Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Эквивалентная модель дискретного времени для межсимвольной интерференции, образованной дуобинарным импульсом а (т),.1 является последовательностью статистически независимых гауссовских случайных величин с нулевым средним. Мы можем теперь вычислить 16 метрик г 1 РМ,(1г,1,)=-~ гг„— ~~) 1г, Х„1г =+1,~3, (10,1.26) г=о 509 соответствующих М последовательностям, которые формируют продолжение М' выживших последовательностей на предыдущих шагах процесса Затем М'" последовательностей подразделяются на М~ групп, Каждая группа содержит М последовательностей, которые заканчиваются тем же набором символом 1с,„,...,у„„и отличается в символе 1,, Из каждой группы из М последовательностей мы выбираем одну, имеющую наибольшую вероятность, как отмечено (10.2.23), в то время как оставшиеся М-1 последовательностей исключаются, Таким образом мы оставляем снова Мг последовательностей, имеющие метрики РМ,(1 „), Как отмечено ранее, задержка в детектировании каждого информационного символа по Витерби, вообще говоря, меняется.
На практике изменение задержки устраняют путем удержания выживших последовательностей с д последними символами, где д » А. Тем самым достигается фиксированная задержка. В случае, когда М~ выживших последовательностей на А-м шаге не совпадают в символе 1„„можно выбрать символ в наиболее вероятной последовательности Потеря в качестве, возникающая из-за этой субоптимальной процедуры оценивания, пренебрежимо мала, если д > 5А .
Т Т Т 1 2 2( 3! 2!21) Р 1( 2!21) 3,!..!23-! . ( !яя Из четырех путей, заканчивающихся 13=3 мы сохраня м б внаем наи олее правдоподобные, Это процедура снова повторяется для У = 1, 1 = -1 1 =— 3 3 и, = — 3 . Следовательно только четверо путей выживают на этом шаге. Процедур цедура затем повторяется для каждого последовательного принимаемого сигнал л 3. а 23„для > 3. 510 Рм102, 1!1 Рьг2113, 12, 111 гм3113, 1,, 12,3!1 Рис. 10.1.5. ...Древовидная диаграмма для декодирования по Внтерби дуобинарного импульса где 1, = 0 для 1! < О, Заметим ~то не все последовательно принимаемые сигналы 133,.1 включают в себя У1.
Т аким образом, на этом шаге мы можем исключить 12 из 16 возможных пар 11„121. Этот шаг иллюстрирует древовидная диаграмма, показанная на рис. 10. 1.5. Другими словами, после вычисления 16 метр ик, соответствующих 16 путям древовидной диаграммы, мы исключаем три из четырех возможных путей, которые кончаются на 1, = 3 накапливаем наиболее правдоподобные из этих четырех. Таким образом, метрики для выживших путей равны 2 ! гм!!,=!.!1= -Ц~ -~'! а=! !=о ) Процесс повторяется для каждого набора четырех путей, заканчивающихся на 1 = 1, 2 12 = — 1 и 1, = — 3.
Таким образом, четыре пути и соответствующие метрики выживают после того, как приняты 231 и о, Когда принято о,, четверо путей расширяется так, как показано на рис.10.1.5, чтобы производить 16 путей и 16 соответствующих метрик ! определяемых так Ь г РМ„(1„) = РМ,,(1,,) — ~„— ~~ ~.1 1=о (10.1.28) где символы ()'„) могут принять значение +И, +3И, ...,1(М вЂ” 1)а', а 2И вЂ” это расстояние между соседними уровнями. Решетка имеет М состояний и определяется в момент х так ~ь (' 1с — ! ~ ~А'-2 ~ ' ' ' ~ ~/с-А ) ' (10.1.29) Обозначим оцененные символы посредством алгоритма Витерби через ~„~, а соответствующие оцененные состояние в момент Ф так (10.1.30) Теперь предположим„что оцениваемый путь по решетке ответвляется от правильного пути в момент х и сливается с правильным путем в момент 1+1.
Таким образом, Я, = Я, и 5„„=Я„„, но Я ~5„, для 1<я<Й+А. Как и в сверточном коде, мы назовем это ошибочным событием. Поскольку МСИ канала простирается на 1+1 символов, то следует, что 1> 1+1 Для такого ошибочного события мы имеем 1„~1„и У„...
~У„„, „но 1„=1„для 1 — Е < т < х — 1 и к+/ — Ь < и < 1+1 — 1. Удобно определить вектор ошибки соответствующий этим ошибочным событием, так в=К е„, ... а„„,,), (10.1.31) где компоненты е определяются так 1 е,. = — (Т~ — Т,), у =1г, я+1...„юг+1 — Š— 1. (10 1,32) Нормирующий множитель 1/2а' в (10.1.32) приводит к тому, что элемент а, принимает значения 11, +2, +3,...,+(М вЂ” 1). Более того, вектор ошибок характеризуется свойствами, что в„~ О, е„„,, ~ 0 и что нет последовательности из Е соседних элементов, которые равны нулю. С вектором ошибок в (10.1.31) связан полипом степени 1 — Л вЂ” 1.
а(а) =а~+а~ ~з +еь,~ю +...+е~,„~ г ~ ~ ~~, (10 1,33) Мы хотим определить вероятность появления ошибочного события, которое начинается в момент Й и характеризуется вектором ошибок в, определяемым (10.1.31) или, что эквивалентно, полиномом (10.1.33). Чтобы найти его, будем следовать процедуре, разработанной Форин (1972). Конкретнее, чтобы произошло ошибочное событие е, должны произойти следующие три подсобытия Ь;, Е, и Е,: Е,: вмоментЙ, У =Я~; 511 10.1.4.
Качество алгоритма МППО для каналов с МСИ Ф Теперь определим вероятность ошибки при использовании алгоритма МППО (М1.8В) для принимаемой информационной последовательности, если информация предается посредством АМ, а аддитивный шум в канале гауссовский. Похожесть между сверточным кодом и МСИ конечной длительности в канале подразумевает, что метод вычисления вероятности ошибки последней вытекает из первой. В частности, метод вычисления качества декодирования мягких решений сверточного кода посредствам алгоритма Витерби, описанный в разделе 8.2.3, применим здесь с некоторой модификацией. При использовании в канале с аддитивным гауссовским шумом и МСИ сигналов АМ, метрики, используемые в алгоритме Витерби, можно выразить как в (10-1-23) или, что эквивалентно, так ~< цс-~х11, <~".
о,-~„х1,, Р(Е,) = Р (10. 1,34) Но О1 = ',1 11 1,, +211, (10.1.35) »аО где (21,.)- вещественная белая гауссовская шумовая последовательность. Подстановка (10.1.35) в (10.1.34) дает 2 »+1-1 » »а1-1 Р(Е,) = Р ,'> 21, +21',»„1;.е,, < ~Г,т1,'. с=» 1=0 са1с (10.1.
36) 4Ы~~Г 21,. ~1;.е, <-4И' ~',2 1',.е,, где а,. = 0 для 1 < 1» и 1 > 1+1 — А-1. Если определим а,. =~~Г~е,, (10.1.37) 1аО тогда (10.1.36) можно выразить так »+1-1 Ы-1 Р(Е,) = ~, а,21,. < — И~а,'. с=1с 1=1с где множитель 412, общий для обоих слагаемых исключен. Теперь (10.1.38) как раз определяет вероятность того, что линейная комбинация статистически независимых гауссовских случайных величин с нулевым средним меньше некоторого отрицательного числа. Т.е. (10.1.38) Р(Е,) =Д / — 2,' а,') (10.1,39) Для удобства определим »с1-1 Ы1-1 2 2 Б'(е) = ~~1' а,' = ~ ~~Г 1',е,, =» саа (10,1.40) где в =0 для 1<1» и 1'>11+1-Ь вЂ” 1, Заметим, что (а,),определяемые сверткой (11) и (е,), являются коэффициентами полинома с»(к) =Р(к)е(к) =а»+а»„г '+...+а»„1з "".
(10.1.41) Далее о'(е) просто равно коэффициенту при г' в полиноме а(к)а(з ') = Р(к)Р(к ')а(я)е(г ') = Х(г)е(~)е(2 '). (10.1.42) 512 Е,:, если суммировать информационную последовательность 1„1„„„..., 1„„,, с масштабируемой последовательностью ошибок М(а»ае»„,...,е»„»1) должна получиться разрешенная последовательность, т.е.
последовательность 1„, 1„„,..., 1»„1 . 1 должна иметь значения, выбираемые из ряда 1 а', ~ 3»1, +... + (М вЂ” 1)Ы; Е,: для 1 ~ т < 1»+1 сумма метрик ветвей оцениваемого пути превышает сумму метрик ветвей правильного пути. Вероятность появления Ес равна Мы назовем б'(е) евклидовым весом ошибочного события е Альтернативный метод для представление результата свертки (Я и (с11) — это матричная форма а=еГ, где а-Е;мерный вектор, Г- (1+1)-мерный вектор, а е — 1х(1+1) матрица: а„„, е„О 0 ... 0 егг аг О ° ° О е„.„г ее„е„...
0 (10.1.43) е о+ьг-1 Ь~(о) =а а=где ет =г~Аг, где А (Е + 1) х (Х. + 1) — матрица вида Тогда (10.1,44) Ро Р1 Рг " Рг Р1 Ро Р1 -. Ргч Рг Рг Ро Р1 Рг-г А=е е= т (10.1.45) ~е,ег,„. (10. 1. 46) г=ь Мы можем использовать или (10.1.40) и (10.1.41) или (10.1.45) и (10.1.46) для расчета вероятности ошибки. Мы обсудим эти вычисления позже. Теперь же мы сделаем вывод, что вероятность подсобытия Ег, определяемого (10.1.39), можно выразить так Р(Е,) = Д вЂ” Б'(е) =0 —, у,„б'(е), (10.1.47) о 33-56 513 где мы использовали отношение ТР (10.1.
48) уг 1 г' Для исключения ог', а у =УР /Уо. Заметим, что в отсутствии МСИ б'(е) =1 и Р(Ег)) пропорционально вероятности ошибки на символ в М-позиционной АМ. Вероятность подсобытия Е, зависит только от статистических свойств входной последовательности. Мы предположим, что информационные символы равновероятны и что символы в передаваемой последовательности статистически независимы.
Тогда для ошибки вида Ц = г, г =1,2,...,М-1 имеется М-1 возможных значений У„таких что 1,. = У, +2гй,, следовательно «0.1.50) Х ()П '--~-~ и', -' < ~> КЯ у,„б, «0,1.52) б аав где «0.1.53) Выражение для вероятности ошибки в «0,1,52) похоже по форме на вероятность ошибки для сверточного кода при детектировании мягких решений, определяемая (8.2.26). Взвешивающие множители (К,) можно определить посредством диаграммы состояний ошибок, которая схожа диаграмме состояний сверточного кодера Этот подход был показан Форни «972) и Витерби и Омура «979). В общем, однако, использование диаграмм состояний ошибок для вычисления Р, утомительно. Вместо этого мы можем упростить вычисление Р„,, сосредоточившись на основной член суммы «0.1.52). Из-за экспоненциальной зависимости каждого слагаемого суммы, выражение Р, в основном определяется слагаемым, соответствующим минимальному значению Б, которое обозначим б .„.
Тогда вероятность ошибки на символ можно аппроксимировать так «0.1.54) где ~-~- и-И К6.,„= Х ~Ф) П еевц,. ~=0 М «О. 1.55) с-с.-1 и Ц П М С10.1.49) Вероятность подсобытия й значительно более трудно вычислить точно из-за ее зависимости от подсобытия Ез. Это значит, что мы должны вычислять Р(Е,!Е,) . Однако Р(Е, ~Е,) = 1 — Р,, где Р, — вероятность ошибки на символ. Следовательно Р(Е, Е,) хорошо аппроксимируется (и ограничено сверху) единицей для разумных низких значений вероятности ошибки. Таким образом, вероятность ошибочного события е хорошо аппроксимируется и ограничена сверху так; ~-~--1 и -а~ Р П ~ И'-1",, И Пусть Е является набором всех ошибочных событий е, начавшихся в момент /с и пусть в(~) является соответствующим числом ненулевых компонент (весом Хемминга или числом ошибочных символов) в каждом ошибочном собьггий е.
Тогда вероятность ошибки на символ ограничена сверху (объединенная граница) так б, ' 'и-Ц Р <~~~ и(е)Р(е)<~ (е)Д, у„б (е) П, «0,151) ее Ь' ьк М' — 1 =о Теперь пусть |1 является множеством всех б(е) . Для каждого б е В, пусть Е, являются подмножеством ошибочных событий для которых 5(е) = б. Тогда «0.1,51) можно выразить равна Г(г) = /, + ~к ', Для ошибочного события длиной и еФ =во+... '+...+...Р- -, Произведение и(т) = Е(г)е(г) можно выразить так а(т)=а,+а,я '+...+а„з ", (10. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
