Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (с содержанием) (1151797), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В результате измерения должны выдаваться возможно более точные оценки дальности, радиальной скорости, угловой координаты в предположении, что наличие цели достоверно. В зависимости от условий локации измеряемый параметр считают случайной величиной, неизменной в течение времени приема отраженного сигнала, либо случайной величиной, изменяющейся в течение этого времени (скачкообразно или непрерывно) в соответствии с заданной статистикой движения цели. Вначале рассмотрим лишь первый случай, считая параметр неизменной во время измерения случайной величиной (например, временем запаздывания сигнала, отраженного от неподвижнойслучайно расположенной цели), Затем будут рассмотрены некоторые более сложные случаи.
Итак, в результате проведенного измерения должна быть дана оценка а* каждого измеряемого параметра а. Показателем качества измерения является статистически усредненная величина ошиб. ки е = а* — с4 измерения параметра. Чем меньше величина ошибки, тем выше качество измерения. Ошибки измерений делятся на грубые промахи, систематические и случайные ошибки. Если приняты меры для исключения систематических ошибок и грубых промахов, ошибки измерений сводятся 4 4л 173 0 елея сгкВ силке св Рвс. 4.1. К расчету вероятности Р(~ е( к ес) Рвс. 4.2.
Кривая вероятности Р ( ) е ( <ес) = юр(ес) а,к, = ~ е'Р (е) йе = е'. В случае наиболее распространенного центрированного нормального закона распределения случайных ошибок (рис. 4.1) среднеквадратичная ошибка полностью характеризует другие виды ошибок — вероятную и максимальную. В этом случае вероятность выполнения условия ! е ( ( е„, где ев — некоторое произвольно выбранное значение е, будет св! ескв Р((е( (е,)= ~ е йх.= Ф ( — в), р'2~ (ескв Вероятная (срединная) ошибка е„р соответствует такому значению е, =е;,р, при котором заштрихованная площадь на рис.
4.1 составляет половину всей площади под кривой р(е): Р()е( ( е в).=Р()е(.- ' ) =0 5 174 4 4.1 к случайным. Случайные ошибки обусловлены действием помех на входе приемника, флюктуаниями сигнала, а иногда случайным поведением самой системы измерений. Качественными показателями измерения одномерной случайной величины являются: среднеквадратичная ошибка, вероятная (срединная) ошибка, максимальная ошибка, математическое ожидание, дисперсия, средний риск ошибки и т.
д. При измерении многомерных величин вводятся корреляиионные моменты ошибок, учитывающие взаимосвязь ошибок измерения отдельных случайных величин, о чем речь будет идти ниже (2 4.7, 4.9, 6.4, 6,17). Здесь остановимся несколько подробнее на качественных показателях измерения одномерных величин. Для произнольного закона распределения случайных ошибок р(е) среднеквадратичная ошибка измерения определяется из соот- ношения т.
е, Ф( — ~) =05 ~ века при р, = е„р. Тогда — ' = —, так что вероятная ошибка (рис. 4.21 ва 2 Всма 3 2 евер еекв з ' ае (е) =М ([е — М (е))') = М (ев) — М' (е), которое легко получить, раскрывая квадрат разности. В случае несмещенной оценки О(е) совпадает со средним квадратом ошибки 0 (е) = М (ев) = ее = е,'к,. В качестве обобшенного критерия качества измерения можно ввести средний риск ошибки измерения.
Для этого рассмотрим совокупность ситуаций совмешения случайного значения параметра а и случайной оценки а*. Для каждой из ситуаций введем совместную плотность вероятности р(а', а) и дифференциальную вероятность совмещения дР(а", а) = р(а', а) да*па, причем аа се ~ р(а*, а)е(а*с(а= ~ йР(а*, а)= !. (аа а> Каждой ситуации совмешения поставим в соответствие некоторую стоимость ошибки г(а', а) в зависимости от ее важности. Тог- $4.! 175 В качестве максимальной оеиибки е„а„обычно принимают ошибку, вероятность превышения которой по модулю составляет 08 ай Для нормального закона Ф ( ' — ''"' ~ = 1 — 0008, откуда ~ аскв ) 8 1б е „, = — е,к, = 4евер. Говорят, что интервал 2ем,к, = — е,к, = 8е„р макс З скв вер.
макс З скв аер вокруг оценки является доверительным, причем вероятность выхода истинного значения величины за пределы доверительного интервала составляет в данном случае 0,8%. Математическое ожидание ошибки М(е) отлично от нуля, когда действует источник систематической ошибки (наряду с источниками случайных). Оценку а* в этом случае называют с м е ш е н н о й. Наоборот, в довольно часто встречаюшемся случае ц е н т р и р ов а н н о г о распределения ошибок, когда М (е) = 0 (т. е. систематическая ошибка не сказывается), оценку называют н е с м е ш е ни о й.
Дисйерсия ошибки определяется выражением да критерием качества оденк и а* я в л я е т с я средняя стоимость (с р е д и и й р и с к) ошибки измерений г(а*, а) = ~ г(а*, а)р(а*, а)йа*сса. (о*, а) и Оптимизация оценки сводится при этом к 'сс) -/сl а) обеспечению минимума среднего риска. Оценивая степень ошибки по величине разности а* — а =е, в качестве функции стоимости г(а*, а) достаточно задать функцию «(е) одной переменной.
На рис. 4.3 показаны возможные графики стоимости г(е) в функции величины ошибки е. «д) Так, основная кривая г(е) = е' (рис. 4.3, а) соответствует случаю, когда стоимасть равняется квадрату ошибки. При этом средний риск соответствует среднему квадрату ошибки, а оптимизация измерем ния сводится к достижению м и н и- мума среднеквадратичной Рис. 4.з возможные ош и б к и. В случае выбора функции стоифункции стоимости мости г(е) = ) е! (рис.
4.3, б) оптимизация ошибки измерения сведется к обеспечению м и- нимума среднего модуля о ш и б к и. Если же выбирается ступенчатая функшся стоимости: г(е) = 0 при ! е( < ео и г(е) = сопи( при / е/.-з е, (рис. 4.3, а), тообеспечивается условие минимума вероятности превышения модулем ошибки некоторой установленной величины е„.Таким образом, взависимости от выбора разновидности функции стоимости ошибки устанавливаются различные критерии оптимизации измерения. Наиболее употребительным является использование к в а д р атичной стоимости ошибки (рис. 43,а) г(а*, а) =(а* — а)', тогда оптимизация сводится к обеспечению минимума среднего квадрата оси ибки г(а*, а) = (а* — а)з= ~ (а* — а)'р(а*, а)йа'с(а.
(2) со*, о> 176 й 4.2. Постановка и методика решения задачи оптимального измерения параметра. Простейший оптимальный измеритель Полагаем, что на вход измерителя поступают колебания у(~) в виде наложения флюктуационной помехи и сигнала у(!) =п(!)+х,[, а, й), где х(е, а, й) — известная функция времени, случайного измеряемого параметра а и случайных неизмеряемых параметров р,имеющих заданную плотность вероятности р(р). Требуется установить правило отыскания оценки с(„,„, оптимальной с точки зрения квадратичного критерия, построить схемы оптимальной обработки при измерении, определить среднеквадратичную ошибку и другие необходимые характеристики оптимального измерения.
Как и в з 3.4, при решении задачи измерения наряду с непрерывными реализациями входных колебаний у(г) введем соответствующие дискретные многомерные реализации У (выборки по теореме Котельникова) с целью более удобного использования соотношений теории вероятностей. Полагаем, что оценка а* = ае(У) закономерно устанавливается в зависимости от принятой реализации У. При атом стоимость, а именно средний квадрат ошибки измерения [(2), 5 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
