Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Таким образом, обнаруживаются образцы с четырьмя ошибками, но только образцы с двумя ошибками исправляются. Другими словами, если возникнут только две ошибки, они исправятся, а если возникнут три или четыре ошибки, приемник может. запросить повторение. Если возникают более чем четыре ошибки, они останутся необнаруженными, если кодовые слова попадают внутри сферы радиуса 2. Аналогично, 386 при И . ='7 можно обнаружить пять ошибок и одну исправить.
В общем, код с минимальным расстоянием И может обнаружить е„ошибок и исправить е, ошибок, если е +е,~а'. — 1 и е,<е. ° ° Ф Ф Рис. 8.1.11. Представление юдавых слав в виде центрав сфер радиуса )=!11.,„-1)а)' Вероятность ошибки при декодировании с исправлением ошибок. Мы завершим этот раздел определением вероятности ошибки при декодировании жестких решений для линейных двоичных блоковых кодов, основываясь только на исправлении ошибок. Из вышеизложенного ясно, что оптимальный декодер в симметричном двоичном канале будет декодировать правильно, если 1но не обязательно только если) число ошибок в кодовом слове меньше, чем половина минимального расстояния о' . кода.
Это значит, число ошибок не выше 1=~ф — 1)~ всегда исправится. В двоичном симметричном канале без памяти ошибки в отдельных символах возникают независимо. Следовательно, вероятность т ошибок в блоке из п символов равна Р(тп,п) = (щ)Р (1 — Р) 18.1. 81) и, следовательно, вероятность ошибки кодового слова ограничена сверху выражением л Р, ь ~ Р(т,п). 18.1.82) п=ь1 Равенство в 18.1.82) имеет место, если линейный блоковый код совершенный. Чтобы описать базовые характеристики совершенного кода, предположим, что мы размещаем сферу радиусом 1 вокруг каждого возможного кодового слова. Каждая сфера вокруг кодового слова содержит набор всех кодовых слов с расстоянием Хемминга относительно центра, меньшим или равным 1.
Теперь число кодовых слов в сфере 'радиуса 25* 387 (8.1.87) С другой стороны, Р, не может быть больше, чем умноженная в М вЂ” 1 раз вероятность ошибочного декодирования переданного кодового слова в ближайшее кодовое слово, которое имеет расстояние п,„от переданного кодового слова: Ам Рм <(М вЂ” 1) ~ р"(1 — р) '"' . (8 1 88) =(а „,д):1 Когда М велико, нижняя граница (8.1.88) и верхняя граница (8.1.87) весьма далеки одна от другой.
Плотную верхнюю границу для Р, можно получить, используя границу Чернова, представленную раньше в разделе 2.1.6. Предположим снова, что передается кодовое слово из одних нулей.При сравнении принимаемого кодового слова с кодовым словом из одних нулей и с кодовым словом веса и вероятность ошибки декодирования, полученная из границы Чернова (задача 8.22), ограничена сверху выражением Р,(гг„) ~ ~4р(! — р)) Объединение вероятностей двоичных решений ведет к верхней границе м Р, ъ „Г (4р(! — р)] (8.1.90) Более простую версию (8.1.90) можно получить, если взять д вместо распределения весов.
Т.е. (8.1. 89) Р ((М вЂ” 1)(4р(! — р)) (8.1.91) Конечно, (8.1.90) — более плотная граница, чем (8.1.91). В разделе (8.1.6) мы сравним различные границы, данные выше, для конкретного кода, а именно кода Голея (23, 12). Дополнительно мы сравним характеристики качества при декодировании жестких и мягких решений. ЗЗ9 кодовых сЬов, имеющих расстояние г+! от переданных кодовых слов. Как следствие, от О образцов ошибок с расстоянием г+! от каждого кодового слова мы можем п1 1+1) исправить !)„, образцов ошибок. Таким образом, вероятность ошибочного декодирования квазисовершенного кода можно выразить так: Р, = ~)',Р(т,п)+ — ~3„, '"(1 — р) (8,1 86) Имеется много известных квазисовершенных кодов, хотя они не существуют для всех наборов п и 1г. Поскольку такие коды оптимальны для двоичного симметричного канала, то любой (п,1с) линейный блоковый код должен иметь вероятность ошибки, которая, по крайней мере, принимает значение (8,1.86).
Следовательно, (8.1.86) является нижней границей вероятности ошибки декодирования для любого линейного блокового кода (л, к), где г — наибольшее целое, так чтобы В,„, > 0. Другую пару значений для верхней и нижней границ можно получить, рассматривая два кодовых слова, которые отличаются на минимальное расстояние. Сначала заметим, что Рм не может быть меньше, чем вероятность ошибочного декодирования переданного кодового слова в ближайшее кодовое слово, которое имеет расстояние Ы„от переданного кодового слова.
Т.е. 8.1.6, 'Сравнение качества декодирования жестких и мягких решений Интересно и поучительно сравнить границы характеристик качества линейных блоковых кодов в канале с АБГШ при декодировании мягких и жестких решений. Для иллюстрации мы используем код Голея (23, 12)„который имеет относительно простое распределение весов, данных в таблице 8.1.1. Как было констатировано раньше, этот код имеет минимальное расстояние 42) „= 7. Сначала мы рассчитаем и сравним границы вероятности ошибки при декодировании жестких решений. Поскольку код Голея (23, 12) является совершенным, точное выражение для вероятности декодирования жестких решений равно (8.1.92) где р — вероятность ошибки двоичного элемента в двоичном симметричном канале. Предполагается, что для передачи двоичных элементов кодового слова используется двоичная (или четверичная) ФМ и осуществляется когерентная обработка в месте приема, При этих условиях соответствующее выражение для р дано в (8.1.13) Дополнительно к точному выражению для вероятности ошибки, даваемое (8.1.92), мы имеем нижнюю границу, даваемую (8.1.81) и три верхние границы, даваемые (8.1.88), (8.1.90) и (8.1,91) Численные результаты, полученные из этих границ, сравниваются с точным значением вероятности ошибки на рис.
8.1.12. 1О-' 5 10-2 8 5 о 2 8 10-- Я й 5 10-4 о 0 2 22 10-' 5 ю-' о 2 4 о а )о 12 14 ОСШ на 6442,24 1лв) Рис. 3.1.12. Сравнение граничных и точных значений вероятности ошибки длл декодирования я4есткнх решений длл кода Голея (23,12) Видим, что нижняя граница очень свободная. При Р24 = 10 ' нижняя граница отличается примерно на 2 дБ по сравнению с точным значением вероятности ошибки. При Р„=10 ' разница увеличивается примерно до 4дБ. Из трех верхних границ наиболее плотная та, которая определяется (8.1.88); она отличается меньше, чем на 1дБ по сравнению с точным значением вероятности ошибки при Ры =10 '.
Граница Чернова (8.1.90), которая использует распределения весов, также относительно плотная. Наконец, 390 2 10 ' я о 5 о Й !0-3 о 10ь ь 'о 5 2 ш Ю-' 10-ь О 2 4 б 8 1О 12 14 Осш на бит, уь Огв) Рис. 8.1.! 3. Сравнение декодирования мягких и жестких решений длл кода Голеи (23,12) граница т1ернова, которая использует только ~инимальное кодовое расстояние, наихудшая из трех. При Рм = 10 ' она отличается от точного значения вероятности ошибки примерно на 2 дБ. Все три верхние границы очень неточные для значений вероятности ошибки выше Р, =10 '. Интересно также сравнить характеристики качества при декодировании мягких и жестких решений.
Для этого сравнения мы используем верхние границы для вероятности ошибки при декодировании мягких решений, даваемые (8.1.52), и точное выражение для вероятности ошибки для декодирования жестких решений, определяемое (8,1.92), Рис. 8.1.13 иллюстрирует эти характеристики качества. Мы видим, что две границы для декодирования мягких решений отличаются 10' ь, примерно на 0,5 дБ при Р = 10 и примерно на ь 1 дБ при Р, = 10 '. Мы также видим, что декодировано разница в качестве декодирования жестких и ° мягких решений мягких решений примерно равна 2 дБ в области % 10 < Р, <10 '.
В области Р„)10 ' кривая вероятности ошибки при декодировании с жестким решением пересекает кривые для границ вероятности ошибки при декодировании мягких решений. Такое поведение указывает на гранина то, что границы для декодирования мягких точно решений неточные, когда Рм ) 10 '. Ве няя Разница в 2 дБ (по ОСШ на бит) между декодированием жестких и мягких решений применима не только для кода Голея, но является фундаментальным результатом, который применим в общем к кодированию в системах цифровой связи в каналах с АБГШ. Этот результат получен ниже при расчете пропускной способности канала с АБГШ при декодировании жестких и мягких решений, Пропускная способность ДСК в битах/символ, полученная в разделе 7.1.2, равна С =1+Р108, р-,(1-Р)108,(1-Р), (8.1.
93) где вероятность ошибочного приема двоичного элемента р при использовании когерентной ФМ в канале с АБГШ определяется (8.1.13). Предположим, что мы используем (8.1.13) для р, и пусть С = Л, в (8.1.93), и тогда определим у„которое удовлетворяет уравнению. Результат показан на рис. 8,1.14 в форме кривой зависимости Ь', от у,. Например, предположим, что мы хотим использовать код со скоростью Я, = я, Для этой скорости кода видим, что минимальное значение ОСШ на бит, требуемое для достижения пропускной способности канала при декодировании жестких решений, равно примерно 1,6 дБ Каков предел ОСШ на бит, когда скорость кода стремится к нулю? Для многих значений тг', вероятность Р можно аппроксимировать так; Р= г-~6ь~~.й (8.1.94) Если выражение для р подставить в (8.1.93), а логарифм в (8.1.93) аппроксимировать как 391 (8.1.98) Сриуьл,/1п2. (8.1.
99) Опять предположим С= тт,. Таким образом, когда т1, — р О, минимальное значение ОСШ на бит, требуемое для достижения пропускной способности, равно уь =!п2 ( — 1,6 дБ). (8.1.100) Используя (8.1.98) в (8.1,97) н положив С= Я, можно получить численное решение для скорости кода в области 0<Я, <1. Результат этих расчетов также показан на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
