Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Подробнее, мы знаем, что, когда выбирается неправильный путь, информационные символы, по которым отобранный путь отличается от правильного пути, будут декодированы неправильно. Мы также знаем, что показатель в множителе 1т', содержащийся в передаточной функции Т(0, М), указывает на число ошибок по информационным символам (число «1») при выборе неправильного пути, который сливается с путем из одних нулей в одном и том же узле В.
Если мы умножим вероятность ошибки двоичного перехода Р„(а) на число неправильно декодированных информационных символов в неправильном пути у узла, где он пересекается с правильным, мы получим вероятность ошибки на бит для этого пути. Средняя вероятность ошибки на бит бграничена сверху путем умножения каждой парной вероятности ошибки Р,Я на соответствующее число неправильно декодированных информационных символов, для каждого возможного неправильного пути, который сливается с правильным путем у В -го узла, и суммированием по всем Н. Подходящие множители для умножения, соответствующие числу ошибок по информационным символам для каждого неправильно выбранного пути можно получить дифференцирования Т(1:1, Ф) по Ф. В общем Т(О, Ф) можно выразить так разрешить случайным выбором одного из путей; так что ошибка возникнет в половине случаев.
Следовательно, вероятность выбора неправильного пути равна Р2(Д = > р" (1 — р) + — р"/'(1 — р) . (8.2.29) г Как указано в разделе (8.2.3), имеется много возможных путей с различными расстояниями, которые сливаются в данном узле с путем из одних нулей. Следовательно, вероятность первого ошибочного события не являются точным выражением. Однако мы можем определить верхнюю границу посредством суммирования парных ошибок Рг(г/) по всем возможным путям, которые сливаются при данном узле с путем из одних нулей.
Таким образом мы получим объединенную границу Р,, « ~а„рг(И), (8.2.30) где коэффициенты (а„) представляют число путей, соответствующих набору расстояний (г/) . Эти коэффициенты являются коэффициентами в вырагкении передаточной функции Т(/3) или Т(В,У). Вместо использования выражения для /г(~/), даваемое (8.2.29) и (8.2.30), мы можем использовать верхнюю границу Р,(/) <(4р(1-р)~ (8.2. 31) которая была дана в разделе 8.15. Использование этой границы в (8.2.30) дает свободную верхнюю границу для вероятности первого ошибочного события в виде Р, < г а„~4р(1 — р)1 < Т(/3) (8.2.32) Теперь определим вероятность ошибки на бит.
Как в случае декодирования мягких решений, мы используем тот факт, что показатели в множителях Ю, которые имеются в передаточной функции Т(/3,/у) указывают на число ненулевых информационных символов, которые ошибочно приняты, когда неправильный путь выбран вместо пути из одних нулей. Путем дифференцирования Т(/3, /У) по, Ж и приравнивания У = 1 в результате получим значения для соответствующих вероятностей первых ошибочных событий Рг(4. Так мы получим выражение для верхней границы вероятности ошибки на бит в виде Р, < ~ ~3„рг(~г), (8.2.33) г~од1 с/д/ ггм,гг=~11г 0 г) (8.2.34) Если 1 >1, результат(8.2.33) и(8.2.34) для Р, надо разделить на Ф. На рис. 8.2.15 дано сравнение вероятности ошибки для сверточного кода со скоростью 1/3, К= 3 при декодировании мягких и жестких решений. Заметим, что верхняя граница 4гО где ф„) — коэффициенты в выражении для производной Т(/Э,У), рассчитанной при гУ =-1.
Для Рг(г/) мы можем использовать или выражения, данные (8.2.28) и (8,2.29), или верхнюю границу (8.2.31). Если используется последняя, верхнюю границу для Р, можно выразить так Ф Чернова (8.2.24) хуже на 1 дБ относительно плотной верхней границы (8.2.33) в соединении с (8.2,28) и (8.2.29). Преимущество границы Чернова — простота вычислений. Сравнивая качество декодирования мягких и жестких решений, отметим, что разница, получаемая от верхних границ примерно 2, 5 дБ для 10 ' < Р, < 10 ' В заключение мы хотим напомнить, что средняя по ансамблю вероятность ошибки для сверточного кода в дискретном канале без памяти, так же как в случае блокового кода, можно выразить через предельную скорость РО (доказательство см. Витерби и Омура, 1979) — О -(д-~,) ж~ ' где гу — число входных символов канала, К вЂ” кодовое ограничение, й,— скорость кода, АО— предельная скорость, определенная в разделе 7.2 и 8.1.
Заключения„полученные путом вычисления Л„для различных условий в канале, применимы как к блоковым, так и сверточным кодам, 1ОО 1О-' г Р„ шгу 5 г 6 8 1О М 8 5 5О' 1О' О ~ 4 б О 10 1г осш на бит, у, яв Рис. 8.2.15. Сравнение декодирования мягких и жвстких решений для сверточного кода с в.=з, ~=1, в=в 8.2.5. Дистанционные характеристики двоичных смрточиых кодов В этом подразделе мы хотим свести в таблицу минимальные свободные расстояния и генераторы для нескольких сверточных кодов с малыми кодовыми ограничениями и для 421 1 нескольких скоростей кода.
Эти двоичные коды оптимальны в том смысле, что при заданным, скорости кода и кодовому ограничению, они имеют наибольше возможное с~,„. Генераторы и соответствующие значения а>„, табулированные ниже, были получены Оденвальдером (1970), Ларсеном (1973), Пааске (1974) и Даутом и др. (1982) посредством компьютерных методов исследования.
Хеллер (1968) нашел относительно простую верхнюю границу для минимального свободного расстояния для сверточного кода со скоростью 1/и. Она определяется как >-1 а',„< ппп —,2; — (К+1 — 1) и, еч ~2' ' — 1 (8.2.35) где (х3 означает наибольшее целое, содержащееся в х С целью сравнения эта верхняя граница также дана в таблицах для скорости кода 1/и. Для сверточных кодов со скоростью 7Г/и Даут и др. (1982) дали модификацию границы Хеллера. Значения, полученные посредством этой верхней границы для кодов со скоростью 7Г/и, также табулированы.
В таблицах 8.2,1 — 8.2.7 даны параметры сверточных кодов, имеющих скорость 1/и при и =2, 3, ...,8. В таблицах 8.2.8 — 8.2.11 даны параметры >сверточных кодов, имеющих скорость 7Г/и для 7Г < 4, и < 8 . Табл. 8.2.1. Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью 172 Верхняя граница для >> . Порождающие полиномы в восьме ичной записи Кодовое о аничение К Источники: О>7еа>тайег (1970) и 7.а> яеа (1973) Табл.
8.2.2. Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью 1(3 Порождающие полиномы в ваське ичной записи Кодовое о аничение К а'„Верхняя граница для А, , 8 10 12 13 15 16 18 20 22 24 24 26 Источники: Ог(еаваЫег (1970) и Г.а>теа (1973) 422 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 13 25 47 133 225 557 1.117 2.353 4.767 10.533 21.645 15 23 53 133 247 561 1.167 2.335 4.335 10.533 21.675 7 15 33 53 145 331 663 1. 365 2. 671 5. 723 10.675 35.
661 7 17 35 75 171 371 753 1.545 3,661 5.723 17.661 27. 123 7 17 37 75 175 367 711 1.633 3,175 Г>2Г>5 17.661 37,133 8 10 12 13 15 16 18 20 22 24 24 26 5 6 7 8 1О 10 12 12 14 15 16 16 5 6 8 8 10 11 12 13 14 15 16 17 Табл. 8.2.3. Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью 1/4 (/.агхесс (!973)! Верхши граница для с/, Порождающие позиномы в васьме ичной записи Кодовое о аничение К Табл.8.2.4 Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью 1/5 !/Заи/ и др.
(1982)] Верхняя винца для с! . Порождающие полииомы в восьме нчной записи Кодовое о аниченне К 7 7 7 5 5 !3 17 17 13 15 15 16 37 27 ЗЗ 25 35 20 75 71 73 65 57 22 175 131 135 135 147 25 257 233 323 271 357 28 13 16 20 22 28 Табл. 8.2.5. Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью 1/6 (/)аис и др. (1982)) Порождающие полиномы в восьме нчиой записи Кодовое о винченце К Верхняя граница для с/. 16 16 20 20 24 27 27 30 30 Табл, 8.2.6.
Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью 1/7 !/)лис и др. (1982)! Кодовое о аничение К Порождающие полиномы в восьме ичной записи Верхняя граница для с/ 7 7 7 5 5 17 13 13 15 15 27 25 27 35 37 75 65 75 67 57 145 173 135 !47 137 253 375 331 313 357 23 23 28 32 36 36 40 40 423 3 5 4 13 5 25 6 53 7 135 8 235 9 463 10 1.117 11 2.387 12 4.767 13 11.145 14 21.113 7 7 17 13 37 33 73 65 173 135 253. 235 7 5 17 13 35 33 53 47 165 135 275 235 7 15 33 53 145 331 663 1.365 2.Г>71 5.723 17.661 37.133 7 17 15 35 25 75 47 !51 163 375 313 7 15 33 53 145 331 663 1.365 2.
671 5.723 17.66! 37. 133 7 13 15 27 35 55 57 135 !37 331 357 7 15 33 53 145 331 663 1.365 2.671 5.723 ! 7.661 37.133 10 13 16 18 20 22 24 27 29 32 33 36 10 15 16 18 20 22 24 27 29 32 33 36 Табл. 8.2.7. Максимальное свободное расстояние кодов со скоростью 1/8 Кодовое о аиичеиие К Верхняя граница для г/ Порождающие полиномы в восьме ичной записи 3 7 7 5 5 7 7 17 17 13 4 !3 15 15 5 37 ЗЗ 25 35 33 27 6 57 73 51 75 47 67 7 153 111 165 135 135 147 8 275 275 253 331 235 313 21 21 2Г> 2Г> 32 32 40 45 Табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
