Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 35
Текст из файла (страница 35)
19В $4.5 Полученный результат является достаточно общим иотносится не только к измерению времени запаздывания, но и других параметров, в частности частоты. В этом последнем случае производятся независимые измерения частоты по отдельным радноимпульсам пачки, а результаты отдельных измерений затем подвергаются весовой обработке.
В. СИНТЕЗ ПРОСТЕЙШИХ МНОГОКРАТНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К СИСТЕМАМ АВТОСОПРОВОЖДЕНИЯ ф 4.6. Простейшие модели движения цели Чем больше произведено отсчетов, тем меньше обычно дисперсия ошибки, обусловленной действием шумов. Однако процесс измерения требует времени, а за это время может измениться сама измеряемая величина. Последнее может привести к дополнительной ошибке, которуюобычно называют динамической. Чтобы уменьшить эту ошибку, при обработке отсчетов следует использовать определенные предположения о законе изменения во времени случайной величины а=а(1), подлежащей измерению (рис.
4.14), т. е. ввести модель движения цели. Оптимизация обработки состоит в обеспечении минимума среднего квадрата результирующей ошибки применительно к выбранной модели движения. Выбор модели имеет большое значение при оптимизации обработки. Модель должна хотя бы грубо учитывать маневр цели и, не усложняя расчета, приводить к практически реализуемым схемным решениям. Такому требованию удовлетворяют модели движения со случайными независимыми приращениями, на базе которых строится дальнейший анализ.
Введем понятие прирашений измеряемой величины за время между отсчетами. Под отсчетом здесь понимается оценка, определяемая за время, в течение которого параметр сс можно считать неизменным. При этом считаем, что отсчеты проводятся не обязательно по одному, но могут проводиться по группе импульсов. Первым приращением измеряемой величины а за время между отсчетами будем называть разность ее истинных значений для т-го и (гп — 1)-го отсчетов д а — а вторым приращением — соотвегствуюшее изменение первого приращения (2) $4.6 197 с, т, с»г с Рис. 4.14. Возможная реализа.
ция а11) для маневрируюп>ей цели мт та о к гп и гп а) б >кб 4 у г бса о тг тб гз> т М» г о -г -г -43 г) Рис. 4.16, Возможная реализация движения с независимыми и стационарными вторыми прира>цениями> а — графкк а, б — график б; а— график тм Рис. 4,15. Возможная реализация движения с независимыми и стационарными первыми приращениями: а-графкк а, б — графкк б Первое приращение дальности характеризует радиальную скорость движения цели, средин>ю за время между отсчетами, второе приращение — радиальное ускорение цели.
На рис. 4.14 показан возможный график измеряемой величины а в функции времени для маневрирукнцей цели. Если измерения производятся редко, дискретные значения а независимы и процедура многократных измерений не дает выигрыша в точности, поскольку данные предыдущих отсчетов не могут уточнить получаемые без них оценки. При более частых замерах величины а взаимозависимы и результаты предыдущих измерений могут уточнить текущие оценки а . Однако пока замеры еще не слишком часты, можно счи- 198 5 4.8 тать независимыми случайными величинами первые приращения 6„, что упрощает анализ.
При более частых замерах следует учитывать связь различных первых приращений 6„, обусловленную плавным изменением скорости движения, считая еще независимыми вторые приращения. Не учитывая всех особенностей движения реальной маневрирующей цели, модели со случайными и независимыми приращениями позволяют улучшить результаты многократного измерения по сравнению с одиночным. На рис.
4.15, а и 4.16, а представлены возможные графики а„ для моделей движения с независимыми первыми и вторыми приращениями (сплошные линии). Математические ожидания приращений 6„(рис. 4.15, б) и у (рис. 4.16, а) считаются равными нулю. Дисперсии приращений считаются неизменными во времени, что характеризует их стационарность. Модель (рис. 4.15, а, б) справедлива при весьма разнообразных законах движения скачкообразного характера.
Пунктиром нанесены границы области, охватывающей с вероятностью 0,8 возможные графики движения. Принято, что дисперсия первого приращения во всех точках Вм„=!. Начальная координата равнаа„начальная скорость равна нулю. Увеличение дисперсииР, с течением времени характеризует нестационарностьа„(стационарны лишь первые приращения 6„,). Вторая модель движения (рис 4.16, а, б, в) в отличие от первой позволяет учесть постепенный характер изменения координаты и, связанный с более плавным изменением первых приращений б„, (скорости).
Границы соответствующих областей для той же вероятности 0,8 на рис. 4.16, а и б нанесены пунктиром(они построены по известной начальной координате а„начальному первому приращению 6„-' О, начальному второму приращению у„= 0 и дисперсии 0„= !)„= 1). Известным недостатком модели рнс. 4.16 является то, что она не учитывает ограничения максимальной скорости движения, характерного для реальных целей. Рассмотренные процессы с независимыми приращениями (рис. 4.15, 4.16) являются частными случаями известных из теории вероятностей цепей Маркова: 1) простых, когда вероятность реализацииа зависит только от предшествующего значения а, и не зависит от предыдущих более ранних значений; 2) слолсных, когда вероятность реализацииа,„ зависит от некоторого числа ч (ч)1) таких значений, а именно: ота„, „а „...,а,; вторая из рассмотренных выше моделей движения (рис. 4.16) соответствовала ч = 2.
Возможны и другие варианты цепей Маркова, пригодные для аппроксимации движения маневрирующей цели. Примером может быть сравнительно простая цепь вида а = ра„, ~+т) (р (!), (3) 199 5 4.7. Оптимальная последовательная обработка результатов наблюдения для движения с независимыми стационарными первыми приращениями Пусть доопытные данные об измеряемой величине а отсутствуют и первый ее отсчета, „„получен сдисперсией й, „„,. Полагая, что ошибки вызваны только наличием шумов и что энергия сигнала заметно превышает пороговую (см. $4.3), закон распределения ошибок считаем нормальным, а систематическую ошибку — равной нулю. Закон послеопытного распределения вероятностей измеренного параметра сс, тогда будет (с' ос отсч) Е 1 отеч р, (а,) = р(а,~ат отсс) = Здесь индекс «1» при букве р означает, что плотность вероятности р,(а,) условная; условием является наличие одного и только одного первого отсчета;а, „,„ †оптимальн оценка; с), „,„ †дисперс.
Пользуясь соотношением а =а,+6, (2) можно прогнозировать значение а, по первому отсчету. Полагая закон распределения б„как и а,, нормальным, заключаем, что а, является нормально распределенной случайной величиной, характеризуемой математическим ожиданием а,„р и дисперсией От„р. Математическое ожидание величины а, складывается из математйческих ожиданий М(ат) =а, „и М(6т) = О, т. е.
ат пр ат ото = а~ (3) ф 4.7 200 где т1„(сп = О, 1, 2, ...) — взаимно независимые случайные величины с одинаковой дисперсией 17„. При увеличении т в этом последнем случае дисперсия случайной величины сс, характеризующая неопределенность положения пели при известном значении а„ нарастает для т -тоо в отличие от случая (рис. 4.15) только до определенного предела с)п (1+ р'+ рс+ ...) = Рч/(1 — рт). Рассмотренные модели движения можно характеризовать интервалами 61 = г' — г', между дискретными моментами времени, которым соответствуют отсчеты. Устремляя зти интервалы к нулю, от дискретного описания можно перейти к непрерывному, иа чем подробно не останавливаемся. При обработке результатов наблюдений за неманеврирующими целями (например, неманеврирующими баллистическими объектами) для повышения точности многократных измерений в качестве моделей движения используют известные уравнения их траекторий, в которых неизвестны лишь отдельные параметры.
По теореме о дисперсии суммы независимых величин имеем 0 р Р + Рог ГДЕ Рог = О(бг) ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ЗаКОНОМ ДВИЖЕНИЯ ЦЕЛИ. Прогнозированное по результатам первого отсчета распределение величины а, удовлетворяет соотношению (о' оопп! Р, (аг) = 1 га е (б) ) 2пРгпр (4) где по аналогии с (1) а„,р является арогнозироаанной оценкой, а Ргп — диспеРсией. РаспРеделение (5) ЯвлЯетсЯ дааптптнпгм длн последующего отсчета а,. Пусть далее поступает второй отсчет и„„,. Вводя плотность вероятности аг при условии двух отсчетов р (а,) = р,(а (а „,ч) имеем Рг (ат! аг отсч) = йрг (аг) Р (аг отсч ( аг) (6) логариф- откуда, используя выражение для нормальных законов и мируя, находим *м г т (аг — аг) (аг — аг пр) (аг отеч — а,) + + сопя!.
20г 2Р,пр 20г отсч Приравнивая коэффициенты при аг, а затем при а, и правой части равенства (7) соответственно получаем 1 ! 1 — = — + Рг Рг по Рг отсч ар=а„р — +а„„ч —. '"'" 0„„, (7! в левов (8) (9) аг=а|+ (а,, — а',), Рг (10) Рг отсч 1 1 1 + Рг Рг + 062 Рг отеч Аналогично можно найти выражения для оптимальной оцен- ки и дисперсии после третьего и вообще т-го отсчета: * Рт а~ а~ 1 + (ат отсо ат 1) Рт отсч 1 ! — + 1 (13! Р Рт ! + 06т От отсч (11) (121 20! Используя (3) и (4) и определяя 1!Ргпр из (8), находим окончательные выражения для оптимальной оценки и дисперсии после второго отсчета А„= Рт отсч (14) Поскольку отсчеты вводятся п о с л е д о в а т ел ь н о, к моменту получения гп-л оценки нет необходимости сохранять в памяти вычислительного устройства результаты предыдущих отсчетов, достаточно сохранить предыдущую оптимальную оценку а и ее дисперсию Р Описанная последовательнал обработка не является единственно возможной.
Сохранив в памяти вычислительного устройства т отсчетов, можно, например, получить сразу т оценок: а!, аз, ...,а, в том числе оценки параметров от а, до а !, более точные, чем полученные по меньшей совокупности отсчетов. Однако оценка а окажется такой же, как и при последовательной обработке. Поскольку уточнение предыдущих оценок чаще всего не представляет самостоятельного интереса, целесообразно использовать последовательную обработку. Более подробный анализ последовательной обработки начнем с простейшего случая, когда параметр и не изменяется за время наблюдения, т.. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
