Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Это разумное предположение, когда система работает при малой вероятности ошибок. Таким образом, СКО между принимаемым сигналом о, и оценкой о равна 2 У вЂ” ! ,У(Г)= о -~~> /;.1„, г=а (1 1.3.2) где (11.3.4) Из (11.3.3) и (11.3.4) следует, что пока информационная последовательность некоррелирована, оптимальные коэффициенты точно равны соответствующим величинам эквивалентного канала дискретного времени.
Также очевидно. что когда число ячеек оценивателя канала У больше или равно 1+1, оптимальные коэффициенты усиления ячеек 562 Коэффициенты ячеек (~'„~, которые минимизируют .У11) в (11.3.2), удовлетворяют системе из У линейных уравнений М-1 ХАф„=А, 1=0,1,",Ф-1, равны соответствующим значением 1Л.)„даже если информационная (.
последовательность коррелированна. С учетом указанных выше условий, минимум СКО просто равно дисперсии шума Ж0. В вышеприведенном обсуждении, оцененная информационная последовательность на выходе алгоритма Витерби или вероятностного посимвольного алгоритма была использована для выполнения настройки оценивателя канала. Для начала операции можно послать короткую обучающую последовательность для формирования начальной настройки коэффициентов ячеек, как это обычно делается в случае линейного трансверсального эквалайзера.
При адаптивном варианте обработки сигналов приемник просто использует свои собственные решения для формирования сигнала ошибки. 11.4. РЕКУРРЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ МИНИМАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ДЛЯ АДАПТИВНОГО ВЫРАВНИВАНИЯ НК алгоритм, который был описан в разделе 11.1 и 11.2 для адаптивной настройки коэффициентов ячеек линейного эквалайзера или ЭОСР является по существу (стохастическим) алгоритмом кратчайшего спуска, в котором правильный вектор градиентов аппроксимируется оценкой, полученной непосредственно по данным.
Важнейшее преимущество алгоритма кратчайшего спуска определяется его вычислительной простотой. Однако плата за простоту — медленная сходимость особенно, если характеристики канала отражены в матрице автокорреляций Г, чьи собственные значения имеют большой разброс, т.е. 1 „, /Х,„»1. Если посмотреть с другой точки зрения то градиентный алгоритм имеет единственный настраиваемый параметр для управления скорости сходимости, а именно параметр А. Следовательно„медленная сходимость обусловлена фундаментальным ограничением. Для получения быстрой сходимости необходимо разработать более сложные алгоритмы, включающие дополнительные параметры. В частности, если матрица Г размером Фх У имеет собственные значения 1 „Х„,Х,,, мы можем использовать алгоритм, который содержит У параметров — один для каждого собственного значения, Оптимальный выбор этих параметров для достижения быстрой сходимости является темой этого раздела.
При разработке алгоритмов быстрой сходимости мы будем использовать подход минимальных квадратов. Таким образом. мы будем работать непосредственно с принимаемыми данными для минимизации квадратичного показателя качества, в то время как раньше мы минимизировали ожидаемую величину среднеквадратичной ошибки Проще говоря, это значит, что показатель качества выражается через временное среднее вместо статистического среднего. Удобно выразить рекуррентные алгоритмы наименьших квадратов в матричном виде. С этой целью определим некоторое число векторов и матриц, которые необходимы в этом исследовании.
Так поступая, мы не значительно изменим привычные обозначения. Конкретнее, оценку информационных символов в момент ~, где ~ целое, в линейном эквалайзере теперь выразим так: к У(г)= ~~> с,(г — 1)о,, л-к Изменяя индекс 1 для с,(à — 1) от 1 = 0 до 1' = Ф вЂ” 1 и определив на время у(г) = 'А~к 36* 5Г>3 оценку 1 !с) можно выразить так сс-с 1(Г)-~с,(с — 1)у(1 — 1)=С (с — 1)~;,(1), (1 1.4. 1) с»О где С (~ — 1) и Ъ;,(~)- соответственно векторы-столбцы коэффициентов эквалайзера с,.(~ — 1), 1'=О, 1,...,г1 — 1 и входных сигналов у(1 — 1), 1=0,1,2,...,Ф вЂ” 1.
Аналогично, в эквалайзере с обратной связью по решению мы имеем коэффициенты ячеек с,.(1), 1=0,!,...,г1 — 1, где первые К,+1 является коэффициентами фильтра с прямой связью, а оставшиеся К, = Ю-Кс -1 являются коэффициентами фильтра обратной связи. Данные в оценке 1 1с1 являются о„,„...о„„1,, ...1, „, где 1,, 1<1 <К. скг' с-сс означают оценки по ранее продетектированным символам. В этом исследовании мы пренебрегаем влиянием ошибочных решений в алгоритме.
Итак, мы считаем, что Для удобства обозначений мы также определим (11.4.2) Следовательно '11сс(1)=!уй уР 1)" уй-1~+1)1 =~~'сгк," онс ис 1с-с ".1~-к,~ (1143) 11.4.1. Рекуррентный алгоритм (Калмана) наименьших квадратов ллО где ошибки определяются так ея (п,1) = 1(п) — С~ Я 11сс (0г), а»с представляет взвешивающий множитель 0 <» < 1. Таким показательное взвешивание по последним данным, которое характеристики канала меняются во времени.
Минимизация коэффициентов С (1) ведет к системе линейных уравнений 11, (1) С,О(г) = 11, (~), где 1г.„(с) — матрица корреляций сигнала, определенная так К„(1) =~ »с' "К„(п)М~(п), ллО а В (~) — вектор взаимных корреляций с В (г) =~~)» "1(п)У„(п). (11.4 5) образом, мы ввели приемлемо, когда по вектору (1 1.4.6) (11.4.8) (1 1.4.7) =О Решение (11.4.6) равно 564 Рекуррентное по наименьшим квадратам (РНК) оценивание 1 (с) можно сформулировать следующим образом. Допустим, мы наблюдаем векторы т,,(п), п = О, 1,...,! и желаем определить вектор коэффициентов С,(~) эквалайзера (линейного или с обратной связью по решению), который минимизирует усредненные во времени взвешенные квадраты ошибок с Ф, =~~Г»' ™!е (п,У)/, (1 1.4.4) К '(~-1)к'(~)'к'„'®К„'(~ — 1)1 и в+У (~)К (~-1)У (~) Таким образом, К„'(1) можно вычислить рекуррентно согласно (11,4.11).
Для удобства определим Р„(~) = К„'(~) . Также удобно определить Ф-мерный вектор, называемый вектор калмановского усилеявя, так К„(1) — Р„(~ 1)~' (~), 1 (11,4.12) н'+ ря (~) где ц (1) является скаляром, определяемым так ря( ) ~я(~)Ря(1 1)~я(~) . С этими определениями (11.4.11) приводится к виду Р„(~) = -~Р„,(~ — 1) — К„(~)Ъ,'(1)Р„(~- 1)~. 11 (11.4.
14) Предположим, что мы умножаем обе части (11.4.14) на У,",(~). Тогда Р„(~)~'" (~) = — [Р„(~ — 1)Ъ'„'(г) — К„(~)~'. (~)Р (~ — 1)Ъ"„' (~)] = 1 = — 6 +р Р)ЗК,,(1)-К (1)Н (~))=К,,(й), (11.4.15) Следовательно, вектор калмановского усиления можно также определить как Р м ( 1 ) УФ ( 1 ) Теперь используем соотношение для обратных матриц для получения уравнения, определяющего С,,(~) по С„(1-1). Поскольку С ()- (1)11 Ю (11.4.13) С„(~) = К-„'Р)П„(~), (1 1.4.9) Матрица К (~) родственна матрице статистических автокорреляций Г„, в то время как вектор Р„(~) родственен вектору ~„взаимных корреляций, определенных раньше. Подчеркнем„однако, что К (1) не является теплнцевой матрицей.
Мы также хотим напомнить, что для малых значений г, К„(~) может быть плохо обусловленной; следовательно, это обычна приводит к первоначальной добавке матрицы 61„к К„(~), где б — малая положительная константа, а 1 — единичная матрица. При показательном взвешивании по последним данным влияние прибавления 61„ослабевает со временем. Теперь предположим, что мы имеем решение (11.4.9) для момента ~-1, то есть С (~ — 1), и мы желаем вычислить С„(~) . Неэффективно и, следовательно, непрактично решать систему У линейных уравнений для каждой новой сигнальной компоненты, которая принимается. Чтобы преодолеть эту трудность, мы поступим так.
Сначала К (~) можно вычислить рекуррентно следующим образом 1)+ Р ( )Рт( ) (1 1.4.10) Мы назовем формулу (11.4.10) обновляющее уравнение для К„(~) . Поскольку в (11.4.9) требуется обращение К, (~), используем соотношение для обращенных матриц имеем С (1) = — 1Р„(~ — 1) — К„(1)Ъ~(1)Р„(1 — 1)~и 0 (1 — 1)+1(к)У" (У)1 = Р„(1-1)0,(! -1)+ — 1(~)Р„(» — 1)У,"(1) 1 — И~„ИР„(1 — 1) В„(~ — 1) — — Ц1)К, ®Ъ„'(~) Р,(1-1)Ъ" Р) =С„(1-1)+К„(~)(7(~)-Ъ„'(~)С.(~-1)) Заметим, что У,',(~) С (1 — !) это выход эквалайзера в момент г, то есть 1 (1) = ~'~ (1)С (Š— 1) (11.4.17) (11.4. 18) — вычисляется выход: У (1) = У„'ИС~(1-1), — вычисляется ошибка: е„(~) = 1(1) — 1 (1), — вычисляется вектор калмановского усиления: Р (~-1)Ъ' (1) Я,т,т( )Р— вычисляется соотношение обратных матриц Р (1) [Р (1 1) К (1)~' (1)Р (1 1)1, — определяются коэффициенты С, (~) =С„(~ — 1)+К,(~)е, (1) =С (~ — 1)+Р, (~)Ъц(~)е,(~).
(11 4 22) Алгоритм, определяемый (11.4.22), назван прямой формой РНК или алгоритмом Калмана. Он подходит, когда эквалайзер имеет трансверсальную (прямая форма) структуру. Заметим, что коэффициенты эквалайзера меняются со временем на. величину, равной ошибки е„(~), уменьшенной на вектор усиления Калмана К„(1).
Поскольку К„(1) является Ф-мерным камсдый коэффициент ячейки в действительности управляется одним из элементов К„(~). Как следствие получается быстрая сходимость. В противоположность этому, алгоритм кратчайшего спуска, выраженный в новых обозначениях, определяется так е„(1,К-1) =1(г)- 1(~) =-е,(1) (11.4. 19) — это ошибка между желательным символом и его оценкой. Таким образом, С,,(1) определяется рекуррентно согласно отношению С,„(~) = С (г — 1)+К„(г)е„(1). (1 1.4. 20) Остаточный СКО, получаемый при такой оптимизации, равен 8„.ь = ,'> и" " (1(п) )' -С~ (1) В Й) (11.4.21) и=о Для суммирования предположим, что мы имеем С (~ — 1) и Р„(à — 1) . Когда принимается новая сигнальная компонента имеем У (1) .
Затем рекуррентные вычисления для обновления С„® и Р (г) продолжаются так: С, (г) =С„(1 — 1)+г> и' Яе Я, (11.4.23) и единственным переменным параметром является размер шага ячейки >>. Рис.11.4.1 иллюстрирует начальную скорость сходимости этих двух алгоритмов для канала .с фиксируемыми параметрами ~; = 0,26, 1, = 0,93, А = 0,2б и линейного эквалайзера с 11 ячейками. Отношение собственных значений для этого канала >. „„/Х„,„=11, Все коэффициенты эквалайзера были первоначально обнулены, Алгоритм кратчайшего спуска был реализован с А=0,020, Превосходство алгоритма Калмана очевидно. Это особенно важно при отслеживании меняющегося во времени канала, Для примера, изменения во времени высокочастотного (ВЧ или КВ) ионосферного радиоканала слишком быстрые„чтобы их выравнивать градиентным алгоритмом, но алгоритм Кальмана адаптируется достаточно быстро для отслеживания таких изменений. Несмотря на прекрасные качества отслеживания алгоритм Калмана, описанный выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
