Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Доказательство того, что именно это ведет к желательному решению, совсем простое. Мы имеем ф„1;,)=Е((т,-1„)1;,3=Я,1„') ЕЯ;,),,=-К,,К (П11) Предположим, что информационные символы некоррелированы, то есть Е(1„1,) = б„ и что информационная последовательность (1„) некоррелирована с аддитивной шумовой последовательностью (г1„) . Для 1„мы используем выражение даваемое (10.2.41). Тогда, после вычисления математического ожидания в (11 1.1) получим Е(~„1„г) = б„— 1,, г = — К,...,К. (1 1.1.2) Следовательно, условие Е(в„У,,) = О, г = — К,,К выполняется, когда г1, = 1 и гу„= О, 1 < ги~ < К. Если характеристика канала неизвестна, взаимная корреляция, определяемая (11.1.1), также не известна. Эта трудность может быть преодолена путем передачи известной обучающей последовательности (1,) до приемника, которую можно использовать для оценки взаимных корреляций путем подстановки средних во времени вместо средних по ансамблю, определяемых (11.1.1).
После начального обучения, требующего передачи тестирующей последовательности определенной длины, которая равна или превышает длину эквалайзера, можно определить коэффициенты, удовлетворяющие (11.1.3). Простой рекуррентный алгоритм для настройки коэффициентов эквалайзера можно записать так Рис. 11.1.1.
Адаптивный эквалайзер с нулевыми взаимными помехами 1ЭНВП) 11.1.2. Алгоритм наименьших квадратов (НК) При минимизации СКО, обсужденной в разделе 10.2.2, мы нашли, что оптимальные коэффициенты эквалайзера определяются из решения системы линейных уравнений, выраженной в матричной форме: ГС=с,, 11 1.!.6) где à — ковариационная матрица размером (2К+1)х(2К+1) отсчетов сигнала (»„), С— вектор-столбец из (2К+1) коэффициентов эквалайзера„а ~ — вектор-столбец канальных коэффициентов фильтра размерности (2К+ 1). Решение для вектора коэффициентов С„„, оптимального эквалайзера можно получить путем обращения ковариационной матрицы Г, что можно эффективно выполнить посредством алгоритма Левинсона — Дурбина, описанного в приложении А. Альтернативно для вычисления С.„, можно использовать итеративную процедуру, которая избегает обращение матрицы.
Вероятно простейшая итеративная процедура — это метод крутого спуска, когда можно начинать выбором произвольного начального вектора С, скажем С„. Этот первоначальный выбор коэффициентов соответствует некоторои точке поверхности квадратичной функции СКО в пространстве коэффициентов размерности (2К+1), Затем в этой точке на поверхности СКО вычисляется градиентный вектор С„имеющий 2К+1 градиентных компонент ';йУ/дсе,, 1г = — К, ...,— 1, О, 1... „К .
На каждом шаге вес меняется в направлении, противоположному соответствующей градиентной компоненте. Изменение веса на 1'-м шаге пропорционально объему у-ой градиентной компоненты. Таким образом, последовательные значения коэффициентов С определяются согласно отношениям Сьм = ф— Ас„ lг = О, 1, 2, ..., (11.1.7) а вектор градиента С, равен 1 Ы С„= — — = ГС„- ~ = -Е(е„Ч, ), (11.1.8) Вектор С„представляет набор коэффициентов 1-й итерации, е„=1, — 1„является сигналом ошибки на 1 -й итерации.
Ч, — вектор отсчетов принимаемого сигнала, по С, =-е>Ч;. (11.1.10) /* Поскольку Е(С, у= С,, оценка С„является несмещенной оценкой правильного вектора градиента С„. Подстановка (11.1.10) в (11.1.9) дает алгоритм С>„=С, +Ле„Ч, (1 1.1,1 1) Это базовый алгоритм НК (наименьших квадратов) для рекуррентной настройки коэффициентов щаговых весов эквалайзера, впервые предложенный Уидроу и Хоффом (1960). Он иллюстрируется в эквалайзере, показанном на рис.11.1.2. Базовый алгоритм (11.1.11) и некоторые из его возможных вариантов были внедрены во многих коммерческих адаптивных эквалайзерах, которые используются в высокоскоростных модемах.
Три варианта базового алгоритма были получены путем использования только информации о'знаке, содержащейся в сигнале ошибки е, и (или) в компонентах Ч„. Таким образом, три возмо>кных варианта алгоритма определяются так сп „вЂ”вЂ” с„> + Лсзцп(е„)и, „у = -К, ...,— 1, О, 1, ..., К (1 1.1.1 2) с<„о — с„+Ле„сецп(»„. ), у — -К, ...,-1, О, 1, ...,К (11.1. 13) с,ып, — — с,у+ Лсзцп(е,)сэцп(»„,), у = — К,,— 1, О, 1, ..., К, (11.1.14) 549 которым делаются оценки 1„, т.е. Ч„ = [о„, .... »„ ... »„ „.)', а Л вЂ” положительное число, выбираемое достаточно малым ля того, чтобы обеспечить сходимость итеративной процедуры. Если минимум СКО достигнут на некотором шаге 1 =х„тогда С„= О, так что дальнейшие изменения у щаговых весов не происходят.
В общем случае, при методе кратчайшего спуска точное значение .1 ь1К) нельзя получить при конечных величинах Ф„. Однако, к нему можно как угодно приблизиться при некотором конечном значении 1,. Принципиальная трудность метода кратчайшего спуска для определения оптимальных щаговых весов — это отсутствие знания вектора градиента С,, который зависит как от ковариационной матрицы Г, так и от вектора ~ взаимных корреляций. В свою очередь, эти величины зависят от коэффициентов ~у, у эквивалентной модели канала с дискретным временем и от ковариаций информационной последовательности и аддитивного шума.
Все эти величины могут быть, в общем, неизвестны на приеме. Чтобы преодолеть эти трудности, можно использовать оценку вектора градиентов. Это значит, что алгоритм настройки коэффициентов щаговых весов можно выразить в форме С„, =С„-у1С>, (1 1.1.9) где Сь означает оценку вектора градиентов С, а С„ означает оценку вектора коэффициента С„. Из (11.1.8) мы замечаем, что С„равно обратной величине математического ожидания е„.Ч>., следовательно, оценка С,. равна в Вхад 1п1 .Рис. 11,1.2, Линейный аааптнвный эквалайзер, основанный на критерии минимума СКО (11.1.16) 550 где сзцп(х) определяется так 1+ 1 (Ке(х) > О, 11п(х) > 0), 1 — 1 (Ке(х) > О, 1пз(х) < 0), сзип(х) = (11.1.15) -1+ ) (Ке(х) < О, 1п1(х) > 0), ' '(-1- у (Ке(х) < О, 1гп(х) < 0), (Заметим, что в (11,1.15) у = з/ — 1, что следует отличать от индекса 1 в (11.1.12) — (11.1.14)).
Ясно, что алгоритм (11.1.14) реализуется существенно легче, но он дает наиболее медленную сходимость по сравнению с другими. Несколько других вариантов алгоритма НК можно получить путем усреднения или фильтрации векторов градиентов по нескольким итерациям до выполнения настройки коэффициентов эквалайзера. Например, усреднение по Ф векторам градиентов дает Ф-1 С = Ха,„У„ ~=о а соответствующее рекуррентное уравнение для адаптации коэффициентов эквалайзера по У итерациям имеет вид с;„„„=с -лс„.
(11.1. 17) Действительно, операция усреднения согласно (11.1.16) уменьшает шум в оценке вектора градиентов, как показано Гарднером (1987). Альтернативный подход сводится к фильтрации шумовых составляющих градиента с помощью низкочастотного фильтра и использованию выхода фильтра как оценки вектора градиента. Например, простой низкочастотный фильтр для шумовых градиентов дает выход Сь = и С» ~+(1 — и)Сь, С(0) = С(0), (11. 1. 18) где выбор 0<в <1 определяет полосу пропускания низкочастотного фильтра.
Если и близко к единице, полоса фильтра мала и эффективное усреднение осуществляется по многим векторам градиентов. С другой стороны, если в мало, низкочастотный фильтр имеет большую полосу и, следовательно„он обеспечивает малое усреднение по векторам градиентов. С фильтрацией векторов градиентов по (11.1.!8) вместо С„мы получаем алгоритм НК с фильтрацией градиентов, определяемой так с,„, =с,— лс . (11.1.19) 551 В вышеприведенном обсуждении было предположено, что приемник имеет знание о переданной информационной последовательности при формировании сигналов ошибки между желательным символом и его оценкой.
Такое знание можно получить в течение короткого периода обучения, когда к приемнику для первоначальной настройке шаговых весов передается известная информационная последовательность. На практике часто в качестве обучающей последовательности выбирается периодическая псевдослучайная последовательность, такая как последовательность регистра сдвига максимальной длины с периодом У, равным длине (памяти) эквалайзера (й =2К+1). В этом случае, градиент обычно усредняется по длине последовательности как указанно в (11.1.6), а эквалайзер настраивается на каждом периоде согласно (11.1,17). Практическая схема для непрерывной настройки весов отводов может быть или основана на управлении решениями, когда решения (оценки) по информационным символам предполагаются правильными и используются вместо 1ь при формировании сигнала ошибки а, или такая, в которой известная псевдослучайная испытательная последовательность вставляется в информационный сигнал (путем суммирования или перемежения во времени), а веса отводов настраиваются путем сравнения принимаемых испытательных символов с известными переданными сигналами.
При использовании операционной модели с управлением решениями сигнал ошибки оказывается равным С =1, — Ёь, где 1„— это решение приемника, основанное на оценке Ёь До тех пор, пока приемник работает с малыми вероятностями ошибок, редкие ошибки будут иметь несущественное влияние на сходимость алгоритма. Если характеристики канала меняются, эти изменения отражаются в коэффициентах ~1~„.) эквивалентной модели канала с дискретным временем. Они также отражаются в сигнале ошибки е, поскольку он зависит от 1Л.).
Таким образом, шаговые веса будут меняться согласно (11.1.11), отражая изменения в канале. Простое изменение в шаговых весах возникает, если меняется статистика шума или информационной последовательности Таким образом, эквалайзер оказывается адаптивным. 11.1.З. Свойство сходимости алгоритма НК Свойство сходимости алгоритма НК, определяемого (11.1.11), управляется параметром размера шага Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
