Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Расчетные соотношения к кривой (рис. 4.11) даны в приложении Б, где оптимальная оценка определяется по «центру тяжести» послеопытного распределения. Как видно из кривой (рис. 4.11), при д ~ а„,,„можно пользоваться выведенной ранее формулой стандартного отклонения ! о чПа (9) где индекс т здесь и в дальнейшем характеризует измерение времени запаздывания. По величине среднеквадратичной ошибки о, = е,„, может быть найден доверительный интервал, как в 2 4.1. Полученные результаты вначале поясним на примере колокольного радиоимпульса [(1), 2 3.11[.
Подставляя У (!) = е †"' в формулу [(28), $ 3.10[, найдем аа ! а« П~ = ~ [2а[е — им[»«[! ~ [е-ип)»Д[. С Р Используя табличные интегралы П,=~ =У Пи, ти (10) «и ! а«= — ° «»'и Чааи [аи (1 1) где Пи = — ширина спектра на уровне 0,46. ! ти При ти=2мксек и а=8 среднеквадратичная ошибка измерения времени запаздывания колокольного радиоимпульса составит 2 о, = =0,14 мксек.
Доверительный интервал с вероятностью зУи 99,2",й будет 2е„,„,= — а,=0,75 мксек. 3 Перейдем далее и сигналу с прямоугольным спектром 6(!)=! при [1[ (П„/2 и 6(г) =0 при [7[>П„!2 (см. 2 3.13). В соответствии с соотношением [(27), 2 3.10[ !зо йча Ю х»е †«ы Ых ~л 2«» получим П, = у' а. Заменяя а = отсчета длительности импульса— 1 и е — «*"«[х = 1 С () 2 т» — ) !и«[ и выбирая уровень ти =е ' ж0,46, найдем П /2 П /2 П, '= 4пз ~ /г// ~ ~Ц, -П„Г2 — П„l 2 откуда (12) р"з от=— пФв ()З) В заключение остановимся на случае измерения времени запаздывания радиоимпульса прямоугольной формы без внутриимпульсной модуляпии, когда спектральная плотность О(/) описывается фуикпией вида (апп/т„)/и/т„ и в соответствии с 1(27), 4 3.101 величина Пз обращается в бесконечность, так что пользоваться описанной выше методикой нельзя.
В этом случае пик кривой Е(а) имеет треугольную, а не параболическую вершину, 1 г(п) = Э (1 — — ~ — п.'„,(), ти (14) и вместо (4) следует записать ! и(а) ж 42 (1 — — ~ а — а „,(), ти Рис, 4,12 Кривая послеопытной плотно. сти вероятности времени запаздывания импульса строго прямоугольной формы 191 В качестве третьего примера остановимся на сигнале в виде двух синусоид равной амплитуды на частотах /-(-П„/2. Зтн синусоиды образуют биения, по огибающей которых можно точно, но неоднозначно измерить расстояние до одной цели (если в каком-то угловом направлении целей много, измерение невозможно). Такой сигнал имеет наибольшую эффективную полосу из всех возможных сигналов в ограниченной полосе П„.
Величина П, в данном случае равна П, = ПП„, что в )/3 раз больше, чем при равномерном распределенйи энергии по спектру. Большая точность измерений связана с тем, что полупериод частоты биений 1/2П, в два раза меньше длительности сжатого импульса (около 1/П„) для сигнала с прямоуголь. ным спектром.
Измерение дальности с двухчастотным сигналом в виде двух синусоид рассматривается в у 6.9. б,боб т„.й Рис. 4.!3. Заввсимости о о(д) для прямоугольного радиоимпульсз прн ограничении полосы частот (П = 1,5lтв и П = 15lтк) — сплошные кривые. Штрих-пунктиром показаны кривые о, = 1/4Пе, пУнктиРом — кРивые оз = зв Рг2/чз; показан по- Рог чпорег На рис.
4.13 показаны кривые ог(д), рассчитанные по формулам (9), (19) (штрих-пунктир), в оз(д), рассчитанные по формуле (18) (пунктир). Истинная зависимость о(4) (сплошная кривая) при больших 4 должна совпадать с кривой, рассчитанной по формулам (9), (19), а нри малых 4, однако больших дпорег — с кривой, рассчитанной по формуле (18), что и показано на рнс. 4.13. Из сравнения кривых для Птв = 15 в Птв = 1,5 видно, что вспользовзние оптимальной обработки и расширение полосы перед оптимальным фильтром и в тракте передатчика позволяет повысять точность отсчета времени запаздывания. При выводе оценок потенциальной точности в данном параграфе анализ проводился применительно к варианту фильтровой опти. мальной обработки, что позволяло более наглядно трактовать соответствие ее выражению (1).
Полученные результаты, однако, справедливы при любом виде оптимал! ной обработки сигнала со случай. ной начальной фазой (корреляционной, корреляционно-фильтровой), поскольку все зти виды обработки также соответствуют соотношению (1). Спедует все же обратить внимание, что найденные оценки ошибок измерения времени запаздывания относятся лишь к случаю, когда частота колебаний сигнала точно известна. 193 $4.4. Измерение частоты когереитиого сигнала Перейдем к случаю, когда измеряемым параметром когерентного сигнала со случайной начальной фазой является частота или приращение частоты Р, например, вследствие эффекта Допплера.
Сюда жеотносится измерение радиальной скорости. Временное положение принятого сигнала считаем точно известным. Полагая д ) ди,р„ и учитывая, что в данном случае вторая производная Л"(а) всегдя сушествует и является конечной величиной, можно получить формулу, аналогичную [(9), $ 4.31: ое= 124т„ где т,— эффективная длительность сигнала: а I т,' = ~ (2пГ)а[ и (1) [и (Г ~ [ Ц (Г) [а (1 Оа (2) или дг ц / ~ [бтра) [ащ аа ( — с (3) т,=пт Д/3, (4) что аналогично [(12), %4.3[. Наивысшую точность измерения радиальной скорости (частоты) при ограниченной длительности сигнала т„и фиксированном значении д = у' 2Э/У, можно получить, используя два коротких импульса в начале и конце интервала т„.
В этом случае аналогично з 4.3 та пти (6) что примерно в )ГЗ раз больше, чем в предыдущем случае. Подчеркнем, что приведенные формулы справедливы, если известно временное положение импульсов. Одновременное измерение временного положения и частоты рассматривается в гл.
6. Практически измерение частоты может быть осуществлено с помошью различного рода анализаторов спектра или методом сравнения с эталоном с использованием для сравнения частотного дискриминатора. Более подробно эти вопросы рассматриваются ниже в 5 6.8, 6.9. 194 4 4.4 Формулы (2), (3) аналогичны (двойственны) формулам [(27), (28), %3.10[. Временные параметры в них заменяются частотными и наоборот. Чем больше протяженность сигнала, тем точнее измерение его частоты. Если' сигналом является прямоугольный радиоимпульс длительностью т, то й 4.5. Измерение времени запаздывания некогерентной пачки радиоимпульсов Оптимальный приемник обнаружения некогерентной пачки радиоимпульсов вычисляет логарифм отношения правдоподобия (см. з 3.17): 1п1„(а = )' 1и У,! — Я,(а)~+сопз1.
Г 2 и! Найденная величина затем сравнивается с порогом. Оптимальный измеритель должен вычислять послеопытную плотность вероятности и прн отсутствии доопытной информации выдавать оценку наибольшего правдоподобия и„„„которая соответствует максимуму логарифма отношения правдоподобия (1). Это значит, что оценка должна вырабатываться по максимуму напряжения на выходе оптимального сумматора видеоимпульсов пачки. Суммирование видеоимпульсов позволяет осуществлять сравнительно точные измерения даже при энергии сигналов, незначительно превышающей пороговую.
Если каждый импульс пачки з а м е т н о в ы д е л я е т с я н а д ш у м а м и, при выработке оптимальной оценки можно отказаться от использования схемы некогерентного суммирования. Имея в виду линейное суммирование, когда [п l„(и)= и, и используя соотношение [(4), з 4.31 для каждого импульса пачки, выражение (1) приведем к виду: 1п1„(а)= «~~4,' ~1 — — П,'(а — а,„)~~+сопз1, (2) и) где П, — эффективная полоса одиночного импульса пачки [(27), (28), з 3.10); д,. — отношение сигнал/помеха для импульса с номером я~ ~ тсч оптимальная оценка одинакового для всех импульсов пачки времени запаздывания, полученная по 1-му импульсу и называемая отсчетом (а,„„, = а,.„„).
По найденному выражению (2) для логарифма отношения правдоподобия может быть найдена послеопытная плотность вероятности р[а[у(1)) =й, р(а)е "г"'. (3) Выражение (3) в случае р(а) =сопз1 приводится к виду (~~ ~~опт) 2 2 р [а [ у (1) [ = Се (4) что соответствует нормальному закону распределения вероятности ! с нормируюшим множителем С = =.
Оптимальная оценка ~/2яот 4 4.5 !95 а,„, и стандартное отклонение а, учитывают результаты измерений по всем импульсам. Эти величины определим„приравнивая логарифмы выражений (3) и (4) (а аоьт) з 2 — + 1и С = — ~» — о» П, (а — а„„,)'+ сопзЕ (5) 2ог 2 Сопоставляя коэффициенты при переменной а» в левой и правой частях равенства (5), получим 2 2 2~» е где — = о» П,= — П, †величи, обратная дисперсии ошибки о,' ' и» единичного измерения по Ему импульсу. Чем больше использовано импульсов и меньше дисперсии единичных измерений о», 2 тем меньше величина о, результирующей дисперсии.
Примечатель- 2 но, что при достаточно сильном сигнале некогерентная (после- детекторная) обработка может дать такую же потенциальную точность, что и когерентная (додетекторная). Как и в этом, последнем случае, из (6) следует, что величина а П'. 1 от 11/ 2 Аналогично, приравнивая в (5) коэффициенты при а, получим а» (7) о~~, в~ откуда следует, что результирующая оптимальная оценка является взвешенной средней оценкой измерений, произведенных поотдельным импульсам.
Таким образом, при достаточно сильном сигнале оптимальный измерительможет даже не содержатьоптимальн о го посл едет е к тор но го н е ко ге р е н т н о го с у м м а т о р а (так же, как и когерентного), а вырабатывать средневзвешенную оценку из оценок, получаемых по отдельным импульсам. Потенциальная точность измерений окажется все равно такой же, как и прн когерентной обработке. Естественно, что порог обнаружения (и измерения) последовательно снижается прн переходе от взвешивания оценок к некогерентному и когерентному накоплению импульсов, когда появляется возможность производить обнаружение при несколько более слабых сигналах. Однако, как это было показановз3.19, разница между пороговыми сигналами для когерентного и некогерентного накоплений при небольшом числе импульсов в пачке невелика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
