Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 119
Текст из файла (страница 119)
имеет два недостатка. Один — его сложность, второй — его чувствительность к случайному шуму, который накапливается при рекуррентных операциях. Последний может вызвать нестабильность алгоритма. ~8 >ОО в и о л в и 50-' Й м У >О-> О 100 >00 300 400 500 ООО >00 ЧНСЛО ИтЕРаввй Рис. 11.4.1. Сравнение своросги сходимосги алгоритма Калмана и градиентного алгоритма. Число вычислений или операций (умножений, делений и вычитаний) при расчете величин (11.4.22), пропорционально У'. Большинство из этих операций используется при определении Ри(1) . Эта часть вычислений также чувствительна к случайному шуму. Чтобы решить эту проблему были разработаны алгоритмы, которые избегают вычисления Рм(1) согласно (11.4.
14). Основа этих алгоритмов сводится к декомпозиции Ри(г) в виде Р„(1) = Я (1)Л„(1)Б„(1), (11.4.24) где Би(1) — нижняя треугольная матрица, чьи диагональные элементы — единицы, а Л (1)— диагональная матрица, Такая декомпозиция называется факторизаг1ней (см. Бирман, 1977). Эта факторизация описывается в приложении 13. В алгоритме факторизации Р„(1) не обновляется, как в (11.4.14), а вычисляется.
Вместо этого при помощи рекуррентного обновления формируются Б„(1) и Л (1). Алгоритмы НК часто используются в системах управления, которые включают в себя калмановскую фильтрацию. В цифровой связи, алгоритм НК Калмана используется в ФМ модеме с выравниванием на основе обратной связи по решению, спроектированном для передачи с высокой скоростью по ВЧ каналу с номинальной полосой частот 3 кГц. Этот алгоритм описан в статье Хшу (1982). Он имеет вычислительную сложность порядка 1,5У .5-б,5Ф (умножения комплексных величин и делений на выходные символы).
Для 567 подробйого ознакомления с алгоритмами НК в последовательном оценивании читателю рекомендуется книга Бирмана (1977). Возможно также разработать РНК алгоритмы с вычислительной сложностью, которая возрастает линейно с числом коэффициентов эквалайзера У. Такие алгоритмы обычно называются быстрыми РНК алгоритмами, и они были описаны в статьях Караяниса и др.
(1983), Чиффи и Кайлата (1989) и Слока и Кайлата (1988). Минимизация СКО г », =ФО-» и1=с я~-у;,я-»~ *ч (11.4. 26) по коэффициентам предсказания 1а „~ ведет к системе линейных уравнений ~~> а, ф(/с — У)=ф(1), 1=1,2,„.,р, (11.4. 27) где ф(1) = ЕЫ1)у(г+ 1М. Их называют нормальиыми уравнениями Юли-Волкера. Матрица коэффициентов Ф с элементами фф — 1) является теплицевой матрицей. Следовательно, алгоритм Левинсона-Дурбина, описанный в приложения А, дает эффективный способ для рекуррентного решения линейных уравнений, начиная с предсказателя первого порядка и продолжая рекуррентно для нахождения коэффициентов предсказателя порядка р, Рекуррентные соотношения для алгоритма Левинсона-Дурбина таковы ан =, ~ =ф(0) ф(1) ф(о)' ф~е)- А,я' »ЮИ Ф„,, (11.4.28) а „=а„, „— а а„, „, „ г для т = 1,2,...,р, причем векторы А„, пг„", определены так: гт А, =[а„, „а„, „...
а ф"„, = [ф(т-1) ф(т — 2) ... ф(1)~ . Линейный предсказывающий фильтр порядка т можно реализовать как трансверсальный фильтр с передаточной функцией 568 11.4.2. Линейное предсказание н лестничные фильтры В главе 3 мы рассмотрели линейное предсказание сигнала в плане кодирования речи. В этом разделе мы хотим установить связь межу линейным предсказанием и лестничным фильтром. Проблему линейного предсказания можно сформулировать так: по значениям набора данных у(г — 1),у(к — 2),..., у1г — р) надо предсказать значение данных в последующей точке у(1) .
Предсказатель порядка р определяется так у (1)= Га~,у(1 — 1с). (11.4.25) А„,(г)=1-~~) а„,г ' (11.4.29) й=! Его входом являются данные (у(1)), а его выходом — ошибка е(!) = У(!) — у (~) Предсказывающий фильтр можно также реализовать в лестничном виде, как мы теперь покажем. Начнем с использования алгоритма Левинсона-Дурбина для коэффициентов предсказателя а, в (11.4.29). Подстановка дает т-! А (г)=1-,'Г(а„, „-а „а,„,,)г "-а„, г о~-! ~в-! =1- ,'! (а !„г -а „,г "' 1-~~) а„, „г* ь=! !..=! (11.4.34) (11.4.36) где ~'„,(~) = у(1)-"Га„„у(~-)с), (11.4.3 7) /с=! т-! Ь (Р) =Я вЂ” т) — ~~ а„„у(1 — т+й). г=! Для детальной разработки отметим, что ~'„,(1) в (11.4.37) представляет ошибку предсказания л!-го порядка по более ранним отсчетам (ошибка вперед), в то время как Ь„,(~) представляет ошибку предсказания л!-го порядка по более поздним отсчетам (ошибка назад).
(11.4.38) 5Ь!Ч = А„, !(г)-а„,„,г "'А„,,(г '). (11.4. 3 О) Таким образом, мы получили передаточную функцию предсказателя и-го порядка через передаточную функцию (и — 1)-го порядка. Теперь предположим, что мы определяем фильтр с передаточной функцией 6„(г), равной 6„,(г) = г "'А„,(г ') . (11.4.31) Тогда (11,4.30) можно выразить так А„(г)=А !(г)-а„,„,г '6„, !(г). (11.4.32) Заметим, что 6„,,(г) представляет трансверсальный фильтр с коэффициентами в отводах ( — а„, ! „— а„, ! „...,— а„, „, 1), в то время как коэффициенты для А, (г) такие же за исключением того, что они даны в обратном порядке. Больше понимания соотношения между А (г) и 6 (г) можно получить путем вычисления выхода этих двух фильтров при подачи ко входу последовательности у(!). Используя г-преобразование, имеем А„,(г)У(г) = А„,, (г)У(г)-а„г '6„,,(г)У(г) .
(11.4.33) Выходы фильтров мы определяем так Г.,( ) =А,( )~'(г) В„(г) = 6„,(г)1'(г). Тс1~да (11.4.33) можно записать Г (г) =У,(г)-а „,г 'В„,,(г). (11.4.35) Во временной области соотношение (11.4,35) можно выразить так 7„,(~)=~.. !(1)-а„,„,Ь„,,(г-1), п!>1, Соотйошение (11.4.36) — одно из двух„определяющих лестничный фильтр. Второе соотношение получается из 6 (х) следующим образом: 6„,(ю)=г А (г ')=г 1А,(з ')-а „г"А,(г)) =х 'б,(г) — а„„А„,(г).
(11.4.39) Теперь мы умножим левую и правые части (11.4.39) на )'(г) и выразим результаты через Е (з) и В (г), используя определение (11.4.34), мы получим В,(х)=х ~В,(г)-а Р',(г). (11.4.40) Путем преобразования (11.4.40) во временную область мы получим второе отношение, которое соответствует лестничному фильтру, а именно Ь„(~) = Ь.,(г-1)-а.„~„,(~), т >1. (11.4.41) Начальные условия Л(~) = Ь.(г) = У() (11.4. 42) Лестничные фильтры, описанные рекуррентными отношениями (11.4.36) н (11.4.40), иллюстрируются на рис.11.4.2.
(Ь) (а) Рис. 11.4.2. Лестничный фильтр. Каждый каскад характеризуется собственным коэффициентом умножения 1а„1, 1= 1,2,...,Ф, который определяются алгоритмом Левинсона-Дурбина. Ошибки вперед и назад )"„,(г) и Ь (~) обычно называют остатками. Средний квадрат этих остатков равен ж =Е~~„(К)~=Е~Ь„(г)), (11.4.43) а 8„, определяется рекуррентно согласно алгоритму Левинсона-Дурбина: (11.4.
44) где 1 $ =ф(0). Остатки (/„,(~)) и 1о„(Г)) удовлетворяют ряду интересных свойств, как описано Макхоулом (1978). Наиболее важные нз них — свойства ортогональности Е~Ь (г)Ь„(г)~=ж„б „, ЕЦ„(~+т)~„(~+и)1 = В„б „. Далее, взаимные корреляции между ~' (~) и Ь„(г) определяются так Е~ (г)Ь„(г)1=~ "" т,и>0. (а„„й (т >и) (1 1.4,46) (О (т <и) Вследствие свойств ортогональности остатков, различные секции лестницы проявляют форму независимости, которая позволяет нам прибавить или удалить одну или больше последних каскадов без влияния на параметры оставшихся каскадов.
Поскольку остаточный средний квадрат ошибки 8 уменьшается монотонно с числом секций, 8 570 можно исйользовать как показатель качества того, каким числом ячеек можно ограничиться. Из вышеприведенного обсуждения мы видим, что линейный предсказывающий фильтр можно реализовать или как линейный трансверсальный фильтр или как лестничный фильтр. Лестничный фильтр рекуррентен по порядку и, как следствие, число его секций (каскадов) можно легко увеличить или уменьшить без влияния на параметры оставшихся секций. В противоположность этому коэффициенты трансверсального фильтра, полученные на основе РНК, взаимозависимы. Это значит, что увеличение или уменьшение размера фильтра приведет к изменению всех коэффициентов. Следовательно, алгоритм Калмана, описанный в разделе 11.4.1, рекуррентен во времени, но не по порядку реализующих его звеньев.
Основываясь на оптимизации по критерию наименьших квадратов, лестничные алгоритмы РНК были разработаны так, что их вычислительная сложность растет линейно с ростом числа коэффициентов фильтра Ф (числа каскадов). Таким образом, структура лестничного эквалайзера в вычислительном отношении конкурентоспособна с алгоритмом быстрого РНК эквалайзера прямой формы. Лестничные алгоритмы РНК описаны в статьях Морфа и др. (1973), Саториуса и Александера (1979). Саториуса и Пака (1981), Линга и Прокиса (1984) и Линга и др. (1986). Лестничные алгоритмы РНК имеют несомненное будущее, поскольку они численно нечувствительны по отношению к случайным ошибкам, свойственным цифровой реализации алгоритма.
Трактовку их количественных характеристик можно найти в статьях Линга и других (1984, 1986). 11.5. СЛЕПОЕ ВЫРАВНИВАНИЕ В общепринятых эквалайзерах, работающих по алгоритму сведения к нулю или минимума СКО, мы предположили, что к приемнику передается известная обучающая последовательность для целей начальной настройки коэффициентов эквалайзера. Однако имеется ряд приложений, таких как многопользовательские сети связи, когда желательно для приемника синхронизироваться от принимаемого сигнала и настроить эквалайзер без использОвания обучающей последовательности. Техника выравнивания, основанная на первоначальной настройке коэффициентов без использования обучающей последовательности, названа самонас>праивающейся или слепой. Начиная со статьи Сато (1975), за последние два десятилетия были разработаны три различных класса адаптивных алгоритмов слепого выравнивания. Один класс алгоритмов основан на методе кратчайшего спуска для адаптации эквалайзера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
