Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Соотношение (4), лежащее в основе проведенного рассмотрения, допускает следующую интересную трактовку. Предварительно заменим послеопытную плотность вероятности р[а[у(!)[ через доопытную и отношение правдоподобия, представив это соотношение в виде 00 ~ (а' — а)р(а)![у(!)[а[аа=О при а =а,„,. (15) Для случая, когда а — время запаздывания, полученному выражению (15) соответствует схема, представленная на рис. 4.7.
В схему входит оптимальный приемник, вырабатывающий, в общем случае, непосредственно отношение правдоподобия ![у(!),'а[ = !р(а) в функции а. Приемник может быть построен п о ф и л ь т р о в о й или же многоканальной корреляцион.
н о й с х е м е, выдающей значение отношения правдоподобия для различных значений а по каждой принятой реализации у(!). Он заканчивается б л и з к и м к э к с п о н е н ц и а л ь н о м у д е т е к т о р о м, чтобы в общем случае обеспечить выдачу именно отношения правдоподобия 1„(а), а не его монотонной функции, например [п 1„(а). В соответствйи с (15) отношение правдоподобия умножается на ограниченный, близкий к пилообразному строб(а — а*)р(а) и интегрируется.
Ограничение во времени (и изменение формы) пий 4.2 183 игггггл ошибкгу м "* гк.егеллг Ряо. 4.7. Измеритель с обратной связью для случая, когда а — время запаздывания лообразного строба определяется д о о п ы т н о й п л о т н о с т ь ю в е р о я т н ости р(а). Произведение пилообразного напряжения управляемого генератора на отношение правдоподобия и н т е г р ир у е т с я. Напряжение с выхода интегратора по цепи о б р а т н о й с в я з и воздействует на схему управляемого генератора пилообразного напряжения.
При сильной обратной связи оптимальная оценка определяется положением нулевой точки пилообразного строба. Если измеряемый параметр будет менять свои значения во времени, измеритель (рис. 4.7) способен следить за изменениями этого параметра,.т. е. становится с л е д я ш и м и з м е р и т е л е м. Оптимальность или неоптимальность его в этом случае будет зависеть от того, в какой мере используются д о о п ы т н ы е д а нные о характере изменения параметра гд в о в р е м е н и.
Возможность оптимизации измерения при изменяющихся во времени значениях а будет проиллюстрирована в 5 4.6 — 4.9. Пока же продолжаем считать параметр а неизменной во времени случайной величиной, характеризуемой доопытной плотностью вероятности р(а). Если кривая р(а) достаточно пологая, т. е. доопытная информация не уточняет результата измерений, опенка максимума послеопытнойплотностивероятностисводнтся к о ц е н к е н а и б о л ьш е го п р а в до п од об и я, соответствующей абсциссе максимума одной из монотонно связанных между собой функций: р(у(1)1се) = гр(а), или l!у(!) ~а) = й (а), или )п )(у(г)1а) = )п 1,(а).
Последняя из этих функций применительно к рассмотренным ранее случаям сводится к какой-либо более простой функции измеряемого параметра а к корреляционному интегралу, его модульному значению, сумме линейных или нелинейных функций от модульных значений и т. д.), которая получается на выходе оптимального приемника обнаружения, до подачи на пороговую схему, Этот приемник может уже не содержать экспоненциально- 184 й 4.2 го дете кто р а. Хотя при изменении закона детектирования изменится н вид продетектированной кривой, максимум последней обеспечивается в обоих случаях при одном и том же значении а независимо от закона детектирования, если только кривая детектирования монотонна.
В следующем разделе вопрос о переходе от приемника обнаружения к приемнику измерения рассмотрим более подробно применительно к приему когерентного сигнала, когда параметром а является время запаздывания (частота). Нас будет интересовать не только определение оптимальнойоценкиа,„„но и дисперсия ошибки оптимального измерения. Б. ОДНОКРАТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И ЧАСТОТЫ й 4.3.
Измерение времени запаздывания когерентного сигнала со случайной начальной фазой На рис. 4.8, а показаны элементы оптимального приемника обнаружения сигнала со случайной начальной фазой, состоящего из оптимального фильтра и линейного детектора. Такая схема вырабатывает модульные значения корреляционного интеграла в функции измеряемого параметра а: Выходное напряжение представлено на рис. 4.8, б. Решение о наличии цели А,„, = 1 принимается для тех областей и, где превышается порог.
Оптимальная оценка наибольшего правдоподобия а„„соответствует максимуму выходного напряжения. Если имеются доопытные данные о том, что измеряемый параметр равновероятно принимает значения только в интервале от а, до а„то соответствующая оценка максимума послеопытной плотности вероятности— зто оценка положения максимума выходного напряжения, но на стробированном участке временной шкалы. Такое стробирование, осуществляемое обычно с помощью электронно-ключевой схемы, устраняет возможность оценки по ложному выбросу вне интервала аг <а (а„ особенно опасной при невысоком отношении сигнал!помеха на выходе оптимального фильтра. Оценка и„, отличается от истинного значения измеряемого параметра.
Возможные ошибки определяются послеопытной плотностью вероятности р[а~у(г)! =й р(а) 1„(а), 185 7В зак ~аоо а) б1 Рис, 4.8. Общие элементы схемы оптимального обнаружителя-измерителя (а) и напряжение на выходе детектора (б); показан порог обнаружения где для сигнала со случайной начальной фазой ((а)=е и 1( ()) Поскольку зависимостью энергии сигнала от возможных значений параметра а на ограниченном интервале можно пренебречь, то при р(а) = сопя( р (а! у (1)1 = я1, (и), (2) где и = — Л(а). 2 гго (3) й 4.3 Соответствующее построение приведено на рис. 4.9.
Здесь нанесена кривая 1,(и), по форме напоминающая быстро нарастающую экспоненту, а для малых значений аргумента и принимающая значения, близкие к единице (в масштабе рисунка это показать не 2 удается). На том же рисунке представлена кривая и(а) = — Е(а), гуо характеризующая график напряжения на выходе оптимального фильтра после линейного детектора.
Она содержит пик сигнала и боковые выбросы помехи, образующие «шумовую дорожку». Вследствие экспоненциального характера кривой 1„(и) имеет место «отсечка> шумов и пик сигнала резко подчеркивается в кривой после- опытного распределения. По существу, небольшой участок вершины кривой и(а) переходит практически во всю кривую послеопытной плотности вероятности, если можно пренебречь остатком отсекаемой «шумовой дорожки».
!86 (4) и (а) = — 2 (а) — да ~1 — — П, (,а — а,пт))а~~, где величина П, считается конечной и определяется из !(27) нли (28), 9 3.10). Разность временных отсчетов в формуле ((26), з 3.!01 заменена разностью возможного значения параметра се и принимаемого в качестве оценки значения а„„,. Приближенное равенство (4) справедливо, когда сигнал достаточно сильный и после фильтрации хорошо выделяется над уровнем шумов. Это значит, что средний уровень шумов вне пика сигнала не сказывается на положении центра тяжести кривой послеопытной плотности вероятности, так что может быть использована оценка максимального правдоподобия, представляющая собой абсциссу сигнального пика.
Форма пика выходного сигнала практически не искажается. Имеет место лишь смещение его максимума. Используя асимптотическое представление модифицированной бесселевой функции при больших значениях ее аргумента га(и а ® анна Рис. 4чп Пояснение преобразования вершины 2 кривой и(а)= — Л(сз) в основную часть кривой 19е р(Ау(0! прн 4» ! 187 В этой связи проанализируем форму кривой и(а) вблизи максимума, поскольку от нее зависит точность отсчета временного положения.
При не очень сильных помехах кривая к.(а), а следователь- 2 но, и и(а) = — Л(а) определяются, в основном, формой сигнала на Ур выходе оптимального фильтра. Используя !(26), 83.10), можно записать 1о (и) ж — е", 1 У'2 н подставляя в него выражение (4) и пренебрегая мальв. поправочным членом в знаменателе, получим и пэ (и-понг) р[а[у(1)[=Се Окончательный результат представим в виде (и понг) р [а [у (1)] е Яп [/2яо (6) что соответствует нормирующему множителю С= —, где 1 Рг2по рс [,Ф/ 41'и) йа Рис.
4.10. Пояснение сглаживания выбросов кривой р[а [у(г)1 при о е, 1 $4.3 а= —. 1 (7) 411о ' Таким образом, при конечной величине П, и доспиипочно интенсивном сигнале послеопытное распределение измеряемого времени запаздывания подчиняется нормальному закону, а стандартное отклонение о =~/О[ а [у) обратно пропорционально параметру обнаружения д и аффективной ширине спектра П,.
На рис. 4,10 показаны кривые, аналогичные кривым (рис. 4.9), но для значительно более слабого сигнала. В соответствии с выра- а вт т ж7 Пэ гес 1 Рис. 4.11. Зависимости о = о(4) — сплошная кривая н о, = о,(в) — пунктир, построенные с учетом и вез учета шумовоа дорожки соответственно при числе злементов разрешения Т1У = 1000 жениями для У зависимость и(а) характеризуется меньшим уровнем не только сигнала, но и шума.
Выбросы сигнала и помехи на рис. 4.10 сглаживаются и послеопытная плотность вероятности оказывается пропорциональной одной только доопытной. В силу одинаковой нормировки коэффициент пропорциональности равен в этом случае единице, т. е. имеет место совпадение послеопытной и доопытной (априорной) плотностей вероятности (8) р(а1у(г))=р(а) при д(1. В промежуточном случае наряду с пиком послеопытной плотности вероятности р(а(у(г)1, приближенно описываемыл1 нормальным законом, приходится учитывать равномерную сплошную ашумовую дорожкуз во всем диапазоне априорно возможных значений параметра. Часть площади под кривой послеопытной плотности вероятности, приходящаяся на шумовую дорожку, характеризует вероятность ошибки ложного измерения, соответствующего ложной тревоге в случае обнаружения, н носит наименование коэффийиента ненадежности.
Коэффициент ненадежности тем больше, чем меньше отношение сигнал/помеха д и чем больше элементов разрешения 1)П, содержит диапазон Т возможных значений параметра сс. С увеличением коэффициента ненадежности возрастает дисперсия о' и стандартное отклонение и послеопытных ошибок, особенно для значений а, близких к некоторому пороговому значению в„, „(рис. 4.11). В предельном случае а-+ 0 стандартное отклонение приобретает значение ТУ)~г12, характерное для прямой 4:3 189 угольного закона доопытного распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
