Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 39
Текст из файла (страница 39)
БХ[38](5) /' 1 с1дих (, 2 / )4и с(х = в(п —, и)п""х 2и )/а 3.627 ~ — 1<йви< —,']. БХ [55](12) и е= г~ргг)г(-.—,) г( е(пеп х 1 Г1 у' и (,2 О С-,'> р) 01- 3.628 25 геалииы интегеелои ")/соя2хг1х=~, ),; (сравни 3.251 1.). БХ[38](4) о 386 о — 4. ОНРедкленные интеГРАлы от элжментАРных ФУнкпий 3.631 е ал 2 к е1п —, 2 ' 2 [Кем > О]. ЛоЧ121(67) и, В 337 и ул янР-я х я(п мх Их = — соя — [Ке ъ > 1]. ~[ — 1 2 о ГХ [332] (16й), ФП 152 я(п" х я1п Рх дх = 2 н я1п— -е ек 2 я(п" х я(п 2тх Ых = О. [Ке м > — 1].
ЛоЪ 121 (69) ГХ [332] (11а) ~ я(пе" хя1п(2т+ 1)х[Ь=2 ~ я(по" хя1п(2т+1)х Их= ( — 1)~п 2"+1 и! (2п — 1)! [ (2п — 2т 1) [! (2п[1(-2п+1)(Г ( — 1)" 2'"" и! (2т -2 — 1)!! (2 1)(! [т, л] е). ГХ [332] (11Ь) (2[а+ 2п+ 1) ! ! я(по""хя!о(2т+1)хйх=2 ~ я(по~'гхя1п(2т+1)х~х= С » ~ ~ 1 ~ > ~ ~ ~ 2 п ~ 1 ~ ~ ~ о е | о ( ) [и>~[; =0 [и < т].
я( по х соя (2т+ 1)х [Ь = О. о БХ [40] (12), ГХ [332] (11с) ГХ [332] (12а) ал л савв 2 яп[~-' х соя ах сЬ— о 1[+а г 1 е — а+1 [Кем > 0], ЛоУ 121 (68) и, В 337 и соя -' х соя ах[1х— о [Ке~ > О]. ГХ [332] (9с) е) При п[=п следует положить (2п — 2[п — 1))! =1. 3.63 Степени тригонометрических функций и тригонометрические функции от линейной функции аргумента З.б — [в.1 ТРИГОНОМБ гРИЯЕСКИЖ Ф,г'НКЦИИ [йеч) 1].
ГХ [332] (16Ь), Ф11 152 Л т 121(70) ВХ [40] (16), ГХ [332] (12Ь) =0 [и < т]. 1)гп 2п г и! (2п+ 1)[[ (и†2 + 1))! ( + 2 -!- 1))! ( — 1)п+12пв1в! (2[п — 2п+1)И (2п+1)(! (2гп+2п+1))! [и ( т.— 1]. ГХ [3321 [12с) ГХ [332] [16с), Ф11 152 15. соя х в1п пх [Ь = [1 — ( — 1) '"] сов х я1ппх [Ь о т-1 г .[. -гв-г)гг, юг - -угг) ] ) ~4 (га†й) ! (п1+п)(! (иь+в)(! 2 [и — т=41+2> О], у= я= 1 [и — т=21+1>0], и [т~ п], О [п — т=41 или и — т <О] 2 1 . гег[ 10. ~ в1пгг — 2 х соя Рх 11х = — я1п— ч — 1 2 о 11. я(п'" х соя 1[х Ых = — соя — [йе ч > — 1]. я 1гп 2 12. ~ я(поп х соя 2тх 11х = 2 ) я(поп х соя 2тх [1х = о о '[ „[ [в> ~[г 13. И1пяп'1 х соя 2тх ах = 2 в!по"'1 х сов 2тх ах 1 14.
сов" — 2 х и)п чх [1х = — [В е м ° 1]. 2 П 16. ~ еев" ввшвве[е= — „2; в 1 2" о [г~1 ГХ [332] (13а) ФП 153 388 г — в. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕТРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ О [т — и= 2й], где а= 1 [гп — п=4Й+ Ц, — 1 [т — ]г = 4й — 1]. ГХ [332] (14а) ( — () иви1[[ ад О [а ~ О, +- 1, ]- 2,...]. В 342 [В. '] в вас в * Ь=О [Нав) 1]. о г 20. ~ соя"зсоа]гх Ыж= о ГХ [332] (16а), ФП 152 ЛОЪ 122(78), Ф11153 [рг < а']. БХ [62] (11) ( в[во- -в[а( о аа (,".]1 .. Л Я|П вЂ”, х " в, в( -~- ° -[в — .].в) 2 [Кем > 0].
ВЗЗ7ц сов']'-1ю э1п ~ и 2 и-[ в[в][х-]-2в[х]ах=[ — []" '2 [ 'в[ ', (" '). л [4[][а] [] =[] и г 5" 'с в" '* ох]~[в — а]]а~=[[ — [ — []со ]- ] сов" '* — й и (( — ( — 1)И+И[) а ООЭ ти [~>ш]. 2 ЛОЪ' 123 (80), Ло'][' 139 (94а) []. ) с в"х о Хв [1-]-[ — В] "[1~ в" с в Х*= О О и! л (т — п) (т — и+2)... (ив+и) [п(т]; [1.]. [ — [] ] [ — в„„(в ] [т(в в — = 2й]; 2а+ „., + „+ ., [Ш (И И й — И$ =21+1]; 3.635 БХ [42] (22) соя 'хяЬП [(и+1) х] сйдхььх= — . 2 БХ [45] (18) БХ [45] (20)и БХ [45] (21) 3.637 1. г. 2. 3.
Я вЂ” Ь ОПРЕДЕЛЕННЫП ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФРНКЦИЙ Ь м ь~в и =ф[Ь('~') — Ь®)~вар>о~. вхРьи7) е соя~ х я1п рх В~ х ььх ° 0 м ч~д ~в~ Г (в+я — Й) -гг:»:г(р) .й ~ь/ (. А)( [р~ — 2"]- й 0 йдАвх яш 2х ьЬ= — совес ~ [О С Ве)ь < 2]. 2 е 16+вхсоя2хдх= Г ~ веса [) Вор,~ < 1]. й 2 г — ' г йдяях Г сВв вх ~ + 2 — Нх= ь(х = е сов х ~ эьах 2 )~ Я 1 — — <Йе(АС1], (сравни 3.2Ы 1).
БХ[45](13 и 14) Сф'хя(пв вхв1пдхьЬ= — соя ('+~) В(р-(-д — 1 1 — р) е [р+ д > 1 ) р]. ГХ [332] (15й) сдвхя~п~ х соя уха — яа В (р-(- д — 1 1 — р) [р+ я > 1 ) р]. ГХ [332] (15Ь) сСф'хсоя~ вхв1ПДхьЬ=сов ~ Б(р+д — 1 1 — р) [р+ у > 1> р]. ГХ[332](15с) 391 Я В вЂ” Ь 1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ЬЬЬСНКЩЧИ с(8вхсоз хсов дхвьх — ып — В(р+д — 1, 1 — р) 0 [р+д > 1 > р]. ГХ [332](15а) 3.638 яес)вьь ~[абер' ~ < соя 2« сов х (сравни ЗЛ92 2.). БХ [38] (8) Г )ь~- —, Г(1 у ьь ~ — — < Ве (в < 1~ . БХ [38] (17) ьь 1 ь 2 вь и 2 2« ь)х соя» 2х сов« о совв ~ х вьп рх вьп х 2 о ГХ [332] (17), БХ [45] (5) 2 2 Б1ПЯ ЬХСОБ ЯХ [' ВЬП Я«СОво-ьх дх= [ Их= а соя х+Ь выл«,) а вьп х+Ьсов « о о [ Ь>О, О<р<1].
ГХ [331] (62) 2 Яьав«СОЯЬ РХ (вьп «+соя «)в я 2 В1ПЬ Р Х СОБЬь Х (яьп «+Сов х)в о (1 — Р) Е ясозесрл [ — 1 < р <2], БХ [48] (5) 3.642 яьп2» 1« сов2х 1 х 1« 1 (а' вшв «+Ь'совьх)»+» гав»Ь2" „В ()ь, вь) [Йе)ь > О, Ке х > 0].
БХ [48] (28) 2 в( "," 1 выла ьхсова ьхььх 1 2 ' 2./ ГХ [331] (59а) [ЕЬ > О]. (аьсовь«.2 Ьь,ььььх)в г(аЬ)ьь о 3.64 — 3.65 Стенени тригонометрических функций и рациональная функция от тригонометрические функций 3.641 з — в, опржджлжнныж интжгралы от элжмжнт.м ных отнкции 1 в(нввх Их 2 ) (а'сов*х+Ь'в)н'х)'"' о „с ~~ )~' совР* х сов рх Нх ч~~ /2и — й'~ /' р+ й — 1~~ Ьв-г (а~соввх+Ьгян~а)а ' ~ ~„а / ~, й ) г2 вс-в+г(а г Ь р+в ( ) а+) [а>0, Ь>0, р> — 2п — Ц.
ГХ[332](30) 3.643 ,— 2г+, 1 [а <1, р> — 'Ц. ГХ[332](ЗЗс) ь 81нвв х сов й х сов рх (1 — 2а сов 2х+ав) о за — 1 пз — й — г 23и — а — г (1 ) )на~+В+~ Х Х (й)(1)~ ~ — 1 ) [ав < $, [~ =2гп — 2п — р,— 2, )г> — Ц. ГХ[332](33) вт'а х Р+о сов х ,а Р ~ / Рв — О* '~ч — Г ~,Гт+1 — 2х ш+1 — 2х ~ ~ Р~ — У~;й ю А = — ~ 1 — 1 — — ) [т = 2й+ 2]; пр Г дй Р 4= — 1п Р Я Р Ф [лг =23+ Ц [Ь>1, о. -О, р — ()в>0]. — ) [ )х.
) Интегралы 3.644 приведены в статье Н. В. Бродовнцного вОб интеграле ~Ьъ, ДАН $20, М б (1958). о 3.644 «) 1. 2 в 1нв"х с(х (ав сова х+ Ьв вшв х) "+г о 2 сов~~~х ах (а~ вш~х+Ь~совгх)" ' о 1 (' сов'"х Их 2 ) (аг ыовх+Ьгсовох)а'~ о [аЬ > О]. ГХ [33Ц (58) З.Π— $Л 'ГРИГОНОМИ'ГРИЧЕСКИИ ФЪ'НКЦИИ 3. 1 — сов х 2 ' 2,4[ 4 о 46е е, (1 у'1 е',) в[овх р 1 6' рв ~ р+д Их =2 —, + — ~ 1 — —,) 1Г[— р+а сова ов а '6, ав ) р — а ' СОВ" Х 6[Х Я Х [а+Ь сов х)л+1 2л(а+Ь[л у аз о х ~ [ — 1]' ",„",,'," "" ("',)' [ ' > Ье].
Л [64] [16] АХ=с 3.645 3.646 '1 — а сов 2лх л6 соя х сов тх с[х 1 — 2а сов 2пх+ав = 2 „'«~ (» ) и'+ 2 „1а'< 1]. ЛИ150](7) / — $ 3.647 О 15 — 1 = — соево — я 6~~; ( — 1) я$п — 6т х 1 п6 Ьи 2П П Л 4=0 Сф Х4[Х П6 1+ сов — [6 в1П 2х П х [6( „) — 9( —,„)] [ -1- е е ее]; Л 1 2 =-сояес — я ~ ( — 1) я1п — и Х 1 [В тз [, . Ьщ П Л П Х [6 "+ ) — 6( — )] [ -]- е~ж] [! — натуральное число]. ЫХ 136] (5) 1. ] -е" ', 6Е= —,", ~ ( е ) — 1 — ] ] '(1] ВХ[50][6] о 394 3 — 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 2 2. [ „. Х-авовввов!обооювв)6а) ))йва)<1, В < БХ [47] (4) 3.649 М+" 2 11 О ~овнов~~в [1-6( — ) ] )а ) 1) [-2.<йер, <1].
БХ[50](3) % — вво — [Π— ( — ) ) ) >О) []Вор[<1]. БХ[50](4) 3.651 1. [о . * * — — [6(" ) 6( ) ) [ВоР) 1) ЗХ)66)16) О [о "„,*.„',.= —,[6(абв )-66(666')] )3.„) в) О БХ [36] (4) и 3.652 1. 1К)в х 6)х ~ с1д)' х )(х = л созес Рл 0 Ве (3(П Х+ СОЗ Х) 31П Х,) (31П 8+ СО 3 Х) СОЗ Х )л [О < Ве р < 1]. О О БХ [49] (1) 2. йц" тс).
~ с1дПх1х = — ясВдья 0 Не (з)пх — соз х) з)пх 1 (соох — з)пх) созх "' [ < Р' < О БХ [49] (2) з 1 Вв 1 2 «+- 2 8 —— сф х )вх [' од х )вх Г 1 1 [в 2 (31ПХ+СОЗ Х) СО8Х (81ПХ+СОЗХ) СОЗ Х =леес л [ Ве О БХ [61] (1), БХ [61] (2) 395 в.а — 4л таиГОнометаияесиие юмнхции 3.653 Са вахсЬ (' сйа а тих Я аз сова х+Ьз 51авх,) а~ 5)азх+Ьз созз х 2а~аЬ~ — ~а 51п рд [О < йе р < 1]. 1'Х [331] (59Ь) 3 и овес~ е о йд"хю1х ' сайф'хнах 2 1 — а 51азх . 1 — а совах 2~/ 25 11 — а) [~ Ве р ~ < 1, а < 1]. БХ [49] (6) 2 о [1 Ве р [ < 1, 15 < лв].
БХ [49] (7), БХ [47] (21) ~Еахяпзх,ХХ (' св~ахсочзх ах 1 — соззю ыаз2Х ) 1 — сове~ ьш~2Х е о = — сояес 21 вес ). соя ! — "'~ — (р+ 1) М ] ц йа р,1 < 1 15 < лз]. 2 БХ[47](~5)и, БХ[49](10) йф'х савв х Нх (' саар"' х вш* х Юх 6, 1 со5* с 51п 2т з 1 сов 1 51п 2Х о о = — повес 21 вес ~" соя —," — (Р, — 1) 8 ] Ц Йе р $ < 1, й~ < из]. 2 БХ [47] (24) и, БХ [49] (9) .2 2 Фда+ асов х их ~ ~В~а Х~1пз х ах и(~~ 5!и Ф совц8 — сов ~ 51а)~й) (1~-с с а2х)з= ) О:! совхма~ ~~ 2 5)а ая в)пз ( о [~ йе р ~ < 1, 15 < лз].
БХ [48] (3), БХ [49] (22) 2 [ < е)з ]. [О<Бе) <1]. [вш х+ сов х) 5ш )йя о 2 ыз — з) Ь; — —;;.т; + —.агав — х(вн(а. БХ [56] (9) БХ[45](27 и 29) Сд~" х 51п 2х 4. 1 дх=лсовес21совес — 51п ~ ~ — — 1) р, ] ] 1 — сове ю зю~ х [! Ве р ~ < 1, 1' < лз]. БХ [47] (22) и  — а ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНГаВбРНЫХ ФРНКНИЙ 3 С~вбб-б» б(» 1 — 2а (соз вб вша х+ сов бз созб х)+ аб о 3.655 а С1двбб 1х а1» 1 — 2а (соз 8б сов*»+соь Сд зша х)+ а' я созес )бл (1 — 2 соз б +ббз)б' (1 — 2а соз б +аз)~ [О < Вор, < 1, 1' < нв, 1 < яв]. БХ[50](18) 3.656 [Ве )б ) — 1], (сравни 3.651 1.
и 2.). Ди [36] (10) г 2. 1дбб бх сбнз х б(х (' с1дбб 1 х з)нз х г» 1 збоб» созе »,) 1 — вшах сова а о о == созес совес ~ . н) [О < Ве)б ( 4]. к )бл Г 2+8 4У2 Е ~. Е Ли [47] (26) 3.66 Формы, содержап1не етенени линейных функций от тритонометрических функций 3.661 !. 1~~в! *+ба вхх "У =О. о БХ [681 (9) 2. [ б в1а*.ббааа~б~" а~в= ..баба бб б'. (2п — 1)! б (2п) И о БХ [68] (8) б.
[ба+бава б"вбх —. ~ (~-вбааа~б"Хв= п,Г а =*к(аз — ЬВ)'Р ~ ~Гав — Ьб) — 1)а 2п — 2)б б ь-о '- 1 -"."'::.:.-'(- ("')- ("") о .У-б(~„)-бб(~ )+2~(в ) — 2б( — в")б 3.6 $.1 ТРИРОНОМЕТРИЧЕСКИЕ сРУНКЦИИ 4. Их 1 ~ 4х (а+Ьсевх)» 1 2 ~ (а+Ьсозх)» 1 "=.'-( ) = ! в Ьй) 2 п ~т. (2а — 2Ь вЂ” 1) ! ! (2Ь вЂ” 1) й ~'а+ Ь '|" 2" (а-)-Ь)и рв аа Ьз ~1 ги — )в)! Ы ~. а — Ьв) А=О [а > ~ Ь )]. ГХ [332] (38), Ли [64] (14) 3.662 1. ] (ввс * — 1) Ы * В* = ) ~ссс с * — !)в ссв *Ш = О = ии сояес ил [~ Ке )2~ < 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
