Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Если для передачи каждого символа кодового слова через канал с АБО используется двоичная ортогональная ЧМ, оптимальный приемник можно реализовать посредсгвом двух сОгласованных фильтров, один согласованный с частотой, соответствующей передаче О, а другой согласованный с частотой, соответствующей передаче 1. За ними следует декодер, который формирует М корреляционных метрик, соответствующих М возможным кодовым словам. В любом случае, пусть г,, и г„— отсчеты на входе устройство сложения. Корреляционные метрики, сформированные декодером, можно выразить так и СМ =Ц „„+(! —,1„1 ~=1,2,,Ы, ~8151) /=! где с„представляет у-й символ в 1-м кодовом слове.
Кодовое слово, соответствующее наибольшому из (СМ ~, выбирается в качестве переданного кодового слова. Если осуществляется когерентное детектирование сигналов двоичной ЧМ, случайные величины (г„) и (го) являются гауссовскими и, следовательно, корреляционные метрики (СМ,) также гауссовские, В этом случае границы для качества кода легко найти. Для конкретности, предположим, что передается кодовое слово С,, состоящее из одних нулей. Тогда «,.= У (8.1.59) У.= 3' (8.1.60) СМ,= » г,», 7=! в то время как корреляционные метрики, соответствующие кодовым словам с весом !« статистически эквивалентны корреляционным метрикам кодовых слов, в которых с =1 для 1<7' < в„и с = О для в! +1< 7' < и. Таким образом, СМ„можно выразить так И и СМ„= »' «7+ ~„«0, (8.1.61) /=1 !=ю Н Разность между СМ, и СМ„равна СМ, — СМ = ~' («,, — «!,), !=! (8.1.62) а вероятность ошибки равна вероятности того, что СМ, — СМ„, <О.
Но эта разность является частным случаем общей квадратичной формы комплексных гауссовских случайных величин, рассматриваемых в гл. 12 и в приложении В. Выражение для вероятности ошибки при различении СМ, и одного из сигналов СМ имеет вид (см. раздел 12.1.1): 1 в -! Р~(!я) = г -! ехр(, г УьК!«) ~' К(г у~В,в )), (8.1.63) ю=О где, по определению, (8.1.64) Объединенная граница, получаемая путем суммирования Р,(«я) по 2 < и < М, дает нам верхнюю границу для вероятности ошибочного декодирования кодового слова. Как альтернативу, мы можем использовать минимальное расстояние вместо распределения весов, и получить менее плотную верхнюю границу М-1 Р~ < ~~ ! ехр( г У!,Фч ) ~~» К>(Фу~)1 н' 7! .
(8.1.65) ьа Меру потерь из-за некогерентного сложения, при квадратичном детектировании и сложении п элементарных двоичных сигналов в кодовом слове, можно получить из рис. 12.1.1, если Ы . используется вместо А. Полученные потери соответствуют случаю, когда и элементарных двоичных ФМ сигналов сначала детектируются когерентно и складываются согласно (8.1.55), а затем суммы подвергаются квадратичному детектированию или детектируется огибающая для того, чтобы получить М величин для решения.
Вероятность ошибки при двоичном различении для последнего случая равна Р,(»я) = — ехр(-~7,Я,н ), 1 (8.1.66) 379 где (Ф„) и (Ф„) представляют комплексные статистически взаимно независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними и дисперсией Л»,. Корреляционная метрика СМ, равна и, таким образом, Рм ь г М 1) ехр( г уьКи' (8.1.67) Требуемую полосу канала для передачи кодированных сигналов можно определить следующим образом. Если для передачи каждого символа кодового слова используется двоичная ФМ, то требуемая полоса примерно равна величине, обратной интервалу времени, требуемого для передачи каждого кодового символа. При скорости передачи А бит/с время, требуемое для передачи я информационных символов и и — яизбыточных (проверочных) символов (всего и символов) равно Т = й~А.
Следовательно, 1 л Я Ю'= — = — =— (8.1.68) Т(п Й/А А, ' Таким образом, коэффициент расширения полосы В, для кодированного сигнала и~ и В,= — = — = —: Я Й Я, (8.1.69) С другой стороны, если для передачи кодового символа в кодовом слове используется двоичная ЧМ и некогерентное детектирование, то И~ = 2п~Т и, следовательно, множитель расширения полосы увеличивается примерно в 2 раза относительно ФМ. В любом случае В, увеличивается обратно скорости кода или, что эквивалентно, он увеличивается линейно с увеличением размера кода и. Мы теперь в состоянии сравнить и характеристики качества, и требования по полосе для кодированных сигналов при использовании ортогональных сигналов для передачи кодовых элементов.
Сравнение выражения для Р„, даваемого (5.2.21) для ортогональных сигналов, и (8.1.54) для кодированных сигналов с ФМ и когерентным приемом показывает, что кодирование сигналов ведет к энергетической потере самое большее 1018(п/2Ы,„) дБ относительно ортогональных сигналов, при том же числе сигналов. С другой стороны, если мы скомпенсируем потери в ОСШ, обусловленные кодированием ФМ, увеличением числа кодовых слов, так что передача кодированных сигналов потребует М, =2"' сигналов, а ортогональных сигналов потребуется М, =2", тогда [исходя нз объединенных границ (5.2.27) и (8.1.52)) качество, полученное двумя наборами сигналов при больших ОСШ примерно равно, если й, = 2Я,а~,.„.
(8.1.70) Исходя из этих условий, множитель расширения полосы для ортогональных сигналов можно выразить так: 21о8, Мо (8.1.71) имеем В„= 1/Я,. Отношение В„, даваемое в то время как для кодированных сигналов (8.1.71), к В В 2'"»' ' »а В„ 4Ы (8.1.72) 380 < ~Р(т) Если вместо распределения весов использовать И„,„, то объединенная граница для вероятности ошибочного декодирования кодового слова в последнем случае определяется так: определяет меру отношения полос между ортогональными сигналами и кодированными сигналами при использовании ФМ и когерентного приема. Например, предположим, что мы используем двоичный циклический код (бЗ, ЗЗ), который имеет минимальное расстояние а'„ь =12.
Отношение полос ортогональных сигналов и кодированных сигналов ФМ, определяемое (8,1.72), равно 127. Это указывает на частотную эффективность, получаемую кодированием применительно к ортогональным сигналам. 8.1.5. Декодирование жестких решений Границы, данные в разделе 8.1.4 для качества кодированных сигналов в канале с АБГШ, основывались на предпосылке, что отсчеты на выходе согласованного фильтра или коррелятора не квантованы. Хотя такая обработка обеспечивает наилучшее качество, принципиальным ограничением являются вычислительные затраты по формированию М корреляционных метрик и их сравнению для определения наибольшей. Количество вычислений получается чрезмерным, когда число кодовых слов М велико.
Для сокращения вычислительных затрат аналоговые отсчеты на выходе согласованных фильтров можно квантовать и операции декодирования выполнить как цифровые. В этом подразделе мы рассмотрим крайний случай, когда каждый отсчет, соответствующий одному символу кодового слова, квантуегся на два уровня: нуль и единица. Это значит, что принято решение (жесткое решение) о том, передан ли с каждым кодовым символом кодового слова «0» или «1».
Результирующий канал с дискретным временем (сосгоящий из модулятора, канала с АБГШ и демодулятора) образует ДСК с вероятностью ошибки р. Если для передачи кодового символа кодового слова используется двоичная ФМ и осуществляется когерентный прием, то р=д( -" =ф,/г~в (8.1.73) о С другой стороны, если для передачи кодового символа кодового слова используется двоичная ЧМ, тогда р = Д(~~у ٠— при когерентном детектировании (8.1.74) р = ~~ехр(-~у,Я,) — при некогерентном детектировании. (8.1,75) Декодирование по минимальному расстоянию (правило максимального правдоподобия). Жесткие решения демодулятора для каждого принятого кодового слова поступают на декодер, который сравнивает принятое кодовое слово с М возможными переданными кодовыми словами и принимает решение в пользу кодового слова, которое ближе всего по Хеммингу к принятому кодовому слову, т.е.
отличается от него в наименьшем числе разрядов. Это правило декодирования по минимальному расстоянию оптимально в том смысле, что оно обеспечивает минимальную вероятность ошибочного декодирования кодового слова в двоичном симметричном канале. Концептуально простой, но в вычислительном отношении неэффективный, метод для декодирования жестких решений сводится к тому, чтобы сначала суммировать (шод 2) принятый вектор кодового слова со всеми М возможными к передаче кодовыми словами С,, чтобы получить векторы ошибок е,. Таким образом, е, представляет ошибочное событие, которое должно произойти в канале для того, чтобы превратить кодовое слово С,, в данное принятое кодовое слово.
Число ошибок при превращении С, в принятое кодовое слово как раз равно числу единиц в е, Таким образом, если мы просто сосчитаем 381 С,,+е, С,,+е, е,, С,+е,„, С,+е,, ... С,,+е,, Эту таблицу называют стандартным расположением для заданного кода. Каждая строка, включая первую, состоит из к принимаемых кодовых слов, которые образуются из соответствующих образцов ошибок первого столбца. Каждую строку называют смежным классом, а первые (самые левые) кодовые слова (или образцы ошибок) называют лидерами смежных классов. Следовательно„смежный класс состоит из всевозможных принимаемых слов, получающихся от частного образца ошибки (лидера смежного класса). Пример 8.1.10. Сконструируем стандартное расположение для систематического кода (5, 2) с порождающей матрицей О 1 О 1 1 382 вес каждо8о их М векторов (е,.) и примем решение в пользу кодового'слова, которое привело к наименьшему весу вектора ошибки, мы фактически имеем реализацию правила декодирования по минимуму расстояния.
Более эффективный метод для декодирования жестких решений сводится к испольеованию проверочной матрицы Н. Для детальной разработки вопроса, предположим, что С вЂ” это переданное кодовое слово, а У вЂ” принятое кодовое слово на выходе демодулятора. В общем случае У можно выразить так У=С +е, где е означает произвольный вектор ошибок. Произведение Ъ'Н' дает с учетом (8.1.9) УН' = (С + е)Н' = С Н'+ еН' = еН' = Я, (8.1.7б) где (и — к) -мерный вектор Я называется синдромом образца ошибки. Другими словами, вектор Б имеет нулевые компоненты для тех уравнений проверочных символов, которые выполняются, и ненулевые компоненты для тех уравнений проверочных символов, которые не выполняются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
