х„= ЛЮ Х, + //ЛЗ'Х„, Х, = ЛЭтХь. (8.2.4) 410 Передаточная функция этого кода указывает на то, что имеется единственный путь с расстоянием Хемминга и'=б от пути из одних нулей, который сливается с путем из одних нулей при данном узле. Из диаграммы состояний, показанной на рис. 8.2.б, или решетчатой диаграммы, показанной на рис. 8.2.5, видно, что путь с ~б это асЬе.
Нет других путей из узла а до узла в, имеющих расстояние ~б. Второе слагаемое в (8.2.2) указывает на то, что есть два пути от узла а до узла е, имеющих расстояние Ы=8. Снова из диаграммы состояний илн решетки мы видим, что этими путями являются асс/Ье и асЬсЬе. Третье слагаемое в (8.1.2) указывает, что есть четыре пути с расстоянием б/=10 и так далее. Таким образом, передаточная функция дает нам дистанционные свойства сверточного кода.
Минимальное расстояние кода называетсл минимальным свободным рассвояиием и обозначается И„. В нашем примере бг~„= б Передаточную функцию можно использовать для получения более детальной информации, чем только расстояния различных путей. Введем множитель /У для всех переходов ветвей, вызванных входным битом 1. Тогда, поскольку каждая ветвь пересекается, совокупный показатель ЬГ увеличивается на единицу только тогда, когда переход ветви обусловлен входным битом 1. Далее мы вводим множитель / для каждой ветви диаграммы состояний так, что показатель / будет служить счетной величиной, указывающей число ветвей для любого данного пути от узла а к узлу в.
Для сверточного кода со скоростью 1/3 в нашем примере диаграмма состояний, которая объединяет суммируемые множители,/ и У, показана на рис. 8.2.12. Ф Решая эти уравнения, получаем передаточную функцию УЗ урб Т(У3 Уг У) УзУ8У)б У4У082138 У5У082 Рб 1 — ЛИ (1+,У У5у1Гзу310 2 убу182 51ю угуузу3]0 (3.2.5) Пример 8.2.4. Сверточный код, показанный на рис.
8.2.10, имеет параметры К = 2, Уб =2, и=4. Допустим, что мы трактуем код как недвоичный. Так, вход кодера и выход кодера можно трактовать как четверичные символы. В частности, если мы трактуем вход и выход как четверичные символы 00, 01, 10 и 11, то расстояние, измеряемое в символах между последовательностями 0111 и 0000, равно 2. Далее предположим, что входной символ 00 декодируется как символ 11, тогда мы имеем одну ошибку в символе.
Это соглашение, примененное к сверточному коду, показанному на рис. 3.2.10, приводит к диаграмме состояний, иллюстрируемой рис. 8.2.13. Из нее мы получаем уравнения состояний: Х у1уу32Х + у1уу3Х + АХ + у1(уу32Х Х = ФЛ3' Х + У18УУ3' Х, + ИЛАХ, + УУРХ„ Х„= угуЛ32 Х„+ МЛЭХЗ + узууу3' Х, + ЛИ)Х„ (8.2.7) Х, = Лз'(Х, + Х, + Х,). 411 Эта форма передаточной функции дат свойства всех путей сверточного кода.
Эго значит, что первое слагаемое в выражении Т(У.З,Ф,.У) указывает на то, что путь с расстоянием бг' = 6 имеет длину 3 и что из трех информационных битов один «1». Второе и третье слагаемые в выражении Т(У.з,Ф„у) указывают на то, что из двух слагаемых с расстоянием бУ = 8 Одно длиной 4, а второе длиной 5. Два из четырех информационных бит в пути длиной 4 и два из пяти информационных бит в нуги длиной 5 являются «1».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
