Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Мы теперь рассмотрим выбор параметра Л для гарантии сходимости алгоритма кратчайшего спуска (11.1.7), который использует точные значения градиента Из (11,1.7) и (11.1.8) имеем Сьи = С, — ЛС, = (1 — ЛГ)С„+ ЛР, (11.1.20) где 1 — единичная матрица, à — автокорреляционная матрица принимаемого сигнала, С„.— (2К+1) размерный вектор усиления ячеек эквалайзера, а ~ — вектор взаимных корреляций определяемый (10.2.45). Рекуррентное отношение (11.1.20) можно представить системой замкнутой петли управления, как показано на рис.11.1.3.
Рис. 11.1.3. Представление рекуррентного уравнения (11.1.20) системой с замкнутой петлей управления К сожалению, система из 2К+1 разностных уровней первого порядка в (11.1.20) связана через матрицу автокорреляций Г, Чтобы решить эти уравнения и, таким образом, установить свойство сходимости рекуррентного алгоритма, математически удобно развязать уравнения путем линейного преобразования.
Подходящее преобразование получается, если учесть, что матрица Г является эрмитовой с комплексными элементами и. следовательно, ее можно представить так; 1)Л1)те (11. 1. 21) где 11 — унитарная матрица для Г, Л вЂ” диагональная матрица с элементами, равнымц собственным числам матрицы Г . Если (11.1.21) подставить в (11.1.20) и если мы определим преобразованные (ортогонализированные) векторы С~ = 11~ С, и 8' = 11~ Г, то получим С~и (1 АЛ)С» + ЛР ~ (11.1.22) Система дифференцированных уравнений первого порядка теперь развязана. Их сходимость определяется из однородного уравнения СО (1 ЛЛ)СО (11.1.23) Мы видим, что рекуррентное отношение будет сходиться при условии, что все полюса лежат внутри единичной окружности, то есть ~1-ЛХ„~<1, я = — К,...,— 1,0,1,...,К, (11.1.24) где (Х, — набор из 2К+1 (возможно, и не различающихся) собственных значений Г.
Поскольку Г автокорреляционная матрица она положительно определенная и, следовательно, Х„>0 для всех А. Следовательно, сходимость рекуррентного отношения (11.1. 22) гарантируется„если Л удовлетворяет неравенству 0<А< —, 2 (11.1 25) Х где Х вЂ” наибольшее собственное число Г. Поскольку наибольшее собственное число поло>кительно определенной матрицы меньше, чем сумма всех собственных чисел матрицы и, следовательно, поскольку сумма собственных чисел матрицы равна ее следу, мы имеем следующую простую верхнюю границу для Х „,.
К Х,п < "> Х, = 1гГ = (2К ";1)Гкп = (2К -ь1)(х„+ >У,) . (11 1,26) 11.1.4. Излишек СКО, обусловленный зашумленными оценками градиентов Рекуррентный алгоритм (11.1.11) для настройки коэффициентов в линейном эквалайзере использует несмещенные шумовые оценки вектора градиентов Шум в этих оценках вызывает флуктуация коэффициентов около их оптимальных значений и. следовательно, ведет к увеличению СКО на выходе эквалайзера. Это означает. что финальное значение СКО равно У,„+.Уь, где Уь — дисперсия измеренного шума Слагаемое,У, обусловленное шумом оценки, было названо Уидроу (1966) излишкам среднеквадратичной ошибки. Суммарное СКО на выходе эквалайзера для некоторого набора коэффициентов С можно выразить так ,У =.У,п + (С вЂ” С. ) Я Г(С вЂ” С, ), где Счп представляет оптимальные коэффициенты, удовлетворяющие (11. 1.6).
Это выражение для СКО можно упростить путем линейного ортогонального преобразования, использованного выше для установления сходимости. Результат этого преобразования к (1 1.1.27) дает .У=.У ь+ ~Х„Е~с„ь — с" „, ~2, (11.1.28) где ~,'~ — ансамбль преобразованных коэффициентов эквалайзера. Излишком СКО является величина второго слагаемого в (11.1.28), т.е. к ,Уь = у,' Х,Б ~ с,' — с„'.„(2 (11. 1. 29) ы-к Уидроу (1970, 1975) показал, что излишек СКО можно выразить так: к 2 Ь ппп 2 п~ 1 (1 5, )2 (11.1.30) Из (11.1.23) и (11.1.24) мы видим, что быстрая сходимость возникает тогда, когда ~ 1 — ЛХ ~ мало, то есть когда полюсы далеки от единичной окружности. Но мы можем и не достичь это желательное условие и все же удовлетворить (11.1.25), если имеется большое различие между наибольшим и наименьшим собственными значениями матрицы Г Другими словами.
даже если мы выбираем 5 близким к верхней границе. даваемой !11 1.25), скорость сходимости рекуррентного алгоритма НК определяется наименьшим собственным числом Х,„. Следовательно, отношение Х „/Х,„непосредственно определяет скорость сходимости. Если Х,/Х,„мало, то Л можно выбрать так, чтобы достичь быстрой сходимости Однако, если отношение Х „и/ь,,„велико, что определяет случай, когда частотная характеристика канала имеет глубокие спектральные нули, скорость сходимости алгоритма будет медленной.
Выражение (11.1.30) можно упростить, если выбрать Л так, что ЛХ, «1 для всех А.. Тогда К ,У =зЛУ . ',>~Х >АУ . 1гГ-~-Л(2К+1)У (х, +У). (11.1.31) а=-к Заметим, что х,+У, представляет принимаемый сигнал плюс мощность шума. Желательно иметь .У, <.У,„. Это значит, что Л надо выбрать так, чтобы — ~ — в '; Л(2К +1)(х, + У,) < 1, ,у ыь или, что эквивалентно, Л< 2 (1 1.1.32) (2К+ 1)(х, + Ф,) Для примера, если Л выбратьтак: 0,2 (гК~1)(, +Л,) ' то уменьшение выходного ОСШ эквалайзера, обусловленное излишком СКО, меньше, чем 1 дБ.
Вышеприведенный анализ излишка среднеквадратичной ошибки базируется на предположении, что среднее значение коэффициентов эквалайзера сходится к оптимальной величине С . При этом условии размер шага Л удовлетворяет границе (11 1.32). С другой стороны, мы определили, что сходимость вектора средних коэффициентов требует, чтобы Л<2/Х,„. В то время как выбор Л вблизи верхней границы 2~1 „может вести к начальной сходимости детерминированного (известного) градиентного алгоритма крутого спуска, такая большая величина Л обычно ведет к нестабильности стохастического градиентного алгоритма НК.
Первоначальная сходимость или переходное поведение НК алгоритма была исследована различными исследователями. Их результаты ясно показывают, что размер шага должен быть уменьшен пропорционально длине эквалайзера, как следует из (11.1 32). Таким образом, верхняя граница, определяемая (11.1.32)„также необходима, чтобы гарантировать первоначальную сходимость НК алгоритма. Статьи Гитлина и Вайнштейна (1979) и Унгербоека (1972) содержат анализ переходного поведения и свойства сходимости НК алгоритма. Следующие примеры служат для подкрепления важных положений, высказанных выше, относительно первоначальной сходимости НК алгоритма. (11. 1.
3 3) Пример 11.1.1. НК алгоритм был использован для адаптивного выравнивания канала связи, для которого автокорреляционная матрица Г имеет разброс собственных значений л „,/Х,„=11. Число выбранных ячеек эквалайзера 2К+1=11. Входной сигнал плюс мощность шума х,-~У, был нормирован к единице. Как следствие, верхняя граница для Л, определяемая (11.1.32), равна 0,18. Рис.11.1.4 иллюстрирует характеристики первоначальной сходимости НК алгоритма для Л= 0,045, 0,09 и 0,115 при усреднении оценок СКО по 200 опытам. Мы видим, что при выборе Л=0,09 (половина верхней границы) мы получаем относительно медленную сходимость.
Если мы разделим Л на два до Л=0,045 скорость сходимости уменьшится, но излишек СКО также уменьшится, так что НК алгоритм работает лучше в стационарном режиме (при инвариантной во времени сигнальной среде). Наконец, мы отметим, что выбор Л=О,! 15, который еще остается ниже 554 верхней гчраницы, вызывает большие нежелательные флуктуации выходной СКО алгоритма. о нг ы со й ( 1е-2 О 100 200 ЗОО 400 500 Число итсрлций Рис. 11.1.4.
Характеристика первоначальной сходимости НСК алгоритма при различных размерах цгвпь !Обработка цифровых сигналов, Дж.ДжЛрокис и Д.Дж.Монолвкис, 19881 При цифровой реализации НК алгоритма выбор параметра шага ячейки оказывается более критичным. В попытке уменьшить излишек СКО возможно уменьшить параметр размера шага ячейки до точки, когда суммарная СКО на самом деле увеличивается. Это условие возникает, когда оцененные градиентные компоненты вектора е, Ъ', после умножения на малый параметр шага Л оказывается меньше, чем половина наименьших значащих бита в фиксированной точке представления коэффициентов эквалайзера.
В таком случае, адаптация прекращается. Следовательно, важно, чтобы размер шага ячейки был достаточно большим для того, чтобы удержать коэффициенты эквалайзера в окрестности С.„. Если желательно существенно уменьшить размер шага ячейки, то необходимо увеличить точность коэффициентов эквалайзера. Типично, что для достаточно точного представления коэффициентов используется 16 бит, причем 10-!2 наиболее значащих бита используется для арифметических операций по выравниванию сигнала Оставшиеся наименее значащие биты требуются для обеспечения необходимой точности процесса адаптации. Таким образом, масштабированные оцененные градиентные компоненты ЛеУ," обычно влияют только на наименее значащие биты на любой итерации. В действительности, дополнительная точность также позволяет вести усреднение по шуму, поскольку много нарастающих изменений в наименее значимых битах требуется до того, как возникнет изменение в верхних более значащих битах, используемых в арифметических операциях для выравнивания данных.
Для анализа округленных (случайных) ошибок цифровой реализации НК алгоритма читателю рекомендуются статьи Гитлина и Вайнштейна (1979), Гитлина и др. (1982) и Карайскоса и Лайу (1984). Наконец, необходимо указать, что НК алгоритм годится и для отслеживания медленных, инвариантных во времени. статистик сигнала. В таком случае минимум СКО и оптимальный вектор коэффициентов будут переменны во времени Другими словами .l„„(л) является функцией времени и (2К+1)-мерная поверхность ошибок передвигается с временным индексом и. НК алгоритм пытается следить за изменением минимума,У,„(п) в (2К+1)-мерном пространстве, но он всегда запаздывает по отношению к значениям оцененных векторов градиента, Как следствие, НК алгоритм навлекает на себя другой вид в ошибок, называемых онгибками запаздьиапия, уменьшаются с увеличением размера шага ячейки выразить так чьи значения средних квадратов гв.
Суммарное СКО можно теперь .У =1 м(п)+.Уа+.Уг, где,У означает средний квадрат ошибки, обусловленный запаздыванием. При заданной 1 нестационарной адаптивной задаче выравнивания, если мы построим зависимости ошибок и У от Л, мы ожидаем поведение этих ошибок так, как показано на рис.11.1.5. Видим, а 1 что .У, увеличивается с ростом г."г, в то время как У, уменьшается с ростом Ь. Суммарная ошибка имеет минимум, который определяет оптимальный выбор параметра размера шага ячейки. Когда случайные изменения сигнала во времени происходят быстро, ошибка запаздывания будет определяющей для качества адаптивного эквалайзера. В таком случае .У, ».У и+,У даже тогда, когда используется наибольшее возможное значение г1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
