Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 41
Текст из файла (страница 41)
БХ [35] (16) 17 ~ (ия х — сСК" х] (СК х+ сия" х) 1х »1п пл сои 2х еоь ил+сои»л О [~ Ве)и] < 1, ~ Ве ч ~ < 1]. БХ [35] (25) 18. (я х сия х 4х (,6 —. 16" х — сидя х в(п 2х 4р 2)1 [О( Вем < 1]. БХ [37] (14) ид~ х+с$д» х О ьф» х+ с~до х 1Ь л ясс я1а 2х 4р, ~р [0(Ве» < 1]. БХ [37](13) г О~~ БХ [49] (29) [р.>0, »>О]. г (ь1п'" х+ совеся т) сФд х ех л рл . Пи — СОЯЕС ( СОЯЕС вЂ” И1П— ЗШ» х — 2 СОВ1+СОИЕС х »» О [)<Ч Ли [50] (14) г я1п" х — 2 соя 11+ сояесз х - сй8 х. с(х = и1п» х+2 соз 1 +созес" х И~ Фи 1а = — сояес1 соиес — я(п — — — сояес~ соей » ч»» и 1 [м>р>0 или ч<р(0 или р,>0, »(О и р,+м<0 или )и ( О, е > 0 и )г+м > О].
БХ[50](15) 14. 1 Ых (' 1 1М (аф" +сиеих)»'1~ .= Й (гбзх+сгбих)» 'Я'п2х О О [» > О]. БХ [49] (25), БХ [49] (26) ИГ»+— 2 6.6 — 6л ТРИГОнометРичисниж Функции 3.69 — 3.71 Тригонометричеекие функции от более сложных аргументов 3.691 1. ОВ Ов я1п(аха) 2Ь= созах'ах= — у — [а > О]. 1 /22 2 2а о Ф П 743 и, ИП1 64 (7) и 1 х ) )Ш- )/,-"2!д ) )а>0). о 1 он!ах') ! = )/ — "С!дна) )а>0).
о ИП18(5) и я1 и (ах2) я1п 26х СЬ = 1/ — 4соз — С ~=) + я1а — Я ( =) 1 2а~ а п.у'а.х) а ( ~/а)! ИП182($) и [а>О, Ь>0] /22 Г Ь* . Ь'1 зьп (ах') соз 2Ьх а)х — ~/ — ~ соз — — з1п — ~ = 2 ~/2а1 а о = — ~~' — соя ( — + — ) [а > О, Ь > О]. 1 / 22 /Ь2 л 2 )/ а ~.а 4,х! ИП182(И), БХ [70] (13), ГХ [334] (5а) ОО ~ вовах'н!п2дхОв — )/ —" )нш — С (=) — о — Ю (=)) о [а > О, Ь > О]. ИП1 83 (3) и ОО соз аха соз 2Ьх 22х = — 1/ — 1соз — + зш — 1 о [а > О, Ь > О].
ГХ[334](5а), БХ[70](14), ИП124(7) 2 а 22 дх аа (соя ах+ зш их) з(п(Ь'ха) 2Ь = — р' — ехр ( 2Ь ~/ 2 д 2Ь ./ [а > О, 1 > О]. ИШ 85 (22) ОО (соя ах+ з(п ах) соз (Ь'х2) 2Ы = — 1/ —, ехр ~ — — ~ [а > О, Ь > О]. ИП1 25 (21) 1/л . 2ьа /'ь2+ 02 22 пв )0. ] Ы)а~)й 2днвь 2 хдн- — в! о [а > О, Ь >О, с > 0]. ИП184 (15) 410 Π— $ ОЛРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНСАРНЫХ ФЪ~НКЦНЙ соя (а х ) я1п 2Ьт я1 и 2сх ах = — я1п — я1п ( — — ) й й ~тс . 2Ьс . ~'за+се ое 'ь 2а ае (, ае 4 ) о 12 [а > О, Ь > О, с > 0]. ИП1 25 (19) ОЭ 1 ' ъьаьс*.ьь'ьс --,' ~/-",( ' ь ' ) ь,>ь>оь =,' ~/",( ' ' ) ьь»,о1.
БХ [177] (21) 13 СО 14. (я1по ахо — я1по Ьхо) ь1х = — ь' о/ — — 1/ — 1ь [а>0, Ь>0]. БХ [178] (1) СО а. [ ь ' ' — ь'ь'ьс = — '„(~/-",.ь ~/-,") о [а>О, Ь >О]. БХ [178] (3) СО ье. [ь.~ с*ь- "ь'ьгс= — '(~/-" — ~/-") о [а>О, б>0]. БХ [178] (5) СО ~ (я1па ахо- я1п4 Ьхо) е1х ОΠ— (8 — 1/2) ( ]/ ~ — [// — ) о [а > О, Ь > 0]. БХ[178](2) ~ ььь 'сл' — вь ьс')и — — (~/ — -ь ~/ — ").ь — (~/ —" ~/") [а > О, Ь > 0]. БХ [178] (4). [ (сои~ — ь 'Ь 'ЬС = — „ЬЕ.Ь~ ЬЬ (~ — у/ — ") о [а > О, Ь > О].
БХ [178] (6) 17. 18. СО СО ~ О'"~С -~ *" *ШБХ [177] (5 и 6) о СЮ в „.,/О.еь Ь Г 2С""' ь. ьс ~ 2 (2а — 2й+ 11 а о А О [а > 0]. БХ [70] (9) 20 я(п (а х') соО 2Ьх соя 2сх е1х = — соз — соя ( + — ) Й $/зс 2ЬО Г Ье+ са зс 2а ае ь аа 4) о [а > О, Ь > О, с >0]. ИП184(21) 411 3 Π— )а 1 ТРИРОНОИЕТРИЧЕСКИЕ а22аНКЦИИ а:$» 2) 22.
~а ~ ')аР)аа-, Р ( + ) О А=О [а>0]. БХ[177](7)и, БХ[70](10) 3.692 СО ]! )~ — ~).)иа]а — )]а = ]/ — ! О ГХ [333] (30с), БХ [1?8] (?) и 1 -( ГХ2 22 2 Г22 Га" 22~, соя ( — — — ] сов ах]1х = р — сов ~ — — — ) 8 ] 2 а,2 8) О [а > О]. ИШ 24 (8) «О 1 Г22 / Ь2 22~ я1п [а (1 — ха)] соя Ьх ]Ь = — — [à — сов ~ а + — + — ) 2О а ~, 4а 4) О [а > 0]. сов [а (1 — ха)] соя Ьх Их = — [à — ябан ~ а + — + — ) 2 [Г а ~, 4а 4) О [а > О].
ИП124 (10) О.'Ъ аО 1 (' ') Ьа~ ]. г, ь*, Г22 в122~ахА+ — ~ соя 2Ьх Ыт: 1 соя ~ аха+ ) соя 2Ьх Ых= — [Г а а ) 2 [Г 2а О О ИШ 23 (2) [а > 0]. БХ [70] (19 и 20) 1Г ЬА яьп (аха-~- 2Ьх) 2Ь = — ~ соя — — в1и 2~. а О а' ) [а > 0]. БХ [70] (3) соя (аха+ 2Ьх) 22х — ~сов + ят [а > О]. БХ [70] (4) 3.694 аО ОО я1д (ахя -+ 2Ьх + е) 2]х = —, ~ я1п (ах'+ 2 Ьх + с) Ых = 1 2 О ОО Г22 . /22, ас — Ь2~ = — ~ — я1о~ — + ) [а>0]. 2 ОГ а ~.4 а аю]аа"".)-22*+~)а*= — ~ . а]а*~-)-2)~-)-а)22 1 — СО 1 Г)2 22 ас — Ь* 2 = — 1à — соя ( — + — ~ [а > О].
ГХ [334] (4а) ГХ [334] (4в) 412 3 — 4. ОНРеделенные интеГРАлы От элБментАРных аьуннцин 3.695 СО 1. [ н1п [а а ) в!и [4~) а» = †, [/ — [2, ( [/ — ) + О 3 4-2 н ( — [/ — ) — — К, ( — [/,— )) [ > О, Ь > О). ИП)88[2) 2. [ о 1 а)а н[Ь )а*=„— [и/ — [2 ( — [/ — )+ О 3 +2, ( — [/и — )+ — К, ( — [/и —,)) [в > О, Ь > О[. ИП1 24 [11) 3.696 1.
~ в[д(ах )зш(Ьх )41х= — — у — я)) ( — — — 23 /[,/', ~ — ( 4 У 2а" ),,8а а,/ ~8а / О 4 [а > О, Ь > О], ИП183 (2) 2. [ Оп[~в) в[4*')໠— — [Н вЂ” н~ ( — ) 2, ( ) 4 1' 2а' 2 За 8 / 1'2 8а./ О 4 [а > О, Ь > 0]. ИП1 84 (19) СО 3. сон (аха) ид (Ьха))[[х — р — сои ( — — — 80) Уь ( 4 к' 2а ~,8а 8 >/ — (,4[а / [а > О, Ь > О].
ИП183(4), ИП1 25 (24) 31д[' а 1в(д(Ьх)~х= ~~ Х,(2а]/Ь) [а >О, Ь>0]. ~*/ 2 [/Ь 3.697 ИП1 83 (6) 3.698 яд [ а ~) ЭЬд (ь'х2) ах = — 1/ —, [ял 2аь — соа 2аь+ е 3 3] [а > О, Ь > 0]. ИП1 83 (9) СО ны( —,) сон[4 а )а = — [/ — [в)а2 Ь-)-со»2 Ь.). — ~) О [а > О[ Ь >0]. ИП1 24 (13) СО 4.
~ сов (аха) сов (Ьхи) [Ь = — ~à — соя ~ — — — ( 1 4 пк' 2а ~ За 8>н ~8а сн О [а > О, Ь > 0]. ИП1 25 (25) 413 а 6 — 4.1 хд'РИГОНОМИ'ГРИЧИСКИЖ аЬЬГНКЦИИ 3. сов ( — 0) вш (Ь'хв) 2Ь = — ~ — [в1п 2аЬ+ сов 2аЬ+ в вав] [а>0, Ь> 0]. ИП184(12) Г а2'2 $ /22 4. сов [2 — 2) сов (Ьвхв) 41х = — ]/ — [сов 2аЬ вЂ” вш 2аЬ+ в- ваь] [а > О, Ь,„О]. ИП124 (14) 3.699 1. ~ в! (в* 4- —,[4* [а*в2 Ы-в баб[ о [а>0, Ь>0]. 4Г 2 Ь2 4 )/2Д 2.
~ сов [ь а'х2+ —, ) 4122= — (сов 2аЬ вЂ”. вш 2аЬ) 4а о ВХ [70] (27) 3. ] ав (а х' — —,) 4н= в [ ) О, д) 0[. ГХ [334[[32[ а вн н1 [~~ Р-х'[а ад~а "'" 4,[ [и '4-4') 2)/ ад+Ь2 [а>О, Ь>0, а>О]. 3.711 ИП1 27 (37) 3.712 (,) $1. 22 à — ~[ ЗЬП вЂ”, [ >О >1] рабд (,1 1 [а > О, р > 1]. 1. ~ в1ГН (ахР) а[х = о ВТФ1 13 (40) сов (ахР) [Кх = ВТФ1 13 (39) 3.713 1 [вн[-[- [ [хна[ а-4~[4*= —,' 2 ',"" =.Г("'+') х о и=о хв122 ~ ~ ~~ л~ [а>0, Ь>0, Р>0, Д>0]. БХ[70](7) [а >О, Ь>0]. ВХ [70](28) 3. ] 1в(а~' — 2 Ь+ )дх ] (авь — Ьаб-д,)4*=~- в о [а > О, Ь > О].
ВХ[179](11 и 12)и, ИШ83(6) 4. ] хна(а вь — —,)хн= — в [ ) О, Ь) 0[, ГХ[334[[ОЬ[ о 414 й — 4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕРРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУН ККИИ 3.714 1 ~ соя(ззЬх)сЬ=К()(з) [Вез> О]. о В 202 (14) 2. ~ з1п(зсЬх) (1х —,Хд(з) [Вез > О]. о МО Зб 3. соз(зсЬх)ах= — ~ Л (з) [Вез > 0], МО 37 »»в 4. соя(з яЬх) сЬ|хх(Ь= соз ~. К„(з) [Вез > О, ]Ве а ~ < 1]. В 202 (13) и 5. [ ~в» (» Ь *) ' ъ~ * )х )/и ( †) Г ()в + -) 1„ (~) е [ Вез>0, В и> — —,, ). 11 УВ 11 203 3.715 1. з1а (зя1п х) я»»пах(1х = я1д аыз (з)— СО цв)в-( п)в-1 (1» — а») (у — ап) . )(.»А — 1)п п1 [а > О].
В 338 (13) й ) в) (» *)в)пххл= — ] В)п(вхпх)» пх,(х 1 2 -л =(1 — (-1)")[Пп(~в)п )в( в!х е =[1 — ( — 1)"] — ". Х„(з) [ О, +1 ~2 В 30 (6), ГХ [334] (ЗЗЕ) я1п (з я1 и х) я1л 2х (Кх =, (з(е з — з соя з). 2 е Ли [43] (14) А»)-(-( 2.
~ соя(их"+ Ьх~)(1х= — У ~ ~ а л Г( ~д+ 1 ~ р с-3 )() р О й — О Хсоз ~ р л1 [а>0, Ь>0, р>0, д>0]. БХ[70](8) 417 2.6 — 4.1 ТРИГО11ОМНТРИЧВСКИЕ Ф4гННЦИИ 2 соя(ясоях) я?пятх«?х= ( — ) Г ()) + —, ~Ут(г) о 20. Б35, УВ?? 178 21 УВ ?? 179 3.716 1 -а я?п (а йд х) «Кх = —, [е е Е»(а) — е' Е» ( — а)] (сравни 3.723 1.). БХ [43] (1) 2 соя (а яд х) Нт) = — ' е '. 2 о БХ [43] (2) БХ [43] (7) БХ [43] (8) БХ [43] (9) БХ [43] (5) БХ [43] (6) 2 я?п (а 1д х) я»п' х 1д х Йх = т«е а. 4 о яш'(а1рх)««х= 4 (1 — е аа) (сравни 3.742 1.). БХ [43] (11) БХ [43] (3) о 27 Таблицы интегралов 2 я»п(а Фдх) я?п2х Их = — е ', 2 о 2 соя (а Фаях) я»пахах = — '2»е 4 о соя(а Ядх) сояах«1х= 2»е о 2 я?п (а1дх) Фдх а)х= — ", е '. 2 о 2 соя (а$дх) ФдхЫх= — — [е 'Е»(а)+е" Е1( — а)] (сравни 3.723 5.).
418 3 — о опРеделенные интегРАлы от элементАРных Фтнкций БХ [43] (4) я1п (аьдх)сьд~хах= 4 (е ~+2а — 1). БХ [43] (19) ~ [1 — яесох соя(Вдх)] = С. фх БХ [51] (14) 2 я(п(ас26х) я[п 2х Их= — 'е ' (сравни 3.7163.), о и вообще формулы 3.716 останутся справедливыми, если в них Вбх, входящий в аргумент синуса или косинуса заменить через с1дх, заменив при атом в остальных сомножителях я~п т через соях, соя» через ыпх и, следовательно, $ц х через сВд х, с6р х через ф х, яес» через сояес х, сояесх через яес х.
Аналогично ах яш(а сояесх) я1п (а с18х) — = соь х 3.718 ((тР— х~) ч о Ж Р Ж 2 = [ соя~ — р — айбх ~Фд хах= — е о [р'-< 1] БХ [44](5 и 6) [Кет> О]. НГ 157 (15) я1п(ПЕ6х+ х)'„*7 = —, [Кем) О]. Бх [51] (15) соя'(а Фдх) ах= 4 (1+ е ~) (сривни 3.742 3.). 2 ах а = ~ я1п (а яес х) я1п (а Се х) — = — я1п а зшх 2 о 2 я1п (а $$ х — Ух) я1п~ 2 х ах = О о !а) 01. БХ [52](11 и 12) 2.6 — $л тРигеномнтРичкскик Фъ"Иксии 2 -аох-~ 4. ~ сок(аФдх — Рх)сов — ~хдх= [йех> 1). Г (х) о Ло Ч153(112), НГ 157(14) БХ [44) (4) 6.
соя (а йд х — 1)х) соя" х Нх = „.+1(2 ) [а>0, Веъ> — 1, — "ч~ — 1, — 2, ...~ . «+Т Г 1+~ ') ( ВТФ 1 274 (13) — +1 22 2 7 в(ы х соя" ~х =я. 9 Ло Ч153(114) 3.719 ~ 61и (хх 2 к)п х) 6Ь = ~Ж (2). о В 336 (2) х 1 сов (дх — 2 61о х) Ых = Ы» (г). о УВ 11 172 сов(хх — яв)пх)ах=яЭ (г). о В 336 (1) 3.72 — 3.74 Тригонометрические и рациональные функции 3.721 61п (ах) к Ых= —, в(дна. х 2 Нх = — 21 (а).
вш (ах) ФПО45 БХ 203 (1) 6(х = — с( (а). сов (ах) х 1 БХ 203 (5) 5. ~ (~ч*+а)ин ~ш* 2"' 'и- ~В~ю> — 11 о  — В ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФВ НКЦИИ в)п (ах) + ~ — е(х = с1 (аР) в1П (а33) — соз (ар) в( (ар) [~аге]3~(~„а) О]. БХ[160](1): ФП646 ОЭ в1п (ах) +Р е(х= ясов(ар) [~ агд[3] ( д, а) 0]. сов (ах) +(3 ах = — в(п (а)3) з1 (а[3) — сов (ар) с1 (ар) в БХ [202] (1) !]аг8'Р~ < и, а) 0]. ИПХ8(7), БХ[160](2) [а ) О].
Ф П 646, БХ [161] (1) в(п (ах) ей= — асов(а33) [а ) 0]. осе (ах) ах сов(аР) с1 (ар) 4- в)и (аР) [з1 (а[3)+ я] БХ [202] (3) [а) О]. ИП18(8), БХ [161](2)а [а ) 0]. БХ [202] (Ь) сов (ах) — ах = я в(п (а[3) взп (ах) 1 Р,+х, Их = . [е ВЕ1(ар) — еаВЕ1( а[3)] [а) О, КеР) О]* ИП165(14), БХ[160](З) =т сов (ах) к р, ) х, е(х= 2(3 е ав [а) О, Ко[3) О]. о Ф П741 и 750, ИП18(11), УВ1 156 х в(п (ах) к (3,+х, ах= 2 е-~ [а) О, Ко[3) 0]. Ф П 741 и 750, ИП 1 65 (15), УВ 1 156 х в) и (ах) , Нх=яе С [а) О, Бе[3) 0]. БХ [202] (10) [.
сов (ах) + ам=аз(п(ар) [~агд~~ (к, а) 0]. БХ [202] (4) в)п (ах) ах = в( п ([)а) с1 (Ра) — сов ([За) [з1 (Ра) + ег] 422, 3 — $. ОЦРЕДЕЛЕННЫЯ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ 3.7ж [Ве р > О, а > 0]. БХ [172] (1) БХ [172] (4) [а > "1- [0(а(ЬВ лс а~ — л сох(СЬ) — 2 (( Ыь! ( ЫЬ2ью( Ь)(Ы( ЫЬ- — )]Ь- ь [а >О, Ь) 0; при нижнем знаке указано главное значение интеграла] ИП165(21)и, БХ[17()](10 н 13) 3.727 ОО сов (ах) дх 64+ хС [а>0, Ь)0].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
