Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 110
Текст из файла (страница 110)
2п" "' Т ''у ~Н(й+27Рт/Т)! +Хо В отсутствие МСИ Х(е'"т) =1 и, следовательно, 1 о ' у'о (10.2. 3 9) 1+У, Видим, что 0</ <1. Далее, соотношение между выходным (нормированного по энергии сигнала) ОСШ у„и У .,„выглядит так (10.2. 37) 524 Видиуя, что единственная разница между этим выражением для С'(т) и тем, которое базируется на критерии пикового искажения — это спектральная плотность шума у,, которая появилась в (10.2.33). Если Уо очень мало по сравнению с сигналом, . коэффициенты, которые минимизируют пиковые искажения У(с) приближенно равны коэффициентам, которые минимизируют по СКО показатель качества Х Это значит, что в пределе, когда Фо — +О, два критерия дают одинаковое решение для взвешивающих коэффициентов.
Следовательно, когда Уо = О, минимизация СКО ведет к полному исключению МСИ. С другой стороны, это не так, когда Лто ~ О. В общем, когда Фо ~ О, оба критерия дают остаточное МСИ и аддитивный шум на выходе эквалайзера. Меру остаточного МСИ и аддитивного шума на выходе эквалайзера можно получить расчетом минимальной величины,У, обозначаемую У,„, когда передаточная функция С(з) эквалайзера определена (10.2.32). Поскольку У=ЕЦ =Е~а„1„)-Е~„1о( и поскольку л Оу(„у,у=о у ~ у *ую~ ллы~~у10.2,27у, л лу У,„= Е(а,1„) = Е~1„~ — ~~ с,Е(и„, 1,) =1 — ~ с,. 1', . (10.2.34) тл- л у=-О Эта частная форма для У,„не очень информативна.
Больше понимания зависимости качества эквалайзера от канальных характеристик можно получить, если суммы в (10.2.34) преобразовать в частотную область. Это можно выполнить, заметив; что сумма в (10.2.34) является сверткой ус.у и Ж, вычисленной при нулевом сдвиге. Так, если через (6„1 обозначить свертку этих последовательностей, то сумма в (10.2.34) просто равна Ьо. Поскольку я-преобразование последовательности (Ь„~ равно В(г) = С(г)Г(г)— Р(т)Г*(з ')+У, Х(г)+Ф, ' У,— ,'~ ср„, У(К)=41 -1,~ =Я (10.2.42) о=-к (К) Минимизация- .У по взвешивающим коэффициентам ячеек, или, что эквивалентно, требуя, чтобы ошибка а, =У,— 1, была бы ортогональна сигнальным отсчетам о, „~1~ < К, приводит к следующей системе уравнений: к ~~> с Г. =с„1= — К, ..., — 1,0, 1,...,К, (10.2.
43) где к~ з+1Уобк Ф-у~-<У), ~-з о к 0 (при других 1, 1), ~Х~ ( — У, <1< О), ( 0 (при других 1). (10.2,44) (10.2.45) Удобно выразить систему линейных уравнений в матричной форме, т,е ГС=~, (10.2. 46) где С означает вектор столбец 2К+1 взвешивающих значений кодовых ячеек, Г означает (2К+1)х(2К+1) матрицу ковариаций Эрмита с элементами Г,.; а Р— (2К+1) мерный вектор столбец с элементами с,. Решение (10.2.46) можно записать в виде С, =Г 'с. (10.2.47) Таким образом, решение для С, включает в себя обращение матрицы Г. Оптимальные взвешивающие коэффициенты ячеек, даваемые (10.2.47), минимизируют показатель качества.У(К), что приводит к минимальной величине,У(К) о ~,„(К) =1-,'~'с 1 =1-1'Г'1, (10.2.48) о=-к где ко' определяет транспонированный вектор столбец ~.
У,„(К) можно использовать в (10.2.40) для вычисления ОСШ линейного эквалайзера с 2К+1 коэффициентами ячеек. 10.2.3. Характеристики качества эквалайзера по минимуму СКО В этом разделе мы рассмотрим характеристики качества линейного эквалайзера, который оптимизирован при использовании критерия минимума СКО. Как минимум СКО, 525 о тп (10.2.40) 'уют Более существенно то, что соотношение между у„и .1 .„также имеет силу, когда имеется остаточная МСИ в дополнении к шуму на выходе эквалайзера. Эквалайзер ограниченной длины.
Теперь вернем наше внимание к случаю, когда длительность импульсной характеристики трансверсального эквалайзера простирается на ограниченном временном интервале, т.е. эквалайзер имеет конечную память или ограниченную длину. Выход эквалайзера на Й-м сигнальном интервале равен к 1, = ~ср„, (10.2. 41) 1=-к СКО эквалайзера с 2К+1 ячейками, обозначаемый .1(К), равен (/;( +1ф =1. Имеем г (я) = /; + /, г (10.2. 49) Х(я) = // я+1+ / / я (10.2. 50) Соответствующая частотная характеристика равна Х(е"')= /;,/; е'"'+1+/,/;е '"'=1+ф, ~/;~соя(аТ+6), (10251) где 0 — угол /, /,*.
Заметим, что эта канальная характеристика содержит нуль на частоте а = и/ Т, когда /; = /; = Д. Линейный эквалайзер с неограниченным числом ячеек, построенный на основе критерия минимума СКО, будет иметь минимум. СКО, определенный (10.2.38). Вычисление интеграла (10.2.38) при Х(е'"'), определяемом (10.2.51), приводит к результату (10.2. 52) (~Ф,'+2У, +~/; -//;! / Рассмотрим частный случай, когда /, = /, = Я .
Тогда минимум СКО Х., =И./Я+~И ь ь Ью д ООи р иг у„= 1~ — — 1= —, У, 1. (10.2. 53) Этот результат можно сравнить с выходным ОСШ 1/Хц полученным для случая отсутствия МСИ. В этом канале возникает незначительная потеря в ОСШ. Пример 10.2.2. В качестве второго' примера рассмотрим показательную затухающую характеристику канала в виде /; = ~6 — а'а", Ф = О, 1,...
где а <1. Преобразование Фурье этой последовательности (10.2. 54) г Х(е' ~)= 1+цг -2а созе Т является функция с минимумом при а = х/ Т . Выходное ОСШ для этого канала (10.2. 55) Следовательно, потеря в ОСШ из-за интерференции равна 1018((1 — а')/(1+а')) 526 так и ввроятность ошибки рассматриваются как меры качества для некоторых специфических каналов. Мы начнем с вычисления минимума СКО /„ь и выходного ОСШ у, для двух специфических каналов. Затем мы рассмотрим оценку для вероятности ошибки.
Пример 10.2.1. Сначала мы рассмотрим эквивалентную модель канала с дискретным временем, который состоит из двух компонент /, и /,ц которые нормированы так ( l) 2К+Е 1 (10.2. 63) Условные вероятности ошибки Рм(0 ) главным образом определяются последовательностью, которая содержит наибольшее значение .О„т.е. тогда, когда 1„=+(М вЂ” 1), а знаки йнформационных символов определяют знаки соответствующих (д„~ При этом .О," =(М-1)~" (д„( (10.2. 64) Таким образом, верхняя граница для средней вероятности ошибки для равновероятных последовательностей символов определяется так: Р„- Рм (13.*) (10.2.65) Если вычисления вероятности ошибки по точной формуле (10.2.62) представляется слишком обремененным и слишком много теряется времени из-за большого числа слагаемых суммы и если верхняя граница слишком свободная, то можно прибегнуть к одному из многих различных приближенных методов, которые были разработаны и которые, как известно, дают плотные границы для Р~.
Обсуждение этих различных подходов уведет нас слишком далеко в сторону. Интересующемуся читателю рекомендуются статьи Зальцберга (1968), Луганани (1969), Хо и Е (1970), Шимбо и Целебилера (1971), Главе (1972), Яо (1972) и Яо и Тобина (1976). В качестве иллюстрации ограничения качества линейного эквалайзера в присутствии существенной МСИ„рассмотрим на рис.10.2.4 вероятность ошибки для двоичных (противоположных) сигналов, полученных моделированием по методу Монте-Карло для трех каналов с дискретным временем, показанным на рис.10.2.5.
С целью сравнения на рис.10.2.4 также показана характеристика, полученная для канала без МСИ. Характеристика эквивалентного канала с дискретным временем, показанная на рис.10.2.5(а), типична для телефонного канала хорошего качества. В противоположность, характеристики эквивалентных каналов с дискретным временем, показанные на рис.10.2.5(Ь) и (с), приводят к существенной МСИ.
Спектральные характеристики ~Х~е'") для трех каналов, иллюстрируемые на рис.10.2.6, ясно показывают, что канал по рис.10,2.5(с) имеет наихудшую спектральную характеристику. Следовательно, качество линейного эквалайзера для этого канала наихудшее из трех рассматриваемых случаев. Следующий по качеству канал показанный на рис.10.2.5(Ь), и наконец, наилучшее качество получается для канала, показанного на рис.10.2.5(а). Действительно, он проигрывает каналу без МСИ по ОСШ примерно на 3 дБ.
Одно заключение следует из результатов для выходного ОСШ у„и ограниченных результатов вероятности ошибки, иллюстрируемых рис.10.2.4; именно, что линейный эквалайзер приводит к хорошему качеству для таких каналов, как телефонные линии, у которых спектральные характеристики хорошо себя ведут и не содержат нулей. С другой стороны, линейный эквалайзер не годится как компенсатор МСИ для каналов со спектральными нулями, которые встречаются в радиосвязи, Эквалайзер с обратной связью, описываемый в разделе 10.3, представляется эффективным решением проблемы вычислительной сложности. 528 10-' 10-2 '1О-' 0 5 1О 15 20 25 30 25 ОСШ 1О 1087 (ць) Рис.
10.2,4. Веровтность ошибки с использованием МЯЕ эквалайзера 0,815 0,72 Д~2 =.1 и — т — ив — т — 01 0,5 (а) О.б88 (а) Рис. 10.2.5. Три характеристики дискретного во времени канала 529 34-56 о,оо о,оа -б,ао — 6„00 :с „-12,00 В -18,00 а -!2,00 -!8,ОО -24,00 -24,00 -зо,оо -за,аа а,оо о,з1 о,бз 0,99 1,26 1,57 1,88 г,го ггн г,аз з,!4 000 0 31 063 0,99 1,26 1,57 1,88 2,20 2,5! 2,83 3,!4 Частота в Частота в (а) 0,0 -6,00 -12,0 Й -!8,а а -24,0 -30,0 0,00 0,3! 0,63 0,99 1,26 1,57 1,88 2,20 2,51 2,83 3,14 Часвта в (с) Рис.!0.2,6.
АЧХ два каналов, показанных парис. 10.2,5 (о), (Ь) и (с) соспвстственно Т„1, Т! (10.2. бб) где Х" ( г)- сложенный или виртуальный спектр, причем частота сворачивания равна 1~2Т. Заметим, что спектр принимаемого сигнала зависит от выбора задержки при стробировании отсчетов та.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
