Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Путь. соответствующий метрике СМ~'~, является выэкившз»м. Аналогично, один из двух путей, которые сливаются в состоянии Ь, может быть исключен на основе двух соответствующих метрик. Эта процедура повторяется в состоянии с и состоянии ее. Как результат, после трех первых переходов имеются четыре выживших пути, один кончающийся на каждом состоянии, и соответствующие метрики для каждого выжившего пути. Эта процедура повторяется на каждом шаге решетки по мере того, как принимаются новые сигналы в последующих временных интервалах. В общем, когда декодируется двоичный сверточный код с е! = 1 и кодовым ограничением К посредством алгоритма Витерби, имеются 2» ' состояний. Следовательно, имеются 2 выживших путей на каждом шаге и 2" ' метрик, по одной лля каждого выжившего нуги.
Далее, двоичный сверточный код с /с входными битами, которые сдвигаются по кодеру, содержащему К (е!-битовых) ячеек регистров сдвига, генерирует решетку, которая имеет 2п" '! состояний. Следовательно, декодирование такого кода посредством алгоритма Витерби требует сохранить следы 2"~ " выживших »<к-з! путеи и 2 метрик. На каждом шаге решетки имеются 2 путей, которые сливаются в каждый узел. Поскольку каждый путь, который сходится в общей узел, требует вычисления метрик, имеются 2' метрик, вычисленных на каждом узле. Из 2' путей, которые сливаются в каждом узле, только один выживет, и это наиболее вероятный (с минимальным расстоянием) путь.
Таким образом, число вычислений при декодировании, выполняемых на каждом шаге, возрастает экспоненциально с в и К. Экспоненциальный рост вычислительных затрат ограничивает использование алгоритма Витерби только для относительно малых значений К и е!. Задержка ' при декодировании прн декодировании длинных информационных последовательностей, которые были кодированы сверточным кодом, обычно слишком велика для большинства практических применений. Более того, память, требуемая лля 415 хранения всей длины выживших последовательностей, велика и дорогая. Как указано в разделе 5.1А, решение этой проблемы заключается в модификации алгоритма Витерби таким образом, чтобы установить фиксированную задержку декодирования без сущесгвенной потери качества оптимальности алгоритма, Напомним, что модификация сводится к тому, чтобы удержать в заданное время ! только самые последние б декодированных информационных бит (символов) в каждой выжившей последовательности.
По мере приема новых информационных битов (символов) оптимальное решение принимается относительно бита (символа), принятого на 6 ветвей раньше по решетке, путем сравнения метрик выживших последовательностей и принятия решение о бите в последовательности, имеющей наибольшую метрику. Если б выбран достаточно большим, все выжившие пути будут содержать одинаковый декодируемый бит (символ), принятый на Ь ветвей раньше. Это значит, что с большой вероятностью, все выжившие последовательности к моменту ~ выходят из одного и того же узла в момент времени ~ — б . Экспериментально показано (компьютерное моделирование), что задержка б > 5К обеспечивает пренебрежимо малое ухудшение качества относительно оптимально~о алгоритма Витерби.
! 8.2.3. Вероятность ошибки при декодирования мягких решений Тема этого подраздела — качество алгоритма Витерби в канале с АБГШ при декодировании мягких решений. При расчете вероятности ошибки для сверточных кодов для упрощения расчетов используются линейные свойства этого класса кодов. Это значит, что мы предполагаем, что передается последовательность из одних нулей и мы определяем вероятность ошибки при решении в пользу другой последовательности. Считается, что кодированные двоичные символы в /-й ветви сверточного кода, обозначенные как (с,, и» = 1, 2, ...,п) и определенные в разделе 8.2.2, передаются по каналу двоичной ФМ (или четырехпозиционной ФМ) и детектируется когерентно в демодуляторе.
На выходе демодулятора, который соединен со входом декодера Витерби, образуется последовательность (г,, »и = 1, 2,, п; !' = 1, 2, ... ), где гм определено (8.2.9). Декодер Витерби мягких решений формирует метрики ветвей, определеннь!е (8.2.14), и по ним рассчитываются метрики путей в В л аИ'! =~ц!О =~;~ г,.~гс!')-1), (8.2. 16) 1=! лл! где ! означает один из конкурирующих путей в каждом узле, а  — это число ветвей (информационных символов) в одном пути.
Например, путь из одних нулей, обозначенный 1=0, имеет метрику пути В л В л СЛВ'("=~~' ~~ '( — э(8,+и, )'( — 1)=ДВп+,» ~п, . (8.2.17) л! лл=1 Г=! л=! Поскольку сверточный код не обязательно имеет фиксированную длину, мы определим его качество через вероятность ошибки для последовательности„которая первая сливается с последовательностью из одних нулей в узле решетки.
В частности, мы определим вероятность первого пересечения другого пути в узле В с путем из одних нулей, как ' При фиксированной задержке модификации алгоритма Нигерби используют правило приема в целом с поэлементным решением (ПЦПР), которое совместно с обратной свлэъю по решению составляют основу алгоритма Кловского — Николаева (АКН) (прп). » Если /» >1, эквивалентная вероятность ошибки на бит получается путем деления (8.2.26) и 18.2.27) на к. Выражения для вероятности ошибки, данные выше, базируются на предположении, что кодовые символы передаются двоичной ФМ при когерентном приеме.
Результаты для Р» также верны для четырехфазной когерентной ФМ, поскольку эта техника модуляции/демодуляции эквивалентна двум независимым (квадратурным по фазе) двоичным системам ФМ. Для другой техники модуляции и демодуляции, такая как когерентная и некогерентная ЧМ, результаты можно приспособить путем пересчета парной вероятности ошибки Р,(а).
Это значит, что выбор техники модуляции и демодуляции, использованной для передачи кодированной информационной последовательности, влияеттолько на расчет Р„(//) Расчет Р, остается тем же. Хотя приведенные выше расчеты вероятности ошибки при декодировании по Витерби сверточного кода применимы для двоичных сверточных кодов, относительно легко обобщить их на недвоичные сверточные коды, в котором каждый недвоичный символ отображается различным сигналом. В частности, коэффициенты ф,) в выражении производной 21/7,/У), даваемые (8.2.25), представляют число ошибок в символах в двух путях, разделенных расстоянием(числом символов) в»/ символов. Снова мы обозначим вероятность ошибки при парном сравнении двух путей, которые разделены расстоянием»/, через Р,(»/).
Тогда вероятность ошибки символа, для к — битового символа, ограничена сверху Р < ',» Р,Р,(/). Вероятность ошибки символа можно превратить в эквивалентную вероятность ошибки на бит Для примера, если используются 2' ортогональных сигналов для передачи Ф -битовых символов, эквивалентная вероятность ошибки на бит равна Р„, умноженной на множитель 2" ' / (2' — 1), как указано в главе 5. 8.2.4. Вероятность ошибки при декодировании жестких решений Теперь рассмотрим качество, достижимое алгоритмом декодирования Витерби в двоичном симметричном канале. При декодировании жестких решений сверточного кода метрики для алгоритма Витерби являются расстояния Хемминга между принимаемой ик-и последовательностью и 2 выжившими последовательностями в каждом узле решетки.
Как при ' нашей трактовки декодирования мягких решений„ мы начнем с расчета вероятности первого ошибочного события. Считается„что передается путь из одних нулей. Предположим, что путь, который сравнивается с путем из одних нулей в некотором узле В, имеет расстояние г/ относительно пути из одних нулей. Если»/ нечетно, путь из одних нулей будет выбран без ошибок„если число ошибок в принимаемой последовательности меньше, чем» (»/+ 1); в противном случае будет выбран неправильный путь. Следовательно, вероятность выбора неправильного пути равна (8.2.28) где р — вероятность ошибочного приема символа в двоичном симметричном канале. Если »/ четно, то неправильный путь выбирается, когда число ошибок превышает э;»/. Если число ошибок равно ~~»/, то имеется связь между метриками двух путей, которую можно 27* 419 Э Верхнюю границу в (8.2.21) можно выразить в несколько другой форме, если учесть верхнюю экспоненциальную границу для Я -функции: д(,/2у,я.а) -"-"" = В',, (8.2.22) Если использовать (8.2.22) в (8.2.21), верхняя граница для вероятности ошибки первого пересечения выражается так; Р <т(в)~,,„,.
(8.2.23) т(Т1, Л ) =;Г а„л" М""', (8.2.24) где Т(Ы) означает показатель Ф как функция от а. Взяв производную от Т(Л, Ф) по Лг и положив затем У = 1, мы получим Ж10, Лг) , = ~~ а„ТЯП" =~,,Р~В~, (8.2.25) где ~3 =а, Т(Ы). Таким образом, вероятность ошибки на бит при А = 1 ограничена сверху: Х 11 Р,(а1) ~ (1~~( (2у,~, '). (8.2.26) Если О-функцию ограничить сверху экспонентой, как указано в (8.2.22), тогда (8.2.26) можно выразить в простой форме Р, ~ЦВ", г„„~™М(„, „. (8.2.27) 418 Хотя вероятность ошибки при первом пересечении дает меру качества сверточного кода, более часто используемой мерой качества является вероятность ошибки на бит. Для этой вероятности можно получить верхнюю границу посредством процедуры, использованной для получения верхней границы вероятности ошибки при первом пересечении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
