Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Пусть 8 означает энергию переданного сигнала на кодовое слово и пусть 8, означает энергию сигнала, требуемую для передачи отдельного элемента (бита) кодового слова. Поскольку в кодовом слове и бит, то 8=п8,.Так как кодовые слова содержат 1г бит информации, то энергия на информационный бит 8 и 8 3~ — — — — — — 8 =-~-, (8.1.43) Считается, что все кодовые слова равновероятны с априорной вероятностью 1/М, Допустим, что символы кодового слова передаются посредством двоичной ФМ Каждое кодовое слово отображается одним из М сигналов, Из главы 5 мы знаем, что приемник, оптимальный по критерию минимума средней вероятности ошибки на кодовое слово, можно реализовать в канале с АБГШ в виде параллельного банка М фильтров, согласованных с М возможными сигналами.
Выходы М согласованных фильтров в конце каждого сигнального интервала, который определяется передачей п символов кодового слова, сравниваются и выбирается кодовое слово, которому соответствует максимальный выход согласованного фильтра. Альтернативно можно использовать М взаимных корреляторов В любом случае, реализацию приемника можно упростить. Это значит, что эквивалентный оптимальный приемник можно реализовать, используя единственный фильтр (или коррелятор), согласованный с двоичным ФМ сигналом, использованным для передачи каждого бита кодового слова, а за ним декодер, который формирует М величин для решения, соответствующих М кодовым словам.
Для конкретности, пусть г,, 1 = 1, 2, ...,и, представляют и последовательных отсчетов выхода единственного согласованного фильтра для конкретного кодового слова. Поскольку используется сигнал двоичной ФМ; выход гг можно выразить или так; г, =,К+я, (8.1.44) когда г-й разряд кодового слова содержит «1», или так; гг = — Я+и,., (8.1.45) когда у-й разряд содержит «0», Величины (и,.) представляют АБГШ в отсчетных точках. Каждое п, имеет нулевое среднее и дисперсию ~~У,.
Зная М возможных к передаче кодовых слов и принятые значения (гг), оптимальный декодер формирует М корреляционных метрик СМ„= С(г, С,) = ~(2с,. — 1)г„!' = 1, 2, „, М, (8,1 46) у=1 где с„. означает символ на 1'-ой позиции 1-го кодового слова. Так, если с.. = 1 а взвешивающий множитель 2с« — 1 = 1, а если с« = О, взвешивающий множитель 375 2с„— 1 = г1. Такое взвешивание приводит к тому, что корреляционная метрика, соответствующая действительно переданному кодовому слову, будет иметь среднюю величину Яп, в то время как другие М-1 метрик будет иметь меньшее значение.
Хотя вычисления, требуемые для формирования корреляционных метрик для мягкого декодирования согласно (8,1,46), относительно простые, вс6 же затруднительно вычислять (8,1.46) для всех возможных кодовых слов, когда число кодовых слов велико, например М>2". В этих случаях все же возможно реализовать декодирование мягких решений, используя алгоритмы, которые применяют технику для отбрасывания неправдоподобных кодовых слов без вычисления всего набора их корреляционных метрик, определяемых (8.1,46), Несколько типов такого декодирования мягких решений были описаны в литературе. Интересующихся этим читателей отошлем к сгатьям Форин (1966), Уэлдона (1971), Чейза (1972), Вайнберга и Вольфа (1973), Вольфа (1978) и Матиса и Модестино (1982).
Для определения вероятности ошибки блокового кода заметим, что, когда такой код применяется в двоичном симметричном канале, каким является канал с АБГШ, и когда осуществляется оптимальное декодирование мягких решений, то вероятность ошибки при передаче т-го кодового слова одинакова для всех т. Поэтому для простоты предположим, что передается кодовое слово С„состоящее из одних нулей. Для правильного декодирования С, корреляционная метрика СМ, должна превышать все остальные М вЂ” 1 корреляционные метрики СМ, т=2,3, ...,М.
Все метрики распределены по Гауссу. Среднее значение СМ, равно Яп, в то время как средние значения для СМ, т= 2, 3, ...,М, равны Дп(1-2в 1п) Дисперсия для каждой величины, участвующей в решении, равна ~~У,. Нахождение точного выражения для вероятности правильного декодирования или, что эквивалентно, нахождение вероятности ошибки в кодовом слове усложняется наличием корреляции между М корреляционными метриками. Коэффициенты взаимной корреляции между С, и другими М-1 кодовыми словами равны р„=(1 — 2н' (и), т=2, 3, ...,М, (8.1.47) где в означает вест-го кодового слова . Вместо того, чтобы пытаться получить точную формулу для вероятности ошибки, мы обратимся к объединенной верхней границе. Вероятность того, что СМ„> СМ,, равна Р( )=~~ — 11-р.), (8.148) О где й=й~- энергия сигнала кодового слова.
Подставив для р„значение из (8.1.47), а для 8 значение из (8.1.43.), получаем (8.1.49) где у, — это ОСШ на бит, а А, — скорость кода. Средняя вероятность ошибки кодового слова ограничена сверху суммой вероятностей ошибок двоичных событий, определяемых (8.1.49.), т.е. м м Р„~ ~ р(-ь кфгт.я-.) (8.1.50) ю~2 ~п=2 Вычисление вероятности ошибки декодирования мягких решений согласно (8.1.50) 376 требует зимания распределения весов кода. Распределения весов для многих кодов даны во многих изданиях по теории кодирования, например, Берлекэмпа (1968) и МакВильямса и Слоэна (1977). Некоторую свободную (неплотную) границу можно получить, заметив, что (8.1.
51) Следовательно Р ~~И вЂ” 1х(/2У,Я~ ) р1-у,~, Й1 2). (81,52) Эта граница особенно полезна, поскольку она не требует знания распределения весов кода. Если верхнюю границу в (8.1.52.) сравнить с характеристикой качества двоичных систем ФМ без кодирования, которые ограничены сверху как,ехр( — 7~), находим, что 1 кодирование дает выигрыш примерно на 1018(Я,Й „— 7г 1л2/7,) дБ .Мы можем это назвать выигрыш огл кодирования. Заметим, что величина выигрыша зависит от параметров кода, а также от ОСШ на бит 7,.
Выражение для вероятности ошибки ансамбля сигналов с одинаковой взаимной корреляцией любой пары, что выполняется для симплексной системы сигналов, описанной в разделе 5.2, позволяет получить третью аппроксимацию для вероятности ошибки передаваемых сигналов. Мы знаем, что максимальное значение коэффициента взаимной корреляции между парой кодируемых сигналов равно 2 р.„. =1-- (,,„. (8.1. 53) п Если предположить (в наихудшем случае), что все М кодовых слов имеют коэффициент взаимной корреляции, равный р, то вероятность ошибки кодового слова можно легко вычислить. Поскольку некоторые кодовые слова разделены больше, чем на минимальное расстояние, вероятность ошибки, вычисляемая при р„= р, имеет фактически верхнюю границу.
Таким образом, Границы качества для линейных блоковых кодов, данные выше, даны для вероятности ошибки блока или вероятности ошибки кодового слова. Получить оценку эквивалентной вероятности ошибки на бит Р, существенно более сложно. В общем, если произошла ошибка в блоке, некоторые из Ф информационных бит в блоке будут приняты без ошибки, а некоторые останутся с ошибкой. Для ортогональных сигналов множитель конверсии, на который надо умножить Р„, чтобы получить Р„равен 2" Я2" — 1).
Этот множитель равен единице для 7г=1 и приближается к ~г по мере увеличения Й, что эквивалентно предположению, что, в среднем, половина от информационных бит будут с ошибкой, когда произошла ошибка в блоке. Множитель конверсии для кодированных сигналов зависит сложным образом от дистанционных характеристик кода, но он, конечно, не хуже, чем в предположении, что, в среднем, половина из й информационных бита будут с ошибкой, если произошла ошибка в блоке. Следовательно, Р, ~ г Рм. Границы качества, даваемые (8.1.50), (8.1.52) и (8,1.54), также годятся для случая, когда пара двоичных символов кодового слова передается четверичной ФМ, поскольку четверичную ФМ можно рассматривать как эквивалент двух независимых двоичных сигналов ФМ, переданных в квадратуре.
Более того, границы (8.1.52) и (8.1.54), которые 377 г, =Я+и„1 ') у=1,2,,и, г, =и. и (8.1.56) где (и„), 1= 0,1; у = 1, 2, ...,и-взаимно статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией ~~У,. Следовательно, СМ, является гауссовской величиной со средним Ди и дисперсией з ЛГ,. С другой стороны, корреляционная метрика СМ , соответствующая кодовому слову с весом и , является гауссовской случайной величиной со средним 1в,и(1 — м 'ги) и дисперсией ~и%,. Поскольку величины (СМ ) коррелнрованны, мы снова обращаемся к о границе Коэффициенты корреляции определяются так: р = 1 — ю„(и. Следовательно, вероятность того, что СМ > СМ,, равна Р2(и~) 0(~Вью т) ' Сравнение этого результата с тем, который дается (8.1,49) для когерентной ФМ показывает, что когерентная ФМ требует на 3 дБ меньше ОСП1 для достижения того же качества, Это не удивительно с учетом того факта, что некодированная двоичная ФМ на 3 дБ лучше, чем двоичная ортогональная ЧМ при когерентном детектировании.
Таким образом, преимущество ФМ относительно ЧМ сохраняется для кодированных сигналов. Затем мы заключаем, что границы, данные (8.1.50), (8.1.52), (8.1.54), приемлемы для кодированных сигналов, передаваемых посредством двоичной ортогональной когерентной ЧМ, если у, заменить на, у„. Если в приемнике используется квадратичное детектирование двоичных ортогональных ЧМ сигналов, качество дополнительно ухудшается за счет потерь при некогерентном сложении, как будет указано в гл. 12. Предположим снова, что передавтся кодовое слово из одних нулей. Тогда корреляционные метрики определяются (8,1.55), где величины на входе декодера теперь равны бъединеннои (8.1.57) (8.1,58) 378 зависят только от минимального расстояния кода, приемлемы также к нелинейным двоичным кодам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
