Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 109
Текст из файла (страница 109)
/оз 2)с -"тг "" 2)г -ктг Х(е™) ' (10.2.11) (1О.2. 12) а ОСШ на выходе ЭНВП равна УУ .1г с/о) у=.=~ ~ 2)С '- 1г Х(е'"") (10.2.13) где индекс у у указывает на то, что эквалайзер имеет неограниченное число ячеек. Спектральная характеристика Х(е' '), соответствующая преобразованию Фурье последовательности отсчетов 1х Д, имеет интересную связь с характеристикой аналогового фильтра Н(о)), используемого в приемнике. Поскольку ' Эта нормировка используется во всей главе для математического удобства 520 г-! с„' = ~С'(я)лк 'г/г = ~ г/г, (10.2.9) 271/ 2)г/ Х(л) где интегрирование выполняется по замкнутому контуру, который содержит внутри себя область сходимости С'(л) .
Поскольку Х(л) — зто полипом с 2Л корнями (. '-, р„р„...р,1/р'„1/р"„...1/р ), то следует, что С'(я) должен сходиться в плоскости, внутри единичной окружности (л = е'~). Следовательно, контуром интегрирования может ' быть единичная окружность. Качество эквалайзера с неограниченным числом ячеек, который полностью устраняет МСИ, легко выразить через отношение сигнал-шум (ОСШ) на его выходе. Для математического удобства мы нормируем энергию принимаемого сигнала к единице . Это 1 2 предполагает, что гуо =1 и что ожидаемая величина ~/а также равна единице. Тогда ОСШ равно обратной величине дисперсии шума а'„на выходе эквалайзера.
Величину о~ можно просто определить, если заметить, что шумовая последовательность (ч / на входе эквивалентного ЭНВП с характеристикой С'(л) имеет Э к, = ~ л (~) Ь(1+ ~Т)п1, то используя теорему Парсеваля имеем ) ! Н ( о 1 ) ( е ~ ~ и (10.2. 14) где Н(а) — преобразование Фурье от Ь(~) .Но интеграл в 10.2.14 можно выразить в форме г ~ н(„,2™) (10.2.15) Теперь преобразование Фурье (дискретное) (х,) равно Х(е'"') =,'5"„х,е "~, (10.2.16) а обратное преобразование Фурье легко выразить так Т ~г х = — ~ Х(е'"~)е'"~сЬ.
(10.2. 17) Из сравнения (10.2.15) и (10.2.17) мы получаем желательное соотношение между Х(е'"') и Н(в). Оно таково 2 Х(эг) 1 у Н +2пл Ц<~~ Т Т Т* (10.2.18) 2Я -нг >„~Н(а+2кп!Т)~ (10.2.19) Мы видим, что если сложенная спектральная характеристика ~Н(со) имеет нули, интеграл оказывается неограниченным, а ОСШ становится равным нулю. Другими словами, качество эквалайзера плохое всякий раз, когда сложенная спектральная характеристика проходит через нуль или имеет малое значение.
Такое поведение возникает прежде всего потому, что эквалайзер, устраняя МСИ, увеличивает аддитивный шум. Например, если канал имеет нуль в своей частотной характеристике, линейный ЭНВП пытается это компенсировать введением неограниченного усиления на этой частоте. Но такая компенсация искажений в канале достигается ценой увеличения аддитивного шума. С другой стороны, идеальный канал, связанный с подходящим синтезом, который ведет к отсутствию МСИ, будет иметь сложенный спектр, который удовлетворяет условию: ХН~" — 1 =Т, ~.~.— 2тщ ~ (10.2.20) Т В этом случае ОСШ достигает максимального значения, а именно у 1 Ло (10.2.21) 521 где правая часть (10.2.18) называется сложенным спектром ~Н(а)~ . Мы также видим, что ~Н(а) = Х(а), где Х(а) — преобразование Фурье от сигнала х(г), а х(1) — отклик согласованного фильтра на входное воздействие Ь(1).
Следовательно, правую часть (10.2.18) можно также выразить через Х(а). Подставив Х(е'"') согласно (10.2.18) в (10.2.13), получаем желательное выражение для ОСШ в виде нормировке ~у, к единице, пиковое искажение равно к+ь-~ к+т.-! У(с)= ~ д„= "> ~ с,/„', (10.2. 22) л=-К ихо Хотя эквалайзер имеет 2К+1 регулируемых параметров, имеется 2К+Ь ненулевых значений откликов ~~у„1. Следовательно, в общем невозможно полностью исключить МСИ на выходе эквалайзера.
Здесь всегда имеется остаточная интерференция даже при использовании оптимальных коэффициентов. Проблема заключается в минимизации У(с) по коэффициентам Д. Лакки (19б5) показал, что пиковое искажение, определяемое (10.2.22), является выпуклой функцией коэффициентов 1с,~. Это значит, что она обладает глобальным минимумом, а не относительным минимумом, Ее минимизацию можно выполнить численно, например, методом скорейшего спуска. Немного больше можно сказать об общем решении этой проблемы минимизации.
Однако, для одного частного, но важного случая, решение по минимизации У(с) известно. Это случай, когда искажение на выходе эквалайзера, определяемое как (10.2.23) меньше единицы. Это условие эквивалентно наличия открытого глазка априори до выравнивания. Это значит, что МСИ не настолько тяжелая, чтобы закрыть глазок. При этом условии пиковое искажение У(с) минимизируется выбором коэффициентов эквалайзера для обеспечения д„=О для 1<!п!<К и ~у,=1. Другими словами, общее решение по минимизации У(с), когда 0, <1, является «нуль-форсированное» решение для 19„1 в области 1<!п!<К.
Однако величины 19„1 для К+1<и<К+Š— 1 в общем ненулевые. Эти ненулевые величины образуют остаточную МСИ на выходе эквалайзера, 10.2.2. Критерий минимума среднеквадратичной ошибки (СКО) При использовании критерия минимума СКО, взвешивающие коэффициенты ячеек , ~ эквалайзера подстраиваются так, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки е„=~, — 1„ где У,— информационный символ, переданный на А-ом сигнальном интервале, а оценка этого символа на выходе эквалайзера, определяемая (10.2.1).
Если информационные символы (1„) комплексные, то показатель качества при СКО критерия, обозначаемый 1, определяется так ,У=Ее„! =ф,-1„! . (10.2. 25) С другой стороны, когда информационные символы вещественные, показатель качества просто равен квадрату вещественной величины вь. В любом случае, 1 является Эквалайзер ограниченной длины. Теперь обратим наше внимание на эквалайзер, имеющий 2К+1 ячеек.
Поскольку с, = 0 для !у > К свертка от (~„~ и 1с„1 равно нулю вне области — К<и<К+Л вЂ” 1. Это значит, что д„=О для п< — К и и>К+Š— 1. При квадратичндй функцией коэффициентов эквалайзера 1с,. ~, При дальнейшем обсуждении мы рассмотрим минимизацию комплексной формы, даваемой (10.2,25), (10.2.27) =0 или, что эквивалентно, Хс,.Е(о РФ,) = Е(У„О',), — ~ < У < (10.2. 28) ./ Ю Чтобы вычислить моменты в (10.2.28), мы используем выражение для о,, даваемое (10.1.16). Таким образом, получим Е(Ч,Ч.,)=Е,,1„Л„,-Лоби =~ ' ' ' " (10.2.29) (х, +Ф,б„(~1-Я < Л) 0 (при других 1, у) ~у", (-ь<ыо) '( 0 (при других У) (10.2.30) Теперь, если подставим (10.2.29) и (10.2.30) в (10.2.28) и возьмем г-преобразование от обеих частей результирующего уравнения, мы находим С(.)1Г(г)Г" (х-')+Л,1= к'(х-').
(10.2.31) Следовательно, передаточная функция эквалайзера, основанного на критерии минимума СКО, равна Э С(я) = (10 2.32) Р(я)Г'(я ')+ Ф„ Если обеляющий фильтр включен в С(я), мы получаем эквивалентный эквалайзер с передаточной функцией С'(я)- 1 1 (10.2. 33) Г(г)Г (я ')+Ф, Х(г)+Ф Эквалайзер неограниченной длиньк Сначала определим взвешивающие коэффициенты ячеек, которые минимизируют 1, когда эквалайзер имеет неограниченное число ячеек. В этом случае, оценка 1, определяется так У =~,'>ср,, (10.2.26) /'=- О Подстановка (10.2.26) в выражение для 1, определяемая (10.2.25), н расширение результата приводит к квадратичной функции от коэффициентов ~с, ). Эту функцию можно легко минимизировать по 1с,.~ посредством решения системы (неограниченной) линейных уравнений для 1с,.~. Альтернативно, систему линейных уравнений можно получить путем ' использования принципа ортогональности при среднеквадратичном оценивании.
Это значит, мы выбираем коэффициенты 1с;.~ такие, что ошибка еь ортогональна сигнальной последовательности и„, для — оо <1 < со. То есть Е(в„лз'„,) =О, — со <У <оо Подстановка в„в (10.2.27) дает (10.2.35) то слагаемое ууо равно — — — — — А (10 2,36) 25У' г 25У' г~Х(г)+У,~ Контурный интеграл в (10.2.3б) можно преобразовать в эквивалентный линейный интеграл путем замены переменной я = е'", В результате этой замены получаем ь,= — Г ьт 2к "-"' Х(е'"')+ Уо Наконец, подставив (10.2.37) в сумму (10.2.34), получаем желательное выражение для минимума СКО в виде Т «ут Х(еУВТ) Т «ут У ьт 2««4-«ут Х(еуоут)+ф 2«у э-«ут Х(еу~т)+Л~ (1 0.2.38) «ут Ф, й~й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
