Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 82
Текст из файла (страница 82)
8.1.14. Из вышеизложенного следует, что в пределе, когда А стремится к нулю, разница в ОСШ у„между декодированием жестких и мягких решений равна й х, что приближенно равно 2 дБ. С другой стороны, по мере увеличения Я, до единицы, разница в у„для двух разновидностей декодирования уменьшается. . 1,О д юдираванис с О а мвгасх решений " 0,6 ". О,4 деюдироввние о 0,2 жассхих ешеннй о -2 -1 О 1 2 3 4 5 6 Минимаааное ОСШ на бит, тв 1дв) Рнс. 8.1.14. Скорость кода как функция минимальною ОСШ на бнт прн декоднрованнн мяткнх н жестких решений Например, при вас — — 0,8 разница примерно равна 1,5 дБ.
Кривые на рис. 8.1.14 дают больше информации. чем только разницу в качестве между декодированием мягких и жестких решений. Эти кривые подробно определяют требуемые значения минимума ОСШ для данной скорости кода. Например, скорость кода й, = 0,8 может обеспечить сколь угодно малую вероятность ошибки при ОСШ на бит 2 дБ, если используется декодирование мягких ретпений. 392 1од,(1+х) хи(х — ~ х')/1п2, формула для пропускной способности канала сводится к 2 С= уД.
(8.1.95) п1п2 Теперь положим С = Я,, Тогда, в пределе, когда Я,-+О, получаем результат уь — — 4-я1п2 (0,37 дБ), (8.1.96) Пропускную способность канала с АБГШ с двоичным входом при декодировании мягких решений можно вычислить аналогичным образом. В разделе 7.1.2 мы привели выражение для пропускной способности (в битах на кодовый символ) для этого случая 1 С ю Д ) р(у1х)108а 49с, (8.1.97) ' р(у) где р(у~1), я = О, 1, означает ФПВ для выхода демодулятора при условии, что передан, соответственно, символ 0 или 1.
Для канала с АБГШ имеем р(у~1)ю г — е Я ' ', )с=0,1, М2я где т, = —,/Ж,, тп, = 318,, а =, Лта и 8, =- Я,.8ь. Безусловная плотность вероятности р(у) 2 1 определяется половиной суммы р(у~1) и р(у,О). Поскольку Л, стремится к нулю, выражение (8.1.97) для пропускной способности канала можно аппроксимировать формулой 2 (8. 1. 102) где 8;/ЛГ, = Я,у, — ОСШ на измерение.
Этот результат был получен в разделе 7.2. С другой стороны, если выход демодулятора квантуется на Д уровней до декодирования, то границу Чернова можно использовать в качестве верхней границы для усредненной по ансамблю вероятностей двоичной ошибки Р,(з„з„), данной в разделе 7.2. Результат такого расчета — та же верхняя граница для Р,, определенная по (8.1.101), но с заменой Я, на Лп, где (8. 1.
103) В (8.1.103) (Р,.) — априорные вероятности двух сигналов на входе канала и (Р(!1/)) означают переходные вероятности канала. Например, для случая ДСК и р, =Р, = ~ь, Р~О! 0) = Р(1) 1) = 1- р и Р(0[ 1) = Р(1) 0) = р следует 2 В =1ой, !~ /4р1! — р) (8.1. 104) где р = д(„/гу,~,). (8.1.105) Кривые Я в зависимости от 10181в./У,) иллюстрируется на рис. 8.1.15 для Я=2 и Д = сс (декодирование мягких решений). Заметим, что разница в качестве декодирования между некв анто ванным декодированием мягких решений и декодированием жестких решений приблизительно равно 2дБ.
Фактически, снова можно легко показать, что при 8,/У,-+О потеря в качестве, обусловленная декодированием жестких решений, равна 1018(я/2)=!2дБ, что является той же разницей в децибелах, которая была получена в нашем сравнении при 393 Ф Для сравнения заметим, что двоичная ФМ при отсутствии кодирования требует 9,б дБ для достижения вероятности ошибки 10 . Следовательно, возможен выигрыш в 7,б дБ при -5 использовании скорости кода й, =~.
К сожалению, для достижения такого большого выигрыша за счет кодирования обычно требуется применение очень длинных кодовых блоков, которые ведут к очень сложному приемнику. Тем не менее, кривые рис, 8.1.14 дают оценку для сравнения выигрыша кодирования, достигаемого практически реализуемыми кодами с основными ограничениями при декодировании мягких или жестких решений.
Вместо сравнения различия между декодированием жестких и мягких решений, основанного на соотношениях пропускной способности канала, мы можем делать такие же простые сравнения, основанные на параметрах скорости при случайном кодировании. В главе 7 мы показали, что средняя вероятность ошибки по ансамблю случайно выбранных двоичных кодовых слов имеет верхнюю границу Р<2""'~, (8. 1.
101) где А, = 1г/п — скорость кода, а предельная скорость Л, связывает верхнюю границу с Й, так, что Р, -+0 при п — +со, Для неквантованного декодирования (мягких решений) Я, определяется так использовании соотношений для пропускной способности канала. Напомним, что около 1 дБ этих потерь можно восполнить квантованием выхода демодулятора на трех уровнях вместо двух (см. задачу 7.11).
Дополнительное улучшение возможно путем квантования выхода демодулятора на число уровней, большее трех, как показано в разделе 7.3 ),0 сч 0,9 И СМ о,я 0„7 0,6 о 0,5 Я 0,4 0,З о,г ол 0 — 10 -5 0 )0 (0)я (к,о>,) (дБ) Рис, 3.1.15. Сравнение А, (декодирование мягких решений) с дс (декодирование >кесткик решений) в функции от ОСШ на измерение ! 8.1.7. Границы для минимальных расстояний линейных блоковых кодов Выражения для вероятности ошибки, полученные в этой главе для декодирования мягких и жестких решений линейных двоичных блоковых кодов, ясно указывает на важное значение параметра минимальное кодовое расстояние для качества кода. Если мы, например, рассмотрим декодирование мягких решений, верхняя граница вероятности ошибки, представленная в (8 1.52), указывает на то, что для заданной скорости кода Л„= 1/и вероятность ошибки в канале с АБГШ уменьшается экспоненциально с с>' „. Если эту границу использовать в соединении с нижней границей для Ы,„, данной ниже, мы получаем верхнюю границу для Р,, которую можно достичь многими известными кодами.
Аналогично, мы можем использовать верхнюю границу данную в (8.1.82) для вероятности ошибки при декодировании жестких решений в соединении с нижней границей для И,„для получения верхней границы для вероятности ошибочного декодирования линейных двоичных блоковых кодов в ДСК. С другой стороны, верхнюю граница для о>,„ можно использовать для определения нижней границы вероятности ошибки, достигаемой наилучшими кодами. Для примера, предположим, что используется декодирование жестких решений. В этом случае мы имеем две нижние границы для Р„, даваемые (8.1.86) и (8.1.87), причем первая более плотная. Если хотя бы одна из этих границ использовалась совместно с верхней границей для И„„„, то результатом будет нижняя граница для Р„для наилучшего (п,1) кода.
Таким образом, верхние и нижние границы с Ы,„очень важны для оценки эффективности кодов. 394 (8.1. 108) 1- — 1ой,с/ „< — 1 — В.+— В пределе, когда п -«сс, при с/ ь/и < ~ (8.1.110) приводит к Простая верхняя граница для минимального расстояния двоичного или недвоичного линейного блокового кода (п„/с) была дана в (8.1.14) как Ы < и-/с+1. Удобно нормировать это выражение через длину блока п .
Это дает с/ <(1-Л,)+-, 1 (8.1.106) п ' и где Я,— скорость кода. Для больших п слагаемым 1/п можно пренебречь. Если код имеет наибольшее возможное расстояние, т.е. д,„= п — /с+1, его называют разделимым кодом с максимольным расс«иоянием. Исключая случаи тривиального кода (п, 1) для передачи двоичных сообщений с повторением, не существует двоичных разделимых кодов с максимальным расстоянием.
Фактически верхняя граница в (8.1.106) для двоичных кодов весьма неточная. С другой стороны, существуют недвоичные коды с с/, =и — к+1. Например, коды Рида — Соломона, которые представляют подкласс БЧХ кодов, являются разделимыми кодами с максимальным расстоянием. В дополнение к верхней границе„ данной выше, имеется несколько плотных границ для минимального расстояния линейных блоковых кодов. Мы вкратце опишем четыре важные границы, три из них верхние границы, а четвертая нижняя. Доказательство этих границ сложное и не представляет особого интереса в нашем последующем обсуждении. Интересующемуся читателю можно порекомендовать главу 4 книги Питерсона и Уэлдона (1972) с этими доказательствами. Одна верхняя граница для минимальных расстояний может получиться из неравенства (8.1.83). Взяв логарифм от обеих частей (8.1.83) и разделив на п, мы получим 1-Я,) — 1оя, ~ ~,~ (8, 1.
107) Поскольку эффективность кода, измеряемая параметром /, связана с минимальным расстоянием, (8.1 107) является верхней границей для минимального расстояния. Ее называют верхней границей Хемминга. Получена асимптотическая форма (8.1.107) при и «со. Теперь для любого и пусть /„ является наибольшим целым /, при котором выполняется (8.1.107).
Тогда можно показать (Питерсон и Уэлдон, 1972) что при и — «соотношение //и для каждого (п,к) блокового кода не может превысить /,/и, где /,/п удовлетворяет условию 1-Л, = Н~/,/и), а Н() — двоичная энтропийная функция, определяемая (3.2,10). Обобщение границы Хемминга на недвоичные коды с основанием д простое: 1 — А, г — 1~8,~~~ ~(с/-1) (8.1. 109) Другую верхнюю границу, открытую Плоткиным (1960), можно определить так.
Число проверочных символов, требуемое для достижения минимального расстояния Ы „в линейном блоковом коде (п, /с), удовлетворяет неравенству ф — 1 и — к >~ — 1 — 1о8 с/ (8.1.110) д — 1 Для двоичного кода (8.1.110) можно выразить так ( „/и<',(1-Л.). (8.1.11 1) Наконец, имеется другая плотная верхняя граница для минимального расстояния, полученная Элиасом (Берлекэмп, 1968). Ее можно выразить в асимптотической форме: е1„,гги < 2А(1 — А), (8.1.112) где параметр А связан со скоростью кода уравнением Я, = 1+ А !ойг А+(1 — А) 1о8г(1 — А), 0 < А < г . (8.1.113) Существуют также нижние границы для минимального расстояния линейного блокового кода (и,гг), В частности, существует двоичный блоковый код, имеющий нормированное минимальное расстояние, которое асимптотически удовлетворяет неравенству (8.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
