Грандштейн И.С., Рыжиков И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (1963) (1151850), страница 38
Текст из файла (страница 38)
3.55 — 3.56 Гиперболические, покивателъные и степенные функции 3.551 ИП1 164 (18) ИП? 164 (19) ИП1 164 (21) Ли [81] (4) 2 3 4 3 — 4 ОПРНДЕЛЕППЫЕ ИПТЕГРЛЛЫ ОТ ЭЛЕМА НРАРНЫХ Фх НКЦИЙ СО е-'сх4яЬах тххх 4 —, ехр — 11 о 4 [Ве?4 > О]. хС л / а е-их сЬах 12х = — 1/ —, ехр ( — )1 1 ( — ) [Ве !4 > О]. СО е ахяЬ [(2п.+ 1) АгяЬх]йх= О „, (р) о [Ве р > 0] (сравни 3.547 6.). е — а сЬ (2п АгяЬ х) 4!х = О „(р) [Ве 6 > О] (сравни 3.547 8.). е-ахяЬ(РАгяЬх)1сх= — Оо „,ф) [Вор> О] (сравни о —,т е ахсЬ(тАгяЬх)1ЬОΠ— Я1,т([1) [Вер> О] (сравни СО х» 'е ахяЬухдх= — Г(!4) [(р — у) а — (!2+-у) н] о [Ве!4> — 1, Веб > (Веу ~]. х22-1е — а сЬ ух2?х = —, 1'(!4) [(р — у) — 1" + (р+ у) — и] 1 [Ве !4 > О, Ве ]3 > ~ Ве у ~].
СО С* СЬ Сс = Г (С) ~ 2'-~1 (С, — ) — С-~] о [Ве р, > 1, Ве [1 > О]. СФ ОС Х"Š— (Р+ГГС11х яЬ2О дХГ1Х ОО 2 СОП~ ~т ( с~ '1 ~-~ ' 1.~ (Р+зЮ"' а=о [р > О, 1( > О, 1п ( р+ цт]. — ОПРРДЬЛПННЫь. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛГМЕНТАРНЫХ ььУННЦИИ 376 з.ш г( е+') 1. е хх (1 — зесЬ х) — = 2 1п — — 1п — [Ке р > О]. г(е~') ИП1 164 (17) 2. е — с" ~ — — созесЬх)дх=е~~ ) — (л — [Кер > О]. — х Г Р-~-1 2 ИШ 163 (10) .ь ( — е) * — (1 — 23) е — * — = 2 1п Г (р) — 1п я + 1п (а1п дф) хв— 2 ° Ц ~ч'С вЂ” ]- УВП 24.
е. ] ~-'~-ь*~*ьь*-г1 еь=е'-~г(и> Е(г, Е -г г) о [Ке р > О; Ке р > 1]. ИП1 164 (22) 3.555 гО о [2а < р] (сравни 3.545 2.). БХ [93] (15) осе ах о [ л < 2 ~ (сравни 3.545 1.). аЪ 1 х 4 = — - — 1п (ает сйд асс) ВХ [93] (9) 3.556 ОФ 1 — егех Ф рее х еьх= — — Сцо — [еэ < 1] (сравни 4.255 3.). — ее БХ [101] (4) БХ [95] (8) 1 — е хх 1 — е ~"+1~х ~х=2Р1л 2 [р > — 1]. о [О < Ке ~ < 1]. ВТФ1 21 (7) 4. ~ Е-ах~ — — С1Ь Х ) ЫХ=ф( — ) — 1П вЂ” + — [КЕр>0].
Г~~ Р 1 (ь.2) 2 ф о ИПХ 163 (11) гхь 5. — +2де — =21ПГ ~ е7+ — ~+1псоащ — 1пя ЭЬОх х гех Г 1 "х х х 2Г 2 377 .!.С РИПЕРБОЛИЧЕСННЕ ФЪгн!!НИИ 3.557 лл е-сх е ех гх СЬ х — сов — м гг х / »=1 [т+ и нечетно]; ~-;, "(': ') "(".') П й ! [!и +и четно]; [р > — 1, д ) — 1]. БХ [96] (1) (1 — е х)' г!х СЬ х+ СО — 22 =2 н — л~! — !) в! ( — )л Ш / йга » — 1 !г ("-г ~- ))'г (' г) г(,' ) "'" [ ( — ".')У ( —."') (".".'-') 2 ОВ ~сиз — 2сояес — 22 ~~~ ( — 1)» ' О1п ~ — „22) Х [ж+ и нечетно]; [г(" + )) г( ~ )г( — ) ""~ ('.'))' (.—.'-) (-:") [!и+ и четно]. БХ [96] (2) е Рхяа — Л и 3.
~ е *13 —,л с СЬ х+сов — к В Г гл( —.л)ь(л~).г! 2~ — г)» 'г~~(» л)1 [и2 + и нечетно]; З г (г-~-.— л) =Ьдà —,12 11аи+2 ',~~~ ( — 1)»-1в1п ( — л ~1!! [т+ и четно]. БХ [96] (3) 378 Π— 4, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРЛЛЫ ОТ ВЛЕМЕНТЛРНЫХ ФЪ ННЦИЙ ОЭ ОЗ / 1'] 1!ех ах а 0 А $ Ли [96] (5) 2 Х Г 11 хее ОЬ— СО О сос 2 А=4 СО е — соа а ае ИЕ 6. х . и'х = а04 — — —— сЬХ соса 2 3 0 А=4 БХ [88] (6) 3.558 и — 4 ~»-з а — )е 1 е-и» 2аи» 1. ~ т 4(х= — — 4 ех 3 0 О)1| 2 БХ [85] (3) п-4 4( = — "+4 Х ( — 1):й з й~ Ли [85] (1) А=4 1 — е "х 3.
~ х' Ых = 8л~(3) — 8 о 2 БХ [85] (5) 4. ~ х'е" ', с(х 8п ~ — — —,— — 8,')' . — 1 Ли [85] (6) 5. ~ х' +( ) с(х = бп~ (3) — 8,'~', 0 ~ 2 А=4 Ли [85] (4) БХ [85] (9) 7 ~ Ш вЂ” ие-~-24 ~ ( — 1) „1+( — 1)ие их 7 и — а с'с'— А=4 БХ [85] (8) а — — + с~-'" 1 (1 — е™) (1 — ах) хе™ 2 х 4 Оۻ— 2 3.559 1 = а — — + 1п Г (а) — — 1п (2тс) 2 2 [а ) 0]. БХ [96] (6) 1 — ( — 1) е х сЬ'— 1 — е ( 4 х 15 0 ЗЬВ— 1 "[ ' — 24 Х А=4 Ли [96) (5) и БХ [88) (8) 379 3 В.— О 1 тгигономктГинвекив Функции е охоа— хсЬх О БХ [93] (18) 3.562 Х — Ях* я11 уХ С~Х = — р — ЕХр =у- л =ч~ ~ ю О [Ве р ) 0].
БХ [81] (12) и, ИП1 165 (34) Оо хе я'~сЪухгох= у ~ — ехр 1 Ф[=)+ — [Вер > О]. 4р 1 р 4р [,2)'р) 2р ИП1 166 (35) хие-Я"'я)1 ух Их= — . ехр ( — р- ) Ф( ) — —, О«л(2у+уи) Г уо '« / у 1 у 88о )Ги ( 4Р,) ], 2 у"р ) 4~о О [Ве р > О]. ИП1 166 (36) хое-йхосЬухсКх= 1 о" («Р+у ) ехр ( у ~ [Ке[1) О]. ИП1 166(37) 88о у'р ' 4р Р 3.6 — 4.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 3.61 Рациональные функции ат синусов н косинусов и тригонометрические функнни кратных дуг 3.611 (1 — соя х)" ягн пх сох = О, О йл (1 — соя х)" соя пх с1х = ( — 1)" (соя В+1 я1н 8 соях)" сох = ~ (соя й+1я1н й соя х) " ' гКх = нР„(соя1). О БХ [68] (10) БХ [68] (11) ВТФ1 158 (23) и ~ »-.-~".о„,о*=-гдо~~ро~-' *р( — ') « 1 2 8р «[о,„[ г ] о „[ ~ ]] [и.о> — —,,',и.О>о].ип~ни<оо~ а-'е >' огайо = — Г (2«) (2О)™в*р ( — ) « 1 2 8р О «[о ( г )~о „~ г ~] ~и о>о, и,О>о1.
ио[1оо(и) 1Г2~3 о ~ 2Р / 380 д — а ОпРпдплГпе1ыР ит1тГГРАлей От олнмпе1тАР11ых Фъ'ПЕЕпий 81й пх со8 Гйх ( () 81й Х х= при п< тп; при п > ж если т4-и — нечетное число; при и ) ш, если т+ а — четное число. Ли [64] (3) 8ЕП ПХ 2. ох=() при а четном; 8ПЕ х о БХ[64](1 и 2) = д при п нечетном. 2 ~ 81П(2п — 1)х ~ й 8шх 2 О ФЦ 145 Г 81п2пх Г 1 1 ( — 1)" 1' 4. ох=2~ 1 — — + — —...+ ) 81ох [, 3 5 ''' 2п — 1 ) ГХ [332] (21Ь) ГХ [332] (228) со8 (2п+1) х 2 (' соя(2п-1-1) х СО8х ~ СеьХ 2 с Х ~И1 2ПХСО8 Х ж шх ГХ [332] (22Ь) Ли [45] (17) 3.613 ('< ) (аа С 1], 1 + и соа х )/1 — аа (~ БХ [64] ($2) и 2. со~ пх дх 1 — 2а соьх1-аа а' а" [Ц; [а~) Ц. БХ [65] (3) 3 81с пх 81о х их ! — 2и сап х-(-а" о 2 а" ' [а'с1]; [а' > 1].
БХ [65] (4) ГХ [332] (34а) л 2 5. ~ ое а =2~ х а ( Ц" 4(1 — )+5 *''+ 2п — 1) [ав ( 1]; [а'> 1]. 2аи™ ав — 1 БХ [65] (5), ГХ [332] (34Ь) соя 2их сов х дх 1 — 2а сов Их+ а' сов (2и — 1) х сов 2х 0х 1 — 2а соя 2х+ ав с [ав ~ 1]. БХ [65] (6 и 7) ' в1п(2и — 1)хя1пх Ых л а" 1 1 — 2а сов 2х.+ ав 2 [ав ( 1]; [ав ) 1] БХ [65] (8) [ав ( 1]; 1 — ва сов Ех+ав 2 1 — а о [ав) 1].
БХ [65] (11) 2 (а — 1) ав — а при т>п; И та-и [а ( 1]. Ли[65](13) — — в')*совтлЫл= —,. (а™--1) [ав(1]. БХ[65](14) о я1п их — а впп ((и+ 1) х) 1 — 2а сов х+ав БХ [68] (13) [а'( 1]. БХ [68](14) впп х в1п рх-дх а' — 2аЬ сов х о' 1 — 2аР сов х пах 1 3.614 Ф р +авР 2аР+1(1 — ЬР) с [О ( а ( 1, 0 ( а ( Ь, р > О]„ БХ [66] (9) Я.я — 4И ТРИРОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ соя вхсовхах и 1+и' а 1 — 2а сов х+ав' 2 1 — ав в ав+1 и и соя (2в — 1) х ах 1 — 2а соя 2х+ ав о я)п2ихв~п хах 1 в1п(2и — 1) хв)п 2хдх 1 — Иа сов 2х+ав,) 1 — иа сов 2х+ав о о а о л 1 (1+а) а" сов (2и — 1) х соя х ах ж а" 1 Г в)п их — а я 1п (и — 1) х 10.
~ 2 в я(птхсЬ=О при т (и( й 13 ~ ) )И =2 1 — 2а сов х+ ао х = 2лаи о БХ [65] (9 и 10) БХ [65] (12) 382 3 — А. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 01Р ЗПЕМЕНТАРНЫХ ФУНКПИИ 3.615 2 ' 2 (— сов 2их ах ( -1)" л (1 — Ь1 1 — а2 1 — а2я(п2х 2)1'1 а2 ). а О сов х я1п 2их ах и 2Г г)) 2. ~ 1+(а+Ь 21п х)' Ь = — — в(п,2п асс(6 ~~1 — ] Вц2" ~ — агссов ~)' — ] ~ соя х соя (2и+1) х а)х 1.+(а+Ь 21п х)" О [а' < 1]. БХ [47] (27) х = — со ))2н ~ 1) а с12 1/ — ') 12'"' ( - )/ где 2= — (1+ Ь' — а")+]/(1+ Ь2 — а')2+4а'. БХ[65](21 и 22) 3,616 1, ( )1 — 2 са~х-)-а)" 1л=п~ („) а'".
О А=О БХ [63] (1) а)х 1 а)х (1 — 2а соь х-(-а2)и 2,) (1 — 2а сои х+а')" О О и-! у! ~) (и+ й — 1)) / а2 (1 — а2)и ~ (Л!)2 (и —  — 1)! ) 1 — а2 А=О и — 1 — — [а ) 1]. и ~~ (и-)-Ь вЂ” 1)! (а2 1)и ~~ (й!)2 (и — й — 1)! (а2 — 1)" [а2 ( 1]; ГХ [331] (63) сов их с(х = ( — 1)" ла".
БХ [63] (2) [ 2 ) —.)- )")1+") " 2 (",)(„"; „",'(,.;..)*' ) > ) А=О ГХ [332](35а) вл — =0 (1 — 2а сов Ех-) а2)2! 0 ГХ [332] (32а) ьп) х ах Г 1 (1 — ~исоа ах ! а2)1и '(т — 1) а [ (1 — а)212 ! (1 — а)2л! 2 0 [а Ф (), ~ 1], ГХ[332](32с) (1 — 2а сов я+ а')" 0 (1 — 2а сов х+ ав)" О =О [и <т] сов тх ах = —, ) (1 — 2а сов л+ а') сов т.х ах = 1 (' 2и О 383 7.
соопхс(х 1 )' созлхах (1 — 2а соя х+да)~а 2 ~ (1 — 2а сод х+ аа)~а О о [а' < 1]; [а* 1]. ГХ[332](31) сов 2ах Ь Г2ю'~, (Ьа — дзУВ 8. (адсооах-)- Ь'Ошах)"+1 ~. в ) (2ао)аа'т О [а>0, Ь>0]. ГХ [332] (30Ь) 3.621 1. ~ яшь-'хИх= ~ сова-1хах=2О-23 Г~~, ~~ ) 2' 2) О О И я 2 а 2 2. ~ я)н2х~Ь= ~ соя2хах==Г~ — ) ° 1 Г1'~ )~ы Ф11 780 ФП 151 Ф11151 5. ~ я)п~" — 'х соя -'хИх= — В ~~, — ) [йер.) О, Веъ > О]. 2 ~ 2' 2) О Ло Ч113(50), Ло Ч122, Ф11788 3.622 БХ [42] (1) [[Вор,~С1].
БХ [34] (1) [Ве (а ° — 1]. 1. 2. З.Π— 4.1 тРигономжтРичжские ФРНкции а'~ " ~л ~ (т+в — 1) (2д~ — й — 2) (1 — аа)а 2 ( -~-,— 1) (2 — Й вЂ” 2) 3.62 Степени тригонометрических функций 2 2 я(Ц2 хЫх= ~ соя' хдх= (2т)!! 2 О О 2 2 я1Ц2 "хах=- ~ соя' "хс(х= (2ш) (! (2т+ 1)(! О О 16~яхдх = —,яес— н 2 л ) "* --' (' — ") О з — ь. опеидилинныи интигеАлы от алямянтленых п~ннции а-1 4 Х 2и — 2й — 1 о ~=о БХ [34] [2) 4. 1 1а'"'хнах= [ — 1)"'1 —.+ Х и, 1п2 ( 1)й 2 2и- -24 о к=о БХ [34] (3) 3.623 2 с1ц~ — ' х я1пе~-2 т ~х = о 1д~ -' х сове 2 х ах = — В (~', — -~ — ') ~О(К р(2Н ~~.
НХ~42~(6~, ВХ[45~о2) 2. [!а*в! ' Ы =.— ~~ ("~') о [Кер > — Ц. БХ [34] [4) 4 3. 1ф'х соя х ~1х— 4 ~ 2 / 3.624 БХ [34] [5) [Кер > — Ц. сове 'х р+1 с ГХ [33Ц (34Ь) Ли [55] (12) соя 2х ~2в — 1)!! соее~+~ 2'(ЩК БХ [38] [3) 4 4. ~ — .;; — „— ~Ь=2 "В(р+1, р+1) [Кер) — Ц. БХ[35](1) о Г 1.~ Г р —,, ~Г~1 — р) 5.
~ ~~" с1х 2' ~" В(2р — 1, 1 — р) =- сове 2ж 2 у'и о [ —. <Кер<1~ . БХ [35] [4) 1 2 и —, в~о ж д сое21 -~ и о 1 соя ж ~2 4 ( 2 г ( — "+ — ) г д — р) ах=- 1 Ых= ип2" 1х ( 5 ~,4 21 — — <Кер<1~ . 3.6 — 4.1 ТРИГОНОМВРРИНКСНИВ ФУНКЦИИ 385 1 ( — ".;::)''*=Т- 0 Ф11 145 4 е)пе" г х гочп 2х (и — 1)! Г (р+1) пх соь'г' '" ~ х 2 Г (р+ и+1) О (и — 1)! 2(р+и) (р+ п — 1)... (р+1) 2 [р > — Ц, (сравни 3.251' 1.). БХ [35] (2) ] ""'"„",;„'," а =-,,'в( + —.',, р+г) О [р > — Ц, (сравни 3.251 1.). БХ [35] «3) и т— ыпеи г х сои е 2х (2п — 2) (! (2т — 1)!! СОЗеи 'т Х Ых = (2п+2т — 1)! ! О БХ [38] (6) 1 4 т —— ,,пхи хсое 2х (2п — 1))~(2т — 1))! и ах= сояеи""и'г х (2и — г-2т) )! 2 ' БХ [38] (7) 3.626 1/ е)пе" х )/ сов сопи""х ' 2хс(х=(," .,)! .~ (сравни 3.251 1.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
