Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(4) Ю Поскольку площадь под кривой послеопытной плотности вероятности р,'а[У) при любом условии У равна единице )78 $4.3 Минимум (1) достигается тогда и только тогда, когда для каждой принятой реализации имеет место минимум условного среднего риска (2). На рис. 4.4 показана кривая послеопытной плотности вероятности р(а ~ )') и кривая стоимости ошибки г(а', а)= (а* — сс)в для произвольно установленной оценки. Рисунок иллюстрирует, что для неудачно выбранной оценки и* минимум г[а*(У)[ У[ не достигается, Оценка значительно отличается от оптимальной, поскольку наиболее вероятным значениям а соответствует большая стоимость ошибки.
Чтобы найти оптимальную оценку, приравняем нулю производную условного среднего риска по оценке а*, т. е. положим ~ р(а))')да= (, ь имеем а,„,(У)= ~ ар(а) У) да= М(а) У), — м где М;а) У) — математическое ожидание а при условии У. Таким образом, оптимальная по минимуму среднеквадратичной ошибки оценка а„„представляет собой математическое ожидание измеряемого параметра, соответствующее кривой послеопытной плотности вероятности р(а) У) (ее «центру тяжести»*) для принятой реализации У.
В силу (4) такая оценка является несмещенной, т. е. М(а,„, — а) = О. Поэтому минимальный средний квадрат возможной ошибки (а,„, — а)' = (а — а„„)е определяется дисперсией распределения послеопытной плотности вероятности для принятой реализации )', т. е. (а — а,„,) = (а — М)а)У))' = 0)а)У). (6) Для определения оптимальной оценки а„,(У) и минимального среднего квадрата ошибки 0(а) У) в соответствии с (5) и (6) требуется найти явное выражение п о с л ео п ы т н о й п л от н ости вероятности параметра р(а)У). Згу плотность вероятности называют также у с л о в н о й, так как она определяется при условии конкретной реализации У принимаемых колебаний.
Возьмем две эквивалентные формы записи теоремы умножения, определяющей плотность вероятности р(У, а) совмещения случайных событий, а именно р(У, а) =р(У) р(а) У) =р(а) р(У) а). Пользуясь приведенным равенством, послеопытную плотность вероятности параметра р(а)У) свяжем с д о о п ы т н о й (б е зусловной) плотностью вероятности р(а), а также с условной плотностью вероятности п р и н и м а ем о й р е а л из а ц и и р(У )а) при рассматриваемом значении параметра, т. е. * Операция (5) определения оптимальной оценки аналогична операцв. ° 1 1 (' ям вычисления абсциссы центра тяжести к*= — »'к;гл, или х*= — ) кк п~~ лм — ы,) К ж(х)ох Дпя дискРетного или непРеРывного РаспРеделения массы гпв= — 1 вдоль оси к.
7* 179 р (а ! У) = р 'а) р (У) а). р(У) (7) Ю р(г')= ~ р(а) р(г'(а)((а, р(а~)') = р(а) р()')а). р (а) р ()' ~ а) аа (8) (9) Формула (8) является аналогом ф о р м у л ы п о л н о й в ер о я т н о с т и, в котором вероятности заменены плотностями вероятностей, а суммирование интегрированием. Формула (9) является подобным же аналогом ф о р м у л ы Б е й е с а, Заметим, что не зависящая от а дробь с определенным интегралом в знаменателе (9) играет роль нормирующего коэффициента. Чтобы облегчить проведение аналогии между обнаружением и измерением, а также иметь возможность использовать готовые результаты предыдущей гл.
3, можно искусственно ввести еще одну условную плотность вероятности принимаемой реализации )', а именно плотность вероятности этой реализации р„(г') применительно к условию отсутствия сигнала (т. е. условию наличия одной помехи). Отношение условной плотности вероятности реализации р(У~и) при наличии сигнала с параметром и к плотности вероятности р„(У) представляет в соответствии с $ 3.4 условное отношение правдоподобия 1('г'(а) = 1(а), характеризующее справедливость гипотезы о наличии в составе реализации У сигнала с параметром а. Тогда р ()' ) а) =! (У ( а) р„(г'), р(а('г') = р(а)1()'(а). ) р(а) ((К ) а) аа Окончательно приходим к соотношениям: — для послеопытной плотности вероятности р (а ( У) = й, р (а) р ( г') ! а) = аз р (а) 1(У ( а), (1О) $4.2 '(80 Наряду с функциями а в правую часть (7) входит без у ел о зная вданномслучае плотность вероятности реа л и з а ц и и г', определяемая применительно к наличию сигнала для всей совокупности возможных значений а.
Последнюю плотность вероятности определим, интегрируя (7) по и от — ао до оо и замечая, что интеграл от р(а()') равен единице. Тогда †д оптимальной оценки параметра М [а [ )' [ = ап, = йт ~ ар (а) р (Г [ а) Иа = — о =й, ~ ар(а)1()'[а) е(а, (11) †д минимальной дисперсии ошибки измерений (л(а[К) =нт ~ (а — а„,) р(а) р(У[а) Иа= то =й, ~ [а — а„,) р(а)1(['[а)да, ([2) где ~ р(а) р()'[а) аа то ~ р(а)1(У[а) На (! 3) ([4) — множители, нормируюи«ие площадь под кривой послеопытной плотности вероятности к единице. При использовании теоремы Котельникова в предельном случае интервала дискретизации М вЂ” О отношение правдоподобия 1()т[а) д и с к р е т н о й выборки У переходит, как и в 5 3.4, в отношение правдоподобия 1[у(1) ~а[=1,(а) н е п р е р ы в н о й реализации у(1), которое определяет оценку аопт = аопт [у (1)[.
Итак, оптимальная оценка а„„„соответствует «центру тяжести» распределения послеопытной плотности вероятности р!а ~ )'[ или р[а ~ у(1)[ для произвольной принятой реализации: дискретной или непрерывной у(1). Если послеопытное распределение с и м м е т р и ч н о илн близко к симметричному и на оси симметрии имеет единственное максимальное значение, то его «центр тяжести» совпадает с этим значением. Таким сбразом, в качестве оптимальной оценки а „, может быть принята оценка максимума послеопыгпной плогпносгпи еероягпности.
Сформулированные условия можно считать выполненными только в том случае, если сигнал достаточно хорошо выделяется над шумами, а потому влиянием обусловленной имн многопиковости (равно как и несимметрии послеопытного распределения) можно пренебречь. й «м 181 (кг а а/ а) пяассл-скт б) (вй сс 4 6 Рис. 4.6. Кривые доопытной и послеопытной плот. ностей вероятности: а — для слабой помехи; б — для сильной помехи Рис, 4,б. Кривые плотностей вероятности: а-доохытиой р (а), б — немеренного ння чення р (Ма) н функции истинного иначе ния а; и†послеопытиой н(а(я) Проиллюстрируем рассмотренную методику отыскания оптимальных оценок на простейшем примере оптимизац и и и з м е р е н и я.
Обратимся к стрелочному прибору (рис, 3.1, з 3.2), считая, что его показание у складывается из помехи л и сигнала х, т. е. у = и+х. (у — а)' ( ! ) = )), (~ — ~) = ~/2п и, Соответствующая кривая в функции неизвестного параметра с( представлена на рис. 4.5, б. Она является гауссовой кривой с дисперсией пес и средним значением у. В рассматриваемом простейшем случае нет необходимости вводить отношение правдоподобия.
С точностью до множителя пропорциональности послеопытная плотность вероятности р(а ( у) как функция параметра с( определяется произведением р(а)р(у(а), а множитель пропорциональности нор- 182 $ 4.2 В отличие от рассмотренного в з 3.2 случая, сигнал обязательно прпсутстьует, ио его значение х не известно и подлежит измерению, т. е. и данном случае х = а является параметром, подлежащим оценке. Условимся, что доопытное распределение р(а) параметра а является равномерным в интервале ((( (а < ат (рнс. 4.5, а). Распределение помехи полагаем подчиненным центрированному нормальному закону, так что мирует площадь под кривой (рис. 4.5, в) к единице.
Кривая р(а[у) учитывает, таким образом, как результат измерения у, так и доопытные данные о значениях измеряемой величины а и помехи и. Существенное влияние на послеопытное распределение оказывает уровень помех, что иллюстрируется на рис. 4.6 для двух крайних случаев: 1) помеха слабая: и, ((а, — а, — ход кривой послеопытного распределения определяется результатом измерения у и дисперсией помехи по0; 2) помеха сильная: а, ))а, — а, — кривая послеопытного распределения не отличается от кривой доопытного, поскольку результат измерения недостоверен. В первом случае оптимальная оценка соответствует отсчету а„,„ = у; дисперсия ошибки измерения прн этом будет равна лз~.
Во втором случае оценка определяется центром тяжести доопытного распределения (а, + а,)!2, а дисперсия ошибки не отличается от доопытной (а, — а,)'/12. Таким образом, методика отыскания оптимальных оценок а,„, сводится: 1) к определению функций измеряемого параметра а, пропорциональных его послеопытной плотности вероятности; 2) к определению центра тяжести или абсциссы максимума для кривых этих функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
